2022年高中数学知识点总结大全-------空间向量与立体几何 .docx

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1、精品_精品资料_高中数学学问点总结空间向量与立体几何一、考点概要：1、空间向量及其运算1空间向量的基本学问：定义：空间向量的定义和平面对量一样,那些具有大小和方向的量叫做向量,并且仍用有向线段表示空间向量,且方向相同、长度相等的有向线段表示相同向量或相等的向量.空间向量基本定理：定理：假如三个向量不共面,那么对于空间任一向量,存在唯独的有序实数组 x、y、z,使.且把叫做空间的一个基底,都叫基向量. 正交基底：假如空间一个基底的三个基向量是两两相互垂直,那么这个基底叫正交基底. 单位正交基底：当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时,称为单位正交基底,通常用表示. 空间四点共面：设 O、A、B

2、、C 是不共面的四点,就对空间中任意一点P,都存在唯独的有序实数组 x、y、z,使.共线向量平行向量 ：定义： 假如表示空间向量的有向线段所在的直线相互平行或重合,就这些向量叫做共线向量或平行向量,记作. 规定：零向量与任意向量共线.共线向量定理：对空间任意两个向量平行的充要条件是：存在实数,使.共面对量：定义： 一般的, 能平移到同一平面内的向量叫做共面对量.空间的任意两个向量都是共面对量.向量与平面平行： 假如直线 OA 平行于平面或在 内,就说向量 平行于平面 ,记作.平行于同一平面的向量,也是共面对量.共面对量定理： 假如两个向量、 不共线, 就向量与向量 、 共面的充要条件是： 存在

3、实数对 x、y,使.空间的三个向量共面的条件：当、 、 都是非零向量时,共面对量定理实际上也是、 、所在的三条直线共面的充要条件,但用于判定时,仍需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线所确定的平面内.共面对量定理的推论： 空间一点 P 在平面 MAB 内的充要条件是：存在有序实数对x、y,使得,或对于空间任意肯定点 O,有.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_空间两向量的夹角：已知两个非零向量、 ,在空间任取一点 O,作,两个向量的起点肯定要相同,就叫做向量与 的夹角,记作,且.两个向量的数量积：定义：已知空间两个非零向量、 ,就叫做向量 、的数量积,记作, 即：.规定：零向量与

4、任一向量的数量积为0.留意：两个向量的数量积也叫向量、 的点积或内积,它的结果是一个实数,它等于两向量的模与其夹角的余弦值.数量积的几何意义：叫做向量 在方向上的投影其中 为向量 和 的夹角.即：数量积等于向量 的模与向量 在 方向上的投影的乘积.基本性质：运算律：2空间向量的线性运算：定义：与平面对量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下：加法：减法： 数乘向量： 运算律： 加法交换律 ：加法 结合律：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数乘安排律：二、复习点睛：1、立体几何初步是侧重于定性讨论,而空间向量就侧重于定量讨论.空间向量的引入,为解决三维空间中图形的位置关系

5、与度量问题供应了一个非常有效的工具.2、依据空间向量的基本定理,显现了用基向量解决立体几何问题的向量法,建立空间直角坐标系,形成了用空间坐标讨论空间图形的坐标法,它们的解答通常遵循“三步 ”：一化向量问题,二进行向量运算,三回到图形问题.其实质是数形结合思想与等价转化思想的运用.3、实数的运算与向量的运算既有联系又有区分,向量的数量积满意交换律和安排律,但不满意结合律,因此在进行数量积相关运算的过程中不行以随便组合.值得一提的是：完全平方公式和平方差公式仍旧适用,数量积的运算在很多方面和多项式的运算如出一辙,特别去括号就显得更为突出,下面两个公式较为常用,请务必记住并学会应用：.2、空间向量的

6、坐标表示：1空间直角坐标系：空间直角坐标系 O-xyz,在空间选定一点 O 和一个单位正交基底,以点 O 为原点,分别以的方向为正方向建立三条数轴： x 轴、y 轴、z 轴,它们都叫做坐标轴,点 O 叫做原点,向量叫做坐标向量, 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面, 分别称为 xOy 平面,yOz 平面,zOx 平面.右手直角坐标系： 右手握住 z 轴,当右手的四指从正向x 轴以 90角度转向正向 y 轴时,大拇指的指向就是 z 轴的正向.构成元素：点原点 、线 x、y、z 轴、面 xOy 平面, yOz 平面, zOx 平面.空间直角坐标系的画法： 作空间直角坐标系 O-xyz 时,一般使

7、xOy=135或 45, yOz=90,z 轴垂直于 y 轴, z 轴、y 轴的单位长度相同, x 轴上的单位长度为 y 轴或 z 轴的一半.2空间向量的坐标表示：已知空间直角坐标系和向量,且设为坐标向量如图,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由空间向量基本定理知,存在唯独的有序实数组叫做向量在此直角坐标系中的坐标,记作.在空间直角坐标系 O-xyz 中,对于空间任一点 A,对应一个向量,假设,就有序数组 x, y, z叫做点在此空间直角坐标系中的坐标,记为Ax ,y,z,其中 x 叫做点 A 的横坐标, y 叫做点 A 的纵坐标, z 叫做点 A 的竖坐标,写点的坐标时,三个坐

8、标间的次序不能变.空间任一点的坐标的确定： 过 P 分别作三个与坐标平面平行的平面 或垂面,分别交坐标轴于A、B、C 三点, x=OA, y=OB, z=OC,当与 的方向相同时, x 0,当与的方向相反时, x 0,同理可确 y、z如图.规定：一切空间向量的起点都是坐标系原点,于是,空间任意一个向量与它的终点坐标一一对应.一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.设,就：3空间向量的直角坐标运算：空间两点间距离：.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_空间线段的中点 M x,y,z的坐标：.球面方程： 二、复习点睛：4、过定点 O,作三条相互

9、垂直的数轴,它们都以O 为原点且一般具有相同的长度单位.这三条轴分别叫做 z 轴横轴、y 轴纵轴、z 轴竖轴.统称坐标轴.通常把 x 轴和 y 轴配置在水平面上,而z 轴就是铅垂线. 它们的正方向要符合右手规章, 即以这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系, 点 O 叫做坐标原点.5、空间直角坐标系中的特别点:1点原点的坐标： 0,0,0.2线坐标轴上的点的坐标： x 轴上的坐标为 x,0,0,y 轴上的坐标为 0,y,0, z 轴上的坐标为0,0,z.3面 xOy 平面、 yOz 平面、 zOx 平面内的点的坐标：平面上的坐标为x,y,0、平面上的坐标为0,y,z、平面上的坐标为 x,0

10、,z6、要使向量 与 z 轴垂直,只要 z=0 即可.事实上,要使向量与哪一个坐标轴垂直,只要向量的相应坐标为 0 即可.7、空间直角坐标系中,方程 x=0 表示 yOz 平面、方程 y=0 表示 zOx 平面、方程 z=0 表示 xOy 平面, 方程 x=a 表示平行于平面 yOz 的平面、方程 y=b 表示平行于平面 zOx 的平面、方程 z=c 表示平行于平面 xOy 平面.8、只要将和代入,即可证明空间向量的运算法就与平面对量一样.9、由空间向量基本定理可知,空间任一向量均可以由空间不共面的三个向量生成任意不共面的三个向量都可以构成空间的一个基底,此定理是空间向量分解的基础.立体几何中

11、的向量方法1. 空间向量的坐标表示及运算1数量积的坐标运算设 aa1,a2,a3,bb1,b2,b3, 就ab a1b1,a2b2,a3b3.aa1,a2,a3.aba1b1a2b2a3b3. 2共线与垂直的坐标表示设 aa1,a2,a3,bb1,b2,b3,就 ab. ab. a1b1,a2b2, a3b3 R, a b. ab0. a1b1a2b2a3b30a,b 均为非零向量 3模、夹角和距离公式设 aa1,a2,a3,bb1,b2,b3, 就|a| aa a21 a2a23,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cosa, b aba1b1 a2b2a3b3.可编辑资料 -

12、- - 欢迎下载精品_精品资料_|a|b|222222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1a2a3 b1b2b3设 Aa1,b1,c1,Ba2,b2,c2,就 dAB|AB|a2a1 2 b2b1 2 c2 c1 2.2. 立体几何中的向量方法(1) 直线的方向向量与平面的法向量的确定直线的方向向量： l 是空间始终线, A,B 是直线 l 上任意两点,就称 AB为直线 l 的方向向量, 与AB 平行的任意非零向量也是直线 l 的方向向量平面的法向量可利用方程组求出：设a,b 是平面 内两不共线向量, n 为平面 的法向量,就求法na0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

13、品资料_向量的方程组为nb0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 用向量证明空间中的平行关系设直线 l 1 和 l2 的方向向量分别为 v1 和 v2,就 l1l2或 l1 与 l2 重合. v 1v 2.设直线 l 的方向向量为 v,与平面 共面的两个不共线向量 v 1 和 v 2,就 l或 l. . 存在两个实数x, y,使 vxv 1yv 2.设直线 l 的方向向量为 v ,平面 的法向量为 u,就 l或 l. . vu.设平面 和 的法向量分别为 u1,u2,就 . u1u2. 3用向量证明空间中的垂直关系设直线 l 1 和 l2 的方向向量分别为 v1 和 v2,

14、就 l1l2. v 1v2. v 1v20.设直线 l 的方向向量为 v ,平面 的法向量为 u,就 l. v u.设平面 和 的法向量分别为 u1 和 u2,就 . u1u 2. u1u2 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4点面距的求法如图,设 AB 为平面 的一条斜线段, n 为平面 的法向量,就 B 到平面 的距离 d|AB n|n|.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一种思想向量是既有大小又有方向的量,而用坐标表示向量是对共线向量定理、共面对量定理和空间向量基本定理的进一步深化和标准,是对向量大小和方向的量化：1以原点为起点的向量,其终点坐标即向量坐标

15、. 2向量坐标等于向量的终点坐标减去其起点坐标可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得到向量坐标后,可通过向量的坐标运算解决平行、垂直等位置关系,运算空间成角和距离等问题 三种方法主要利用直线的方向向量和平面的法向量解决以下问题：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 平行直线与直线平行直线与平面平行平面与平面平行可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 垂直直线与直线垂直直线与平面垂直平面与平面垂直可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) 点到平面的距离求点到平面距离是向量数量积运算 求投影

16、 的详细应用,也是求异面直线之间距离,直线与平面距离和平面与平面距离的基础双基自测1. 两不重合直线 l 1 和 l2 的方向向量分别为 v 11,0, 1,v22,0,2,就 l1 与 l2 的位置关系是 A平行B相交C垂直D不确定解析 v 2 2v 1,v 1v 2.答案 A2. 已知平面 内有一个点 M 1, 1,2,平面 的一个法向量是 n6, 3,6,就以下点 P 中在平面内的是 AP2,3,3BP 2,0,1CP4,4,0DP3, 3,4解析 n6, 3,6是平面 的法向量,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nMP ,在选项 A 中,MP 1,4,1,nMP 0.答案

17、 A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_32022 唐山月考 已知点 A,B,C平面 ,点 P.,就AP AB 0,且AP AC 0 是AP BC0 的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析 由APAB 0,得APAB AC 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ APAC0即APCB0,亦即 APBC 0,反之,假设 APBC0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就APACAB 0. APAB APAC,未必等于 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案 A4

18、 人教 A 版教材习题改编 已知 a 2, 3,1,b 2,0,4,c4, 6,2,就以下结论正确的选项是Aa c, b cBa b, a cCa c, a bD以上都不对解析 c4, 6,2 22, 3,1 2a,a c,又 a b 223 0 140,ab.答案 C5 2022 舟山调研 已知AB 2,2,1, AC4,5,3,就平面 ABC 的单位法向量是 解析 设平面 ABC 的法向量 nx, y, z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AB n0,就AC n0,2x2y z0,即4x5y 3z0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎

19、下载精品_精品资料_令 z1,得1x2,y 1,n12, 1, 1 , 平面 ABC 的单位法向量为n|n|可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1223, 3,3 .122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案 3, 3,3考向一利用空间向量证明平行问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 1】.如下图,在正方体ABCD -A1B1C1D1 中, M 、N 分别是 C1C、B1C1 的中点求证： MN 平面A1BD.审题视点 直接用线面平行定理不易证明,考虑用向量方法证明证明 法一如下图,以 D 为原点, DA 、DC、DD 1 所在直线分别为 x 轴

20、、y 轴、z 轴建立空间直角坐可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_标系,设正方体的棱长为 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2就 M 0, 1,1 ,N12, 1, 1 ,D0,0,0,A11,0,1,B1,1,0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是MN 11,0,22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设平面 A1BD 的法向量是 nx, y, zx z 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 nDA 1 0,且 nDB 0,得x y 0.可编辑资料 - - - 欢迎下

21、载精品_精品资料_取 x1,得 y 1, z 1.n1, 1, 111又MN n 2,0,2 1, 1, 1 0,MN n,又 MN .平面 A1BD,MN 平面 A1BD.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_法二 MN C1NC1M 1 11111111D1D 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C BC C22D ADA22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_MN DA 1,又 MN 与 DA1 不共线, MN DA 1,又 MN .平面 A1BD,A1D. 平面 A1BD, MN 平面 A1BD.【训练 1】 如下图,平面 PAD平面 ABCD ,

22、ABCD 为正方形, PAD 是直角三角形,且 PAAD2,E、F、G 分别是线段 PA、PD、CD 的中点求证： PB平面 EFG . 证明 平面 PAD平面 ABCD 且 ABCD 为正方形,AB 、AP、AD 两两垂直, 以 A 为坐标原点, 建立如下图的空间直角坐标系 A-xyz,就 A0,0,0、B2,0,0、C2,2,0、D0,2,0、P0,0,2、E0,0,1、F 0,1,1、G1,2,0PB2,0, 2,FE 0, 1,0,FG 1,1, 1,设PBsFEtFG ,即2,0, 2s0, 1,0 t1,1, 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_t 2, ts 0,

23、t 2,解得 st2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PB2FE 2FG ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 FE 与FG 不共线, PB、FE 与FG 共面PB.平面 EFG ,PB平面 EFG .考向二利用空间向量证明垂直问题【例 2】.如下图,在棱长为 1 的正方体 OABC-O1A1B1C1 中, E,F 分别是棱 AB,BC 上的动点,且 AEBF x,其中 0x 1,以 O 为原点建立空间直角坐标系 O-xyz. 1求证 A1FC1E.1 2假设 A1, E,F,C1 四点共面 ,求证： A1F 2A1C1A1E.审题视点 此题已建好空间直角坐标系

24、,故可用向量法求解,要留意找准点的坐标 证明 1由已知条件A11,0,1, F 1x,1,0,C10,1,1,E 1, x,0,A1F x,1, 1,C1E1,x1, 1,就A1F C1E xx 1 10,A1F C1E,即 A1FC1E.2A1F x,1, 1,A1C1 1,1,0, A1E0,x, 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设A1F A1C1A1E,1解得 2,1.x ,1x,1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A1F 1 11A1E.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2A C证明直线

25、与直线垂直, 只需要证明两条直线的方向向量垂直, 而直线与平面垂直, 平面与平面垂直可转化为直线与直线垂直证明【训练 2】 如下图,在四棱锥 P-ABCD 中, PA底面 ABCD ,ABAD,ACCD, ABC 60,PAABBC,E 是 PC 的中点证明：1AE CD. 2PD平面 ABE .证明 AB、AD、AP 两两垂直,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_建立如下图的空间直角坐标系,设PA ABBC 1,就 P0,0,1 1 ABC 60,ABC 为正三角形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C 130 , E 131 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

26、精品资料_2, 2 ,4, 4 ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 D0, y,0,由 AC CD,得AC CD 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23即 y 3 ,就23D0, 3 ,0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_CD130 .又AE 131 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2, 6 ,4, 4 ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AECD11330,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 2

27、4 6 4 AE CD,即 AE CD.32法一 P0,0,1, PD 0, 23, 1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又AEPD 32311 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 3 2PDAE ,即 PDAE.AB 1,0,0, PD AB 0,PDAB,又 ABAEA,PD平面 AEB .法二 AB 1,0,0,AE 131 ,4, 4 , 2设平面 ABE 的一个法向量为 nx, y, z,x 0,就 1314x 4 y2z 0,令 y2,就 z 3, n0,2, 3PD 0,23, 1 ,明显 PD 333 n.PDn, PD平面 ABE ,即

28、PD平面 ABE .考向三利用向量求空间距离【例 3】.在三棱锥 SABC 中, ABC 是边长为 4 的正三角形,平面 SAC平面ABC,SASC23,M、N 分别为 AB、SB 的中点,如下图,求点 B 到平面 CMN 的距离 审题视点 考虑用向量法求距离,距离公式不要记错可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 取 AC 的中点 O,连接 OS、OB.SA SC, ABBC,ACSO,ACBO.平面 SAC平面 ABC,平面 SAC平面 ABCAC,SO平面 ABC, SOBO.如下图,建立空间直角坐标系O-xyz, 就 B0,23,0,C2,0,0,S0,0,2 2,M 1,

29、 3,0,N0, 3, 2CM 3, 3, 0,MN 1,0, 2, MB 1, 3, 0设 nx, y, z为平面 CMN 的一个法向量,CM n3x 3y0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就MN n x 2z 0,取 z 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 x 2,y 6, n2, 6,1点 B 到平面 CMN 的距离|nMB |42 d |n| 3 .点到平面的距离,利用向量法求解比较简洁,它的理论基础仍出于几何法,如此题,事实上,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_作 BH 平面 CMN 于 H.由BH BM MH 及BH n n得|B

30、H n|nBM |BH | |n |,BM ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_|BH所以 |nBM |n|,即 d|nBM |n|.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【训练 3】 2022 江西如图, BCD 与 MCD 都是边长为 2 的正三角形,平面 MCD平面 BCD,AB平面 BCD,AB23.(1) 求点 A 到平面 MBC 的距离.2求平面 ACM 与平面 BCD 所成二面角的正弦值 解 取 CD 中点 O,连 OB,OM,就 OBCD, OM CD.又平面 MCD 平面 BCD,就 MO 平面 BCD.

31、取 O 为原点,直线 OC、BO、OM 为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系如图OBOM 3,就各点坐标分别为 C1,0,0, M 0,0, 3,B0, 3,0,A0,3,23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1设 nx,y,z是平面 MBC 的法向量,就 BC 1, 3,0,BM 0, 3, 3,由 nBC得 x 3y0.由 n BM 得 3y 3z0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_取 n3, 1,1,BA 0,0,23,就d|BAn|23|n| 5 2155.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2CM 1,0, 3, CA 1, 3,

32、23设平面 ACM 的法向量为 n1x, y, z,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 n1 CM ,n1 CA得 x 3z0, x 3y23z0,又平面 BCD 的法向量为 n2 0,0,1解得 x 3z,yz,取 n13, 1,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1n2所以 cosn1,n2 |n1|n2|12 5.设所求二面角为 ,就 sin 5 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5标准解答 15立体几何中的探干脆问题【问题讨论】 高考中立体几何部分在对有关的点、线、面位置关系考查的同时,往往

33、也会考查一些探干脆问题,主要是对一些点的位置、线段的长度,空间角的范畴和体积的范畴的探究,对条件和结论不完备的开放性问题的探究, 这类题目往往难度都比较大, 设问的方式一般是 “是否存在？存在给出证明, 不存在说明理由 .”【解决方案】 解决存在与否类的探干脆问题一般有两个思路：一是直接去找存在的点、线、面或是一些其他的量.二是第一假设其存在,然后通过推理论证或是运算,假如得出了一 个合理的结果,就说明其存在.假如得出了一个冲突的结果,就说明其不存在.【例如】. 本小题总分值 14 分 2022 福建如图, 四棱锥 PABCD 中,PA底面ABCD.四边形 ABCD 中, ABAD,ABAD

34、4, CD 2, CDA 45. 1求证：平面 PAB平面 PAD.(2) 设 ABAP.假设直线 PB 与平面 PCD 所成的角为 30,求线段 AB 的长.在线段 AD 上是否存在一个点 G,使得点 G 到点 P、B、C、D 的距离都相等？解答示范 1由于 PA平面 ABCD ,AB. 平面 ABCD , 所以 PAAB .又 ABAD,PA ADA, 所以 AB平面 PAD.又 AB. 平面 PAB,所以平面 PAB平面 PAD.4 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2以 A 为坐标原点,建立空间直角坐标系Axyz如图 在平面 ABCD 内,作 CEAB 交 AD 于点

35、E,就 CEAD .在 Rt CDE 中, DE CDcos 45 1, CECD sin 451.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 ABAPt,就 Bt,0,0, P0,0,t 由 ABAD4 得, AD4t,所以 E0,3 t,0,C1,3 t,0,D0,4 t,0, CD 1,1,0, PD 0,4t, t6 分 设平面 PCD 的法向量为 nx,y, z,由 nCD , nPD ,得 xy0,4 t ytz0.取 xt,得平面 PCD 的一个法向量 nt,t,4t又 PB t,0, t,故由直线 PB 与平面 PCD 所成的角为 30得 cos 60 ,即|n | |

36、PB |2,nP B1解得 t445或 t 4舍去 ,由于 AD 4 t 0,所以 AB5.9 分错误 . 法一 假设在线段 AD 上存在一个点 G,使得点 G 到 P, B, C,D 的距离都相等, 设 G0, m,0其中 0m 4 t,就 GC 1,3tm,0, GD 0,4 tm,0,GP 0, m, t|G D |由|GC | 得 123tm24 tm2,即 t 3 m.1由|GD | 得4 tm2m2t2.2|G P |由1、2消去 t,化简得 m23m40.312 分由于方程 3没有实数根, 所以在线段 AD 上不存在一个点 G,使得点 G 到点 P、C、D 的距离都相等 从而,在线段 AD 上不存在一个点 G,使得点 G 到点 P、B、C、D 的距离都相等 14 分法二 1同法一2以 A 为坐标原点,建立空间直角坐标系Axyz如图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在平面 ABCD 内,作 CEAB 交 AD