2022年高中数学-解三角形知识点汇总及典型例题 .docx

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1、精品_精品资料_解三角形的必备学问和典型例题及详解一、学问必备：1. 直角三角形中各元素间的关系：在 ABC中, C 90, AB c, AC b, BC a.2221三边之间的关系： a b c .勾股定理2锐角之间的关系： A B90.3边角之间的关系： 锐角三角函数定义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin A cos Ba , cos A sin Bcb , tan A a .cb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 斜三角形中各元素间的关系：在 ABC中, A、B、 C为其内角, a、b、 c 分别表示 A、B、C的对边.1三角形内角和：A BC .2

2、正弦定理：在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a sin Ab sin Bc sin C2RR为外接圆半径可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222222222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a b c 2bccos A.b c a 2cacos B.c a b 2abcosC.3三角形的面积公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 S 1 aha21 bhb2

3、1 chcha、hb、hc 分别表示 a、b、c 上的高.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 S 1 absin C21 bcsin A21 acsin B.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 解三角形：由三角形的六个元素即三条边和三个内角中的三个元素其中至少有一个是边求其他未知元素的问题叫做解三角形广义的,这里所说的元素仍可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等主要类型：1两类正弦定懂得三角形的问题：第 1、已知两角和任意一边,求其他的两边及一角.第 2、已知两角和其中一边的对角,求其他边角.2两类余弦定懂得三角形的问题：

4、第 1、已知三边求三角.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第 2、已知两边和他们的夹角,求第三边和其他两角.5. 三角形中的三角变换三角形中的三角变换,除了应用上述公式和上述变换方法外,仍要留意三角形自身的特点. 1角的变换由于在 ABC 中, A+B+C=,所以 sinA+B=sinC. cosA+B= cosC. tanA+B= tanC .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin AB 2Ccos2,cos AB 2sin C .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 2判定三角形外形时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式.6.

5、 求解三角形应用题的一般步骤：1分析：分析题意,弄清已知和所求.2建模：将实际问题转化为数学问题,写出已知与所求,并画出示意图.3求解：正确运用正、余弦定理求解. 4检验：检验上述所求是否符合实际意义.二、典例解析题型 1：正、余弦定理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0例 11在ABC 中,已知 A32.00 , B81.80 , a42.9 cm,解三角形.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2在 ABC 中,已知 a20 cm, b28 cm, A40 ,解三角形角度精确到10 ,边长精确到可编辑资料 - - -

6、欢迎下载精品_精品资料_1cm.解：1依据三角形内角和定理,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C1800 AB180032.0081.8066.20 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依据正弦定理,basin B sin AasinC042.9sin81.880.1cm .sin32.0042.9sin66.2 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依据正弦定理, csin A0sin32.074.1 cm.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2

7、依据正弦定理,sin Bbsin Aa28sin400 200.8999.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 00 B 1800 ,所以 B640 ,或 B1160.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 B640 时,C1800 AB180040 0640 760 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_casin C sin A20sin7600sin40030cm.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

8、资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0当 B116 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C1800 AB 1800401160240 , casinC sin A20sin240013cm.sin40可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点评：应用正弦定理时1应留意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形. 2对于解三角形中的复杂运算可使用运算器可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型 2：三角形面积例 2在ABC 中, sin Acos A22, AC2 , AB3 ,求tan

9、 A 的值和ABC的面积.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法一：先解三角方程,求出角A 的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin Acos A2 cos A45 2 ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cosA45 1 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 0A180 ,A4560 , A105.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tan A13tan4560 1323 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sinAsin105sin4560 sin4

10、5 cos60cos45 sin6026 .4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S ABC1 ACABsin A 212326243 26 .4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法二：由 sin Acos A 运算它的对偶关系式sin Acos A 的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin Asin Acos A22cos A212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2sinAcos A12

11、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0A180 ,sin A10,cos A0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_另解sin 2 A 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sinsin AA cos A 2cos A6212 sinAcos A3 ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_+得 sin A26 .4得 cos A26 .4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从而 tan Asin A cos A26442623 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_以下解法略

12、去.点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本学问,着重数学考查运算才能,是一道三角的基础试题.两种解法比较起来,你认为哪一种解法比较简洁了？题型 3：三角形中的三角恒等变换问题2例 3在 ABC中, a、b、c 分别是 A、 B、 C 的对边长,已知 a、b、c 成等比数列,且 a 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c2=acbc,求 A的大小及b sin B c的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：因给出的是a、b、c 之间的等量关系,要求A,需找 A 与三边的关系,故可用余弦定理.b22b sin B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

13、品资料_由 b =ac 可变形为c=a,再用正弦定理可求c的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2解法一： a、b、c 成等比数列, b =ac.22222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 a c =acbc, b +c a =bc.b 2在 ABC中,由余弦定理得： cos A=c 22bca 2bc1=,2bc2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ A=60.在 ABC中,由正弦定理得sin B= b sin Aa, b =ac,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - -

14、- 欢迎下载精品_精品资料_2 A=60,bsin Bcb2 sin 60 ac3=sin60 =.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法二：在 ABC中,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由面积公式得1 bcsin A= 21 acsin B.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22 b =ac, A=60, bcsin A=b sin B.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ b sin Bc=sin A=3 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_评述：解三角形时,找三边一角之间的关系常用余弦定理,找两边两角之间的关系常

15、用正弦定理.题型 4：正、余弦定理判定三角形外形例 4在 ABC中,假设 2cos Bsin AsinC ,就 ABC的外形肯定是A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形答案： C解析： 2sin Acos B sin C =sin A B=sinAcosB+cosAsinB sin AB 0, A B另解：角化边点评：此题考查了三角形的基本性质,要求通过观看、分析、判定明确解题思路和变形方向,通可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_畅解题途径题型 5：三角形中求值问题例 5ABC 的三个内角为 A、B、C出这个最大值.,求当 A 为何值时, cosA2c

16、os BC 2取得最大值,并求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_B+C AB+CA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：由 A+B+C=,得2 = 2 2,所以有 cos 2=sin 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cosA+2cosB+C2=cosA+2sinA2 =1 2sin2A2 + 2sinA= 2sin 2A12 232+ 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A当 sin 2 =123,即 A=时, cosA+2cosB+C322取得最大值为.可编辑资料 - - - 欢

17、迎下载精品_精品资料_点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式,通过三角函数的性质求得结果.题型 6：正余弦定理的实际应用例 62022 辽宁卷文,理如图, A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D 为两岛上的两座可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0灯塔的塔顶. 测量船于水面A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为750 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_030 ,于水面 C处测得 B 点和 D点的仰角均为60 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AC=0.1k

18、m.摸索究图中 B,D间距离与另外哪两点间距离相等,然后求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_B, D 的距离运算结果精确到0.01km,21.414 ,62.449 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解: 在 ABC中, DAC=30,ADC=60 DAC=30,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 CD=AC=0.1 又 BCD=180 60 60=60,故 CB是 CAD底边 AD的中垂线,所以 BD=BA,在 ABC中,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sinABBCAsinACABC, 即 AB=ACsin60 sin 1532

19、6,20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 26因此, BD=200.33km.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 B, D 的距离约为 0.33km .点评：解三角形等内容提到高中来学习,又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低, 对三角的综合考查将向三角形中问题舒展,但也不行太难,只要把握基本学问、概念,深刻懂得其中基本的数量关系即可过关.三、思维总结1. 解斜三角形的常规思维方法是：1已知两角和一边如A、B、C,由 A+B+C= 求 C,由正弦定理求a、b.2已知两边和夹角 如 a、b、c,应用余弦

20、定理求 c 边.再应用正弦定理先求较短边所对的角, 然后利用 A+B+C=,求另一角.3已知两边和其中一边的对角如a、b、A,应用正弦定理求B,由 A+B+C = 求 C,再由正弦定理或余弦定理求c 边,要留意解可能有多种情形.4已知三边 a、b、c,应余弦定理求 A、B,再由 A+B+C =,求角 C.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 三角学中的射影定理：在ABC 中, ba cosCc cos A ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 两内角与其正弦值：在ABC 中, ABsin Asin B ,可编辑资

21、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 解三角形问题可能显现一解、两解或无解的情形,这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮忙懂得” .三、课后跟踪训练1. 2022 上海文数 18. 假设 ABC 的三个内角满意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sinA :sinB :sin C5:11:13,就 ABC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A肯定是锐角三角形 .B肯定是直角三角形 .C肯定是钝角三角形 .D可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：由 sin A :sinB :sin5 2C1125:1

22、1:13132及正弦定理得a:b:c=5:11:13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由余弦定理得cos c25110 ,所以角 C 为钝角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 2022天津理数7 在 ABC 中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,假设 a2b23bc ,sin C23 sin B ,就 A=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 300B 600C 1200D 1500可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【答案】 A【解析】此题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用,属于中等题.由正弦定理得可编辑资料 - - - 欢迎下

23、载精品_精品资料_c23bc2R2 R23b ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 cosA=b2 +c2 -a23bcc2=3bc2 3bc30,所以 A=30可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2bc2bc2bc2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【温馨提示】解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算.3. 2022 湖北理数 3. 在 ABC 中, a=15,b=10,A=60 ,就 cosB =可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 223【答案】 DB 2

24、23C 6 D633可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ab15103可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】 依据正弦定理sin A可得sin B解得sin60sin Bsin B,又由于 ba ,就 BA,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 B 为锐角,所以cos B1sin26B,故 D正确 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4.2022 广东理数11. 已知 a,b,c分别是 ABC的三个内角 A,B,C 所对的边, 假设 a=1,b=3 , A+C=2B,就 sinC=.131可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

25、料_解： 由 A+C=2B 及 A+ B+C=180知, B=60由正弦定理知,sin Asin 60,即 sin A由2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ab 知, AB60 ,就 A30 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C180AB180306090, sin Csin901可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_52022 湖南卷文 在锐角ABC 中, BC围为.1, B2 A, 就ACcos A的值等于,AC 的取值范可编辑资料 - - - 欢迎下载精

26、品_精品资料_解析设A,B2 . 由正弦定理得ACBC ,AC1AC2.sin 2sin2coscos由锐角ABC 得 0290045 ,又 01803903060 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 30452cos3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22AC2cos2,3.6. 2022 全国卷理 在ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a 、b 、 c ,已知 a 2c22b ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2且 sinAcosC3cos Asin C, 求 b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析： : 此题事

27、实上比较简洁 , 但考生反应不知从何入手. 对已知条件 1a2次的右侧是一次的, 同学总感觉用余弦定理不好处理, 而对已知条件 2c2b左侧是二可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin AcosC3cos Asin C, 过多的关注两角和与差的正弦公式, 甚至有的同学仍想用现在已经不再考的积化和差, 导致找不到突破口而失分.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2解法：在ABC 中就sinAcosC3cosAsin C, 由正弦定理及余弦定理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2有: a ab2c22abb2c232bcac,可编辑资料 - - - 欢迎下载

28、精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_角化边 化简并整理得：2a2c2 b2 . 又由已知 a2c22b4bb2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得 b4或b0舍）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 在 ABC中,已知 A、B、 C成等差数列,求tan Atan C3 tanA tan C 的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2222解析：由于 A、B、C成等差数列,又 AB C 180,所以 A C 120,可编辑

29、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ACAC从而 60,故 tan223 . 由两角和的正切公式,得tan A2tan C23 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1tanA tan C 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 tan A2tan C233 tan A 2tan C ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tan Atan C3 tan A tan C3 .2222点评：在三角函数求值问题中的解题思路,一般是运用基本公式,将未知角变换为已知角求解,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同时结合三角变换公式的逆用.8.

30、2022 四川卷文在ABC 中, A、B 为锐角,角 A、B、C所对的边分别为 a、b、c ,且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin A5 ,sin B10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_510 I 求 AB 的值.II 假设 ab21,求 a、b、c 的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 I A、B 为锐角,sin A5 ,sin B10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_510可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ cos A1sin 2 A25 ,cos B1sin

31、2 B3 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_510可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cosABcos A cos BsinAsin B2 53 105102 .5105102可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 0AB, AB4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_II 由 I 知 C3,4sin C22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由abc得sin Asin Bsin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5a10b2c ,即 a2b,c5b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又ab21可编辑资料

32、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2bb21b1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2, c59. 2022 陕西文数 17本小题总分值 12 分在 ABC中,已知 B=45 ,D 是 BC边上的一点, AD=10,AC=14,DC=6,求 AB 的长.解在 ADC中, AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cosAD2DC 22AD DCAC2=100361961 ,21062可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ADC=120 ,ADB=60在 ABD中, AD=10,B=45 ,ADB=60,可编辑资料

33、- - - 欢迎下载精品_精品资料_由正弦定理得 AB=sinABAD ,ADBsin B103可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AD sinADB10sin 6025 6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin Bsin 4522可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10. 2022 辽宁文数 17本小题总分值12 分在 ABC中, a、b、c 分别为内角 A、B、C 的对边,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_且 2asin A2bcsin B2cbsin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求 A的大小.假设 sin Bsin C1 ,试判定ABC 的外形 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由已知,依据正弦定理得2a 22bcb2cb c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2即 ab 2c 2bc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由余弦定理得a2b 2c22bccos A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 cos A1 , A2120可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由得sin 2 Asin 2 Bsin 2 Csin B sinC.可编辑