2022年高中数学三角函数知识点及试题总结.docx

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1、精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 特殊角三角函数值：高考三角函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0sin 0 = 00cos 0 = 10sin3 00 = 12cos30 0 =32sin 450 =2202cos 45 =sin6 00 =32cos6 0 0 = 12sin9 0 =100cos9 0 =00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tan 0 = 0tan3 00 =332tan 450 =10tan6 0 =3tan9 0无 意 义可编辑资料 - - - 欢迎下载

2、精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 角度制与弧度制互化：360 02,180 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 004506 009 00120 01350150 018 0023564323460027 0036 0 003223. 弧长及扇形面积公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_弧长公式：l.r扇形面积公式 :S= 1 l .r2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_-是圆心角且为弧度制.r是扇形半径4. 任意角三角函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设是一个任意角,它的终边上一点p（ x,

3、y） ,r=x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 正弦 sin= yr余弦 cos= xr正切 tan= yx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 各象限的符号：yyy+OOx+x+O+sincostan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 同角三角函数的基本关系：（ 1）平方关系 ： sin2+ cos2=1.（2）商数关系：sin=tancos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2k, kz ）可编辑资料 - - - 欢迎

4、下载精品_精品资料_6. 诱导公式： 记忆口诀： 把 k2看象限.的三角函数化为的三角函数,概括为： 奇变偶不变,符号可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 sin 2ksin, cos 2kcos, tan 2ktank可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 sinsin, coscos, tantan3 sinsin, coscos, tantan4 sinsin, coscos, tantan 口诀：函数名称不变,符号看象限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5 sin2cos, cos2sin可编辑资料

5、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6 sin2cos, cos2sin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_口诀：正弦与余弦互换,符号看象限7 正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8、三角函数公式：两角和与差的三角函数关系sin=sincoscossin cos=coscossinsin倍角公式sin2=2sincos cos2=cos2-sin2=2cos2-1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tantan1tanta

6、ntantan 2=1-2sin22 tan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1降幂公式：升幂公式：tan 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1+cos= 2 cos2cos221-cos= 2sin2sin229 正弦定理：1cos2 21cos22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_abc2R.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin Asin Bsin C余弦定理：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2b 2b2c2c2a 2c2 2bc cos A ; a 2 2ca

7、cos B ; b 2 2ab cos C .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三角形面积定理 . S1 ab sin C1 bc sin A1 ca sin B .2221. 直角三角形中各元素间的关系：如图,在 ABC 中, C90, AB c,AC b, BC a.（ 1）三边之间的关系： a2b2 c2 .（勾股定理）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）锐角之间的关系： A B 90.（ 3）边角之间的关系： （锐角三角函数定义）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sinA cosBa , cosA sinBcb , tanA a .cb可

8、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 斜三角形中各元素间的关系：在 ABC 中, A、B、C 为其内角, a、b、 c 分别表示 A、B、C 的对边.（ 1）三角形内角和： A BC .（ 2）正弦定理：在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_asin Absin Bcsin C2 R .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ R 为外接圆半径）（ 3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a2 b2 c2 2bccosA. b2c2 a2 2cacosB. c2 a2

9、b22abcosC.3三角形的面积公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）1aha211bhb211chc（ ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 上的高）.21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）absinC22bcsinA22acsinB.22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3） asin B sin C bsin Csin A csin Asin B .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2sin BC2 sinCA2sin AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 4） 2R2sinAsinBsi

10、nC.（R 为外接圆半径）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 5）abc .4 R可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 6）s sasb sc . s1 a2bc.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 7） r s.4解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边） 求其他未知元素的问题叫做解三角形广义的, 这里所说的元素仍可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等解三角形的问题一般可分为下面两种情形： 如给出的三角形是直角三角形,就称为解直角三角形. 如给出的三角形是斜三角形,就称为解

11、斜三角形解斜三角形的主要依据是：设 ABC 的三边为 a、b、c,对应的三个角为A、B、C.（ 1）角与角关系： A+B+C = .（ 2）边与边关系： a + b c, b + c a, c + a b, a b c, b c b.（ 3）边与角关系：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_正弦定理asin Absin Bcsin C2R （R 为外接圆半径） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2余弦定理c2 = a2+b2 2bccosC, b2 = a2+c2 2accosB, a2 = b2+c2 2bccosA.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

12、它们的变形形式有： a = 2R sinA,5三角形中的三角变换sin A sin Ba , cos Ab bc 2a 2.2bc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三角形中的三角变换,除了应用上述公式和上述变换方法外,仍要留意三角形自身的特点.（1） 角的变换由于在 ABC 中, A+B+C= ,所以 sinA+B=sinC .cosA+B= cosC.tanA+B= 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABtanC. sin2CABcos, cos22Csin.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2）

13、三角形边、角关系定理及面积公式,正弦定理,余弦定理.r 为三角形内切圆半径, p 为周长之半.（3） 在 ABC 中,熟记并会证明： A , B , C 成等差数列的充分必要条件是 B=60 . ABC 是正三角形的充分必要条件是A , B, C 成等差数列且a,b, c 成等比数列.四【典例解析】题型 1：正、余弦定理uuurruuurrrr 15可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2022 岳阳一中第四次月考） .已知 ABC 中, ABa , ACb ,a brr0 ,SABC,4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a3, b5 ,就BAC（）可编辑资料 - -

14、 - 欢迎下载精品_精品资料_oo0A. 30B150C 150D 30o 或1500可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案C例 1（ 1）在 ABC 中,已知 A32.00 , B81.80 , a42.9 cm,解三角形.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）在ABC 中,已知 a长精确到 1cm）.20cm, b28 cm, A400 ,解三角形（角度精确到10 ,边可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2（ 1）在ABC中,已知 a2 3 , c

15、62 , B600 ,求 b 及 A.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）在ABC中,已知 a134.6cm , b87.8cm , c161.7cm ,解三角形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：（ 1） b2a2c22accosB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_= 23262 22 23 62 cos 450可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=1262 243 31可编辑资料 -

16、- - 欢迎下载精品_精品资料_=8 b22.求 A可以利用余弦定理,也可以利用正弦定理：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2解法一： cos Abc2a222 262 22 321 , A600.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2bc2 22622可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）由余弦定理的推论得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b2c 2a287.8 2161.72134.62可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cosAA056 202bc.0.5543,2 87.8 161.7可编辑资料 - - - 欢迎下

17、载精品_精品资料_c2a2b2134.62161.7287.8 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cosBB320532ca.0.8398,2 134.6 161.7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C1800 AB1800560203205390047.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3在 ABC 中, sin A的面积.cos A22, AC2 , AB3,求tan A 的值和ABC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin Acos

18、 A2 cos A45 2 ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos A45 1 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 0A180 ,A45o60o, A105.o可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tan Atan45o60o131323 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sinAsin105sin4560 sin45cos60cos45sin6026 .4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S ABC1 ACAB sin A 212326243 26 .4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4（ 2

19、022 湖南卷文）在锐角ABC中, BCAC 的取值范畴为.1, B2 A, 就ACcos A的值等于,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案2 2 ,3 解析设A,B2 .由正弦定理得ACBC ,AC1AC2.sin 2sin2coscos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由锐角ABC 得 0o290o0o45o,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 0 o180o390o30 o60o,故30o45o2cos3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22AC2cos2,3.可编辑资料 -

20、- - 欢迎下载精品_精品资料_例 5（ 2022 浙江理）（此题满分 14 分）在ABC中,角A, B, C 所对的边分别为a,b, c ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_且满意cos A2 5uuuruuur, ABAC3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_25可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ I）求 ABC 的面积.（ II ）如 bc6 ,求 a 的值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A252 A34uuuruuur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解（1）由于c

21、os, cos A2cos1,sin A,又由ABAC3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_25255可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得 bc cos A3,bc5 ,S ABC1 bc sin A22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）对于 bc5 ,又 bc6 ,b5, c1 或 b1,c5 ,由余弦定理得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2b2c22bc cos A20 ,a25可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 6（ 2022 全国卷理）在ABC中,内角 A 、B 、C 的对边长分别为 a 、 b 、 c

22、 ,已知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2c22b ,且 sinAcos C3cosAsin C,求 b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法一：在ABC 中Q sinAcos C3cosAsin C, 就由正弦定理及余弦定理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2有: agb2c22abb 2c232bca gc, 化简并整理得：22 a 2c2 b2 .又由已知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2c22b4bb2 .解得 b4或b0舍）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

23、资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 7ABC的三个内角为 A、B、C大值,并求出这个最大值.,求当 A 为何值时, cosA2cos BC 2取得最可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：由 A+B+C= ,得 B+C = A ,所以有B+CA=sin.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222cos22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_B+CA2AAA1 23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cosA+2cos2=cosA+2sin2=1 2sin2+ 2sin 2 =

24、 2sin 22 +.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当2Asin= 1,即 A= 时, cosA+2cos B+C 取得最大值为 3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22322可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 8（ 2022 浙江文）（此题满分 14 分）在ABC中,角A, B, C 所对的边分别为a,b, c ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_且满意cos A25uuuruuur, ABAC3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_25（ I）求ABC 的面积.（ II ）如 c1 ,求 a 的值可编辑资料 - -

25、 - 欢迎下载精品_精品资料_解（）cos A2 cos 2 A1225 232155可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 A0, , sin A1cos2 A4,而 AB.AC5AB . AC . cos A3bc3 ,所5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_以 bc5 ,所以ABC 的面积为：1 bc sin A 2154225可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）由（）知bc5 ,而 c1,所以 b5可编辑

26、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 ab2c 22bc cosA2512325可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 9在 ABC 中, a、b、c 分别是 A、 B、 C 的对边长,已知 a、b、c 成等比数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_列,且 a2 c2=acbc,求 A 的大小及 a、b、c 成等比数列, b2=ac.b sin B c的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2又 a2 c2=acbc, b2+c2 a2=bc.在 ABC 中,由余弦定理得： cosA= bc 22bc

27、a= bc = 122bc2, A=60.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 ABC 中,由正弦定理得sinB=bsin A a, b2=ac, A=60,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ b sin Bcb 2 sin 60ac=sin60 =3 .2ACAC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 10在 ABC 中,已知 A、B、C 成等差数列, 求 tan2的值.tan23 tan2tan2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：由于 A、B、C 成等差数列,又 A B C180,所以 A C120,ACAC可编辑资料 - - -

28、 欢迎下载精品_精品资料_从而2tan A 60,故 tan3 .由两角和的正切公式,2tan C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得21tan23 .A tan C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 tan A2tan C233 tanA tan C , 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tan A2tan C23 tanA tan C3 .22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 11在 ABC 中,如 2cosBsinAsinC,就 ABC 的外形肯定是（）A. 等腰直角三

29、角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形答案： C解析： 2sin AcosB sin（ A B） sin（A B）又 2sinAcosB sinC, sin（ AB） 0, A B例 12（2022 四川卷文）在 ABC 中,A、B 为锐角,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,且 sin A5 ,sin B10510（ I）求 AB 的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ II）如 ab21 ,求 a、b、c 的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解（ I） A、B 为锐角,sin A510,sin B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

30、品资料_510可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ cos A1sin2 A25,cos B1sin 2 B3 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_510可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos ABcos Acos B 0ABsinA sin B253 105102 .5105102可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AB4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ II ）由（ I）知 C3,sin C242可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由abc得sin Asin Bsin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精

31、品_精品资料_5a10b2c ,即 a2b, c5b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又ab212bb21b1a2, c521.在 ABC 中, A、B 为锐角,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,且sin A5 ,sin B10510（ I）求 AB 的值.（ II）如 ab21 ,求 a、b、c 的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解（ I） A、B 为锐角,sin A5 ,sin B10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_510可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ cos A1sin2 A25,cos B1sin 2 B3

32、 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_510可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos ABcos Acos BsinA sin B253 105102 .5105102可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 0ABAB4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ II ）由（ I）知 C32,sin C42可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由abc得sin Asin Bsin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5a10b2c ,即 a2b, c5b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又ab212bb21b1a2, c5五【思维总结】1. 解斜三角形的常规思维方法是：（ 1）已知两角和一边（如A、B、C）,由 A+B+C = 求 C,由正弦定理求 a、b.（ 2）已知两边和夹角（如a、b、c）,应用余弦定理求c 边.再应用正弦定理先求较短边所对的角,然后利用A+B+C = ,求另一角.（ 3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A）,应用正弦定理求B,由 A+B+C = 求C,再由正弦定理或余弦定理求c 边,要留意解可能有多种情形.（ 4）已知三边 a、b、c,应余弦定理求 A、B,再由