2022年高三江苏省镇江市届高三上学期期末数学试卷-版含解析 .docx

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1、精品_精品资料_2022-2022 学年江苏省镇江市高三上期末数学试卷一、填空题共 14 小题,每题 5 分,总分值 70 分1已知集合 A= 1,2,3 ,B= 2,4,5 ,就集合 AB 中元素的个数为2. 复数 z=12i3+i,其中 i 为虚数单位,就 | z| 是3. 假设圆锥底面半径为 2,高为,就其侧面积为4. 袋中有外形、大小都相同的5 只球,其中 3 只白球, 2 只黄球,从中一次随机摸出 2 只球,就这 2 只球颜色不同的概率为5. 将函数 y=5sin2x+的图象向左平移 0个单位后,所得函数图象关于 y 轴对称,就 =6. 数列 an 为等比数列,且 a1+1,a3+4

2、a5+7 成等差数列,就公差 d 等于7. 已知 fx是定义在 R上的奇函数,当 x0 时, fx=x24x,就不等式 fx x 的解集为8. 双曲线的焦点到相应准线的距离等于实轴长,就双曲线的离心率为9. 圆心在直线 y= 4x 上,并且与直线 l： x+y 1=0 相切于点 P3, 2的圆的方程为10. 已知椭圆为常数, mn0的左、右焦点分别为 F1,F2,P是以椭圆短轴为直径的圆上任意一点,就=11. 定义在 0,的函数 fx=8sinx tanx 的最大值为12. 不等式 logaxln2x 4a 0,且 a1对任意 x1, 100恒成立,就实数 a 的取值范畴为13. 已知函数 y

3、=与函数 y=的图象共有 kk N*个公共点, A1x1,y1, A2x2, y2, , Akxk,yk,就xi+yi=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_14. 已知不等式 mn2+mlnn+22 对任意 m R, n0,+恒成立,就实数 的取值范畴为二、解答题共 6 小题,总分值 90 分15. 14 分已知向量 m =cos ,1, n =2,sin ,其中,且mn 1求 cos2的值.2假设 sin=,且,求角 16. 14 分在长方体 ABCDA1 B1C1D1 中, AB=BC=EC=求证：1AC1平面 BDE.2A1E平面 BDE17. 14 分如图,某公园有三条观光

4、大道 AB,BC,AC 围成直角三角形,其中直角边 BC=200m,斜边 AB=400m,现有甲、乙、丙三位小伴侣分别在AB,BC, AC大道上玩耍,所在位置分别记为点D,E,F1假设甲、乙都以每分钟 100m 的速度从点 B 动身在各自的大道上奔波,到大道的另一端时即停, 乙比甲迟 2 分钟动身, 当乙动身 1 分钟后, 求此时甲乙两人之间的距离.2设 CEF=,乙丙之间的距离是甲乙之间距离的2 倍,且 DEF=,请将甲乙之间的距离 y 表示为 的函数,并求甲乙之间的最小距离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_18. 16 分已知椭圆 C：的离心率为,且点,在椭圆 C上1求椭圆

5、C的方程.2直线 l 与椭圆 C交于点 P,Q,线段 PQ的中点为 H,O 为坐标原点且 OH=1, 求 POQ面积的最大值19. 16 分已知 nN* ,数列 an 的各项为正数,前 n 项的和为 Sn,且 a1=1,a2=2,设 bn=a2n 1+a2n1假如数列 bn 是公比为 3 的等比数列,求 S2n.2假如对任意 nN* ,Sn=恒成立,求数列 an 的通项公式.3假如 S2n=32n1,数列 anan+1 也为等比数列,求数列 an 的通项公式 2016 分已知函数 fx=xlnx, gx=x21为常数1已知函数 y=fx与 y=gx在 x=1 处有相同的切线,求实数 的值.2假

6、如,且 x1,证明 fx gx.3假设对任意 x 1,+,不等式 fx gx恒成立,求实数 的取值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2022-2022 学年江苏省镇江市高三上期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题共 14 小题,每题 5 分,总分值 70 分1已知集合 A= 1,2,3 ,B= 2,4,5 ,就集合 AB 中元素的个数为5【考点】 并集及其运算【分析】 求出 A B,再明确元素个数【解答】 解：集合 A= 1,2,3 , B= 2, 4, 5 ,就 AB= 1,2,3,4,5 . 所以 AB 中元素的个数为 5.故答案为： 5【点评】题考查了集合的并集的运算

7、,依据定义解答,留意元素不重复即可,属于基础题2. 复数 z=12i3+i,其中 i 为虚数单位,就 | z| 是 5【考点】 复数求模【分析】 依据复数模长的定义直接求模即可【解答】 解：复数 z=1 2i3+i, i 为虚数单位, 就| z| =| 12i| | 3+i|=5故答案为： 5【点评】 此题考查了复数求模长的应用问题,是基础题目3. 假设圆锥底面半径为 2,高为,就其侧面积为6 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和外表积【分析】第一依据底面半径和高利用勾股定理求得母线长,然后直接利用圆锥的侧面积公式代入求出即可【解答】 解：圆锥的底面半径为2,高为,可编辑资料 - - - 欢迎

8、下载精品_精品资料_母线长为：=3,圆锥的侧面积为： rl= 23=6,故答案为： 6【点评】此题考查了圆锥的运算, 正确懂得圆锥的侧面绽开图与原先的扇形之间的关系是解决此题的关键4. 袋中有外形、大小都相同的5 只球,其中 3 只白球, 2 只黄球,从中一次随机摸出 2 只球,就这 2 只球颜色不同的概率为0.6【考点】 列举法运算基本大事数及大事发生的概率【分析】 基本大事总数n=10,这 2 只球颜色不同包含的基本大事个数m=,由此能求出这 2 只球颜色不同的概率【解答】 解：袋中有外形、大小都相同的 5 只球,其中 3 只白球, 2 只黄球,从中一次随机摸出 2 只球, 基本大事总数

9、n=10,这 2 只球颜色不同包含的基本大事个数m=,这 2 只球颜色不同的概率为p= 故答案为： 0.6【点评】此题考查概率的求法,是基础题,解题时要仔细审题,留意等可能大事概率运算公式的合理运用5. 将函数 y=5sin2x+的图象向左平移 0个单位后,所得函数图象关于 y 轴对称,就 =【考点】 函数 y=Asinx+的图象变换【分析】求得 y=5sin2x+的图象向左平移 0个单位后的解析式,利用正弦函数的对称性可得的值【解答】 解： y=5sin2x+的图象向左平移 0 个单位后得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_gx=fx+=2sin2x+2+, gx=2sin2x

10、+2+的图象关于 y 轴对称, gx=2sin2x+2+为偶函数, 2+=k+,kZ,=k+,kZ 0 ,= 故答案为：【点评】 此题考查函数y=Asinx+的图象变换,求得函数图象平移后的解析式是关键,考查综合分析与运算才能,属于中档题6. 数列 an 为等比数列, 且 a1 +1,a3+4a5+7 成等差数列, 就公差 d 等于 3【考点】 等比数列的通项公式【分析】设出等比数列的公比,由 a1+1,a3+4a5+7 成等差数列求得公比,再由等差数列的定义求公差【解答】 解：设等比数列 an 的公比为 q, 就,由 a1+1, a3+4a5+7 成等差数列,得,即 q2=1 d=故答案为：

11、 3【点评】此题考查等差数列的通项公式, 考查了等比数列的性质, 是基础的运算题7. 已知 fx是定义在 R上的奇函数,当 x0 时, fx=x24x,就不等式 fx x 的解集为 5,05,+ 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【考点】 函数奇偶性的性质【分析】 依据函数奇偶性的性质求出当 x 0 的解析式,解不等式即可【解答】 解：假设 x0,就 x0,当 x0 时, fx=x24x,当 x0 时, f x=x2+4x,fx是定义在 R 上的奇函数,f x=x2+4x=fx, 就 fx=x2 4x,x0,当 x0 时,不等式 fx x 等价为 x24x x 即 x25x0,得

12、 x5 或 x0,此时 x5,当 x0 时,不等式 fx x 等价为 x24x x 即 x2+5x0, 得 5x 0,当 x=0 时,不等式 fx x 等价为 00 不成立, 综上,不等式的解为 x5 或 5x 0,故不等式的解集为 5,0 5,+, 故答案为： 5,0 5,+【点评】此题主要考查不等式的解集的求解, 依据函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决此题的关键8. 双曲线的焦点到相应准线的距离等于实轴长,就双曲线的离心率为 1+【考点】 双曲线的简洁性质【分析】由题意可得 c=2a,化简整理,结合离心率公式,即可得到所求值【解答】 解：双曲线的焦点 c, 0到相应准线 x=的距离等于

13、实轴长 2a,可得 c=2a,即 c22aca2=0,解得 c=1+a 或 c=1a舍去,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即有离心率 e=1+ 故答案为： 1+【点评】此题考查双曲线的几何性质的运用, 主要考查准线和离心率的求法, 考查运算才能,属于中档题9. 圆心在直线 y= 4x 上,并且与直线 l： x+y 1=0 相切于点 P3, 2的圆的方程为x12+y+42=8【考点】 圆的标准方程【分析】设出圆心坐标,利用直线与圆相切,求出x 的值,然后求出半径,即可得到圆的方程【解答】 解：设圆心 O 为x, 4x kop=kL=1 又相切 kop.kL=1x=1O1, 4r=

14、所以所求圆方程为 x12+y+42=8 故答案为： x12+y+42=8【点评】此题是基础题,考查圆的方程的求法,直线与圆的位置关系,考查运算才能10. 已知椭圆为常数, mn0的左、右焦点分别为 F1,F2, P是以椭圆短轴为直径的圆上任意一点,就=m【考点】 椭圆的简洁性质【分析】 由题意画出图形,再由数量积的坐标运算可得答案【解答】 解：如图, F1 c, 0, F2c,0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 Px0,y0,就,=x0+c, y0.x0c,y0=b2+c2=a2=m 故答案为： m【点评】 此题考查椭圆的简洁性质,考查了平面对量在圆锥曲线问题中的应用,是中

15、档题11. 定义在 0,的函数 fx=8sinx tanx 的最大值为【考点】 三角函数的最值【分析】 利用导函数争论其单调性,求其最大值【解答】 解：函数 fx=8sinxtanx,那么： f x=8cosx=, 令 f x=0,得： cosx= x0,x=当 x0,时, f x 0,函数 fx在区间 0,上是单调增函数当 x,时, f x 0,函数 fx在区间,上是单调减函数当 x=时,函数 fx取得最大值为故答案为：【点评】此题考查了利用导函数争论其单调性, 求其最大值的问题 属于基础题12. 不等式 logaxln2x 4a 0,且 a1对任意 x1, 100恒成立,就实数 a 的取值

16、范畴为0, 1,+ 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【分析】 不等式转化为lnx2+4,令 t=lnx,得到t 2+4 在 t0,ln100恒成立,通过争论 a 的范畴,结合函数的单调性求出a 的范畴即可【解答】 解：不等式 logax ln2x4,lnx2+4, 令 t=lnx, x1, 100, t=lnx0,ln100,t 2+4 在 t0, ln100恒成立, 0a1 时, lna 0,明显成立,a1 时, lna 0, 故 lna,令 gt =,t0,ln100,就 gt =,令 gt 0,解得： 0t2,令 gt 0,解得： t

17、2,故 gt 在 0,2递增,在 2, +递减, 故 gt g2=,故 lna ,解得： a,综上, a0,1,+, 故答案为： 0,1, +【点评】此题考查了函数的单调性、 最值问题, 考查导数的应用以及分类争论思想,是一道中档题13. 已知函数 y=与函数 y=的图象共有 kk N*个公共点, A1x1,y1, A2x2, y2, , Akxk,yk,就xi+yi=2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【考点】 函数的图象【分析】 fx关于 0,1对称,同理 gx=关于 0,1对称,如下图,两个图象有且只有两个交点,即可得出结论【解答】 解：由题意,函数 fx=2,f x+fx

18、=2, fx关于 0,1对称,同理 gx=关于 0,1对称,如下图,两个图象有且只有两个交点,xi+yi=2, 故答案为 2【点评】此题考查函数图象的对称性, 考查数形结合的数学思想, 考查同学分析解决问题的才能,属于中档题14. 已知不等式 mn2+mlnn+22 对任意 m R, n0,+恒成立,就实数 的取值范畴为21 或 2 1【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值【分析】问题看作点m,m+,n,lnn两点的距离的平方, 即为直线 y=x+和直线 y=lnx 的距离的最小值, 当 y=lnx 的切线斜率为 1 时,求出 y=lnx 在1,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

19、_处的切线与 y=x+的最小值,解出即可【解答】 解：不等式 m n2+mlnn+22 对任意 mR,n0,+恒成立,看作点 m,m+, n,lnn两点的距离的平方,即为直线 y=x+和直线 y=lnx 的距离的最小值,当 y=lnx 的切线斜率为 1 时,y=1,点 1,0处的切线与 y=x+平行,距离的最小值是 d= 2,解得： 2 1 或 21,故答案为： 21 或 2 1【点评】此题考查了曲线的切线方程问题,考查平行线的距离, 问题转化为直线y=x+和直线 y=lnx 的距离的最小值是解题的关键,此题是一道中档题二、解答题共 6 小题,总分值 90 分15. 14 分已知向量 m =c

20、os ,1, n =2,sin ,其中,且mn 1求 cos2的值.2假设 sin=,且,求角 【考点】 数量积判定两个平面对量的垂直关系【分析】 1由已知得=2cos sin =,0 从而 sin2+cos2=5co2s =,1 进而cos2=,由此能求出 cos2 2由 cos2=,得 cos= , sin =,由 sin =,且,得 sin =2cos,由此能求出 的值【解答】解：1向量 =cos,1, =2,sin ,其中,且=2cossin =,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin2+cos2=5co2s =,1 cos2=,cos2=2co2s1= 2 cos2

21、=,cos= ,sin =,sin=,且,sin coscossin =, 2cossin = ,sin =2cos,sin2+cos2=5co2s2 =0,解得 cos= 或 cos=舍,= 【点评】此题考查角的余弦值的求法,考查角的求法,是中档题,解题时要仔细审题,留意三角函数性质的合理运用16 14分 2022 秋 . 镇 江 期 末 在 长 方 体 ABCD A1B1C1D1 中 ,AB=BC=EC=求证：1AC1平面 BDE.2A1E平面 BDE【考点】 直线与平面垂直的判定.直线与平面平行的判定【分析】 1证明线面平行,只需证明直线与平面内的一条直线平行即可连接 AC与 DB 交于

22、 O,连接 OE,AC1OE,即可证明 AC1平面 BDE2证明线面垂直, 只需证明直线与平面内的两条相交直线垂直即可 连接 OA1, 可证 OA1 DB,OEDB,平面 A1OE DB可得 A1EDB利用勾股定理证明 A1E可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_EB即可得 A1E平面 BDE【解答】 解： 1ABCD A1B1C1D1 是长方体, AB=BC=EC=可得平面 ABCD和平面 A1B1C1D1 是正方形, E 为 CC1 的中点连接 AC与 DB交于 O,连接 OE, 可得： AC1OE,OE. 平面 BDEAC1平面 BDE2连接 OA1,依据三垂线定理,可得OA1

23、DB,OE DB, OA1OE=O,平面 A1 OE DB 可得 A1EDBE为 CC1 的中点设 AB=BC=EC=AA1=a,A1E=, A1B= A1B2=A1E2+BE2 A1E EBEB. 平面 BDE BD. 平面 BDEEB BD=B, A1E平面 BDE【点评】此题考查了线面平行, 线面垂直的证明 考查同学对书本学问的把握情形以及空间想象,属于中档题17. 14 分 2022 秋.镇江期末如图,某公园有三条观光大道AB,BC,AC 围成直角三角形,其中直角边BC=200m,斜边 AB=400m,现有甲、乙、丙三位小伴侣分别在 AB,BC,AC大道上玩耍,所在位置分别记为点D,E

24、,F1假设甲、乙都以每分钟 100m 的速度从点 B 动身在各自的大道上奔波,到大道的另一端时即停, 乙比甲迟 2 分钟动身, 当乙动身 1 分钟后, 求此时甲乙两可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_人之间的距离.2设 CEF=,乙丙之间的距离是甲乙之间距离的2 倍,且 DEF=,请将甲乙之间的距离 y 表示为 的函数,并求甲乙之间的最小距离【考点】 解三角形【分析】 1由题意, BD=300, BE=400, BDE中,由余弦定理可得甲乙两人之间的距离.2 BDE中,由正弦定理可得=,可将甲乙之间的距离y 表示为 的函数,并求甲乙之间的最小距离【解答】 解： 1由题意, BD=3

25、00,BE=400,ABC中, cosB= ,B=,BDE中,由余弦定理可得 DE=100m.2由题意, EF=2DE=2,y BDE= CEF= CEF中, CE=EFcos CEF=2ycosBDE中,由正弦定理可得=,y=, 0,= ,ymin=50m【点评】此题考查利用数学学问解决实际问题,考查正弦、余弦定理的运用,考查同学分析解决问题的才能,属于中档题18. 16 分2022 秋.镇江期末已知椭圆 C：的离心率可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为,且点, 在椭圆 C上1求椭圆 C的方程.2直线 l 与椭圆 C交于点 P,Q,线段 PQ的中点为 H,O 为坐标原点且 OH

26、=1, 求 POQ面积的最大值【考点】 直线与椭圆的位置关系.椭圆的标准方程【分析】1由椭圆的离心率为,且点, 在椭圆 C上,列出方程组求出 a, b,由此能求出椭圆 C的方程2设 l 与 x 轴的交点为 Dn,0,直线 l：x=my+n,联立,得4+m 2x2+2mny+n24=0,由此利用韦达定理、弦长公式、均值定理,结合已知条件能求出 POQ面积的最大值【解答】解：1椭圆 C：的离心率为,且点,在椭圆 C上解得 a2=4, b2=1,椭圆 C的方程为2设 l 与 x 轴的交点为 Dn,0,直线 l：x=my+n, 与椭圆交点为 Px1, y1 , Qx2,y2,联立,得 4+m2x2+2

27、mny+n24=0,y1, 2=,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,=,即 H,由 OH=1,得,就 SPOQ=.OD.| y1y2| =| n| y1y2| ,令 T=12.16.,设 t=4+m2,就 t4,=, 当且仅当 t=,即 t=12 时, SPOQmax=1, POQ面积的最大值为 1【点评】此题考查椭圆方程的求法, 考查三角形面积的最大值的求法, 是中档题, 解题时要仔细审题, 留意韦达定理、 弦长公式、均值定理、椭圆性质的合理运用19. 16 分2022 秋.镇江期末已知 nN* ,数列 an 的各项为正数,前 n项的和为 Sn,且 a1=1, a2=2,设

28、bn=a2n 1+a2n1假如数列 bn 是公比为 3 的等比数列,求 S2n.2假如对任意 nN* ,Sn=恒成立,求数列 an 的通项公式.3假如 S2n=32n1,数列 anan+1 也为等比数列,求数列 an 的通项公式【考点】 数列递推式【分析】1b1=a1+a2=3,可得 bn=3n=a2n 1+a2n利用分组求和与等比数列的求和公式即可得出 S2n2对任意 nN* ,Sn=恒成立,可得 n2 时,an=SnSn 1,化为：=,an 0可得 anan 1=1,利用等差数列的通项公式即可得出可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3由 S2n=32n1,且 a1=1,a2=2

29、,可得 a1+a2+a3+a4=9,可得 a3+a4=6由数列 anan+1 也为等比数列,设公比为 q=,可得数列 an 的奇数项与偶数项分别成等比数列,公比为 q即可得出【解答】 解： 1b1=a1+a2=3, bn=3n=a2n 1+a2n S2n=3+32+3n=2对任意 nN*,Sn=恒成立, n 2 时,an=Sn Sn 1=,化为：=,an0 an1=an 1,即 anan 1=1, an=1+n1=n3 S2n=32n1,且 a1=1,a2=2, a1+a2+a3+a4 =3221=9=1+2+a3+a4, a3+a4=6数列 anan+1 也为等比数列,设公比为 q=,数列

30、an 的奇数项与偶数项分别成等比数列,公比为q a3=q,a4=a2q=2q, q+2q=32,解得 q=2=2n 1,a2n=2n可得 an=kN* 【点评】此题考查了数列递推关系、 等差数列与等比数列的定义通项公式与求和公式,考查了分类争论方法、推理才能与运算才能,属于难题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_20. 16 分 2022 秋.镇江期末已知函数 fx=xlnx,gx=x2 1为常数1已知函数 y=fx与 y=gx在 x=1 处有相同的切线,求实数 的值.2假如,且 x1,证明 fx gx.3假设对任意 x 1,+,不等式 fx gx恒成立,求实数 的取值范畴【考点】

31、导数在最大值、 最小值问题中的应用. 利用导数争论曲线上某点切线方程【分析】 1先分别求导,再依据函数 y=fx与 y=gx在 x=1 处有相同的切线,得到 f 1=g1,即可求出 的值,2设 hx=gx fx=x21 xlnx,利用导数求出函数的最小值为 0,即可证明3别离参数,构造函数 mx=,多次利用导数和构造函数,判定出mx在 1,+为减函数,再依据极限的定义求出mx的最大值,问题即可解决【解答】 解： 1函数 fx=xlnx,gx=x21,f x=1+lnx,gx=2x,函数 y=fx与 y=gx在 x=1 处有相同的切线,f 1=g1, 1+ln1=2 ,解得 =,2当,且 x1

32、时,设 hx=gx fx=x2 1 xlnx, hx=x1lnx,令 x=x1lnx, x=10 在 1,+上恒成立, xmin=1=11ln1=0, hx=x1lnx0,在 1,+上恒成立,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ hx在 1,+上递增, hxmin=h1=0,当,且 x1,fx gx成立,3对任意 x 1,+,不等式 fx gx恒成立,xlnxx21, ,设 mx=,就 mx=, 令 nx=x2 1x2+1lnx,就 nx=2x2xlnxx+=,再令 px=x22xlnx1就 px=2x22xlnx+x= 4xlnx 0 在 1, +为恒成立, px在 1,+为减函数, px p1=0, nx 0 在 1,+为恒成立, nx在 1,+为减函数, nx n1=0, mx 0 在 1, +为恒成立,mx在 1, +为减函数,mx=,mx , 故 的取值范畴为, 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【点评】此题考查了导数的几何意义以及导数和函数的单调性和最值得关系,以及证明不等式恒成立,和参数的取值范畴,属于难题可编辑资料 - - - 欢迎下载