2022年高等数学讲义---一元函数微分学 .docx

《2022年高等数学讲义---一元函数微分学 .docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高等数学讲义---一元函数微分学 .docx（49页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精品_精品资料_其次章一元函数微分学2.1导数与微分甲内容要点一、导数与微分概念1、导数的定义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设函数 yf x在点x0 的某领域内有定义,自变量x 在 x0 处有增量x ,相应的函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_增量yf x0xfx0 .假如极限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limyx0xlimx0f x 0xfx x0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

2、存在,就称此极限值为函数f x 在x0 处的导数也称微商 ,记作f x0 ,或 yx x0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dy,df x等,并称函数 yf x在点x 处可导.假如上面的极限不存在,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0x xdxdxx x00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_称函数 yf x 在点x0 处不行导.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_导 数 定 义 的 另 一 等

3、 价 形 式 , 令 xx0x,xxx0, 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xlimf xf x0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0xx 0xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_我们也引进单侧导数概念.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_右导数：f xlimf xf x0limf x0xf x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0xx0xx0x0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_左导数：f xlimf

4、xf x0 limf x0xf x0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0xx0xx0x0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x 在点x0 处可导f x 在点x0 处左、右导数皆存在且相等.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 导数的几何意义与物理意义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如函数 yf x 在点x0 处导数f x0 存在,就在几何上f x0 表示曲线 yf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在点x0,f

5、x0 处的切线的斜率.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_切线方程：yf x0 f x0 xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_法线方程：yf x 1xx f x 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_000设物体作直线运动时路程S 与时间 t 的函数关系为 Sf t ,假如f t0 存在,就f t0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_表示物体在时刻t 0 时的瞬时速度.可编辑资料 - -

6、 - 欢迎下载精品_精品资料_3. 函数的可导性与连续性之间的关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如函数 yf x 在点x0 处可导,就f x 在点x0 处肯定连续,反之不然,即函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yf x在点x0 处连续, 却不肯定在点x0 处可导. 例如, yf x| x |,在 x00 处连可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_续,却不行导.4. 微分的定义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设函数 yf x在点x0 处有增量x 时,假如函数的增量yf x0xf x0

7、有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_下面的表达式yA x0 xox x0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中 Ax0 为 x 为无关, ox 是 x0 时比 x 高阶的无穷小, 就称f x 在 x0 处可微,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_并把y 中的主要线性部分Ax0x 称为f x 在 x0 处的微分,记以dy xx或 df x x x.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_00我们定义自变量

8、的微分dx 就是x .5. 微分的几何意义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yf x0xfx0 是曲线 yf x 在点x0 处相应可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于自变量增量x 的纵坐标f x0 的增量,微分dy x x是曲线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0yf x 在点M 0 x0,f x0 处切线的纵坐标相应的增量见可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图.6. 可微与可导的关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x在 x

9、0 处可微f x 在x0 处可导.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_且 dyx x0Ax0xf x0 dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一般的, yf x 就dyf x dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以导数f xdy也称为微商,就是微分之商的含义.dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 高阶导数的概念可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如函数 yf x 的导数yf x 在点x0 处仍是可导的, 就把 yfx 在点

10、x0 处可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的导数称为 yf x在点x0 处的二阶导数,记以yx x0 ,或 fx0 ,或d 2 y2dxx x0等,也可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_称 f x 在点 x0 处二阶可导.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如 yf x 的 n1 阶导数的导数存在,称为yf x 的 n 阶导数,记以y n ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y n x,ndy 等,这时也称 yf x 是 n 阶可导.可编辑资料

11、- - - 欢迎下载精品_精品资料_dx n二、导数与微分运算1. 导数与微分表略2. 导数与微分的运算法就1四就运算求导和微分公式2反函数求导公式3复合函数求导和微分公式4隐函数求导法就5对数求导法6用参数表示函数的求导公式乙典型例题一、用导数定义求导数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例设 f xxa g x ,其中g x 在 xa处连续,求f a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： falimf xf alimxag x0ga可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xaxaxaxa2二、分段函数在分段点

12、处的可导性例 1设函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xx ,x1 axb,x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_试确定 a 、 b 的值,使f x 在点 x1 处可导.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：可导肯定连续,f x 在 x1处也是连续的.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由f 10lim f xlim x 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1x1可编辑资料

13、- - - 欢迎下载精品_精品资料_f 10lim f xlimaxbab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_要使 fx 在点 x1 处连续,必需有 ab1 或 b1a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xf 1x21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又f 1limlimlim x12x 1x1x 1x1x 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 1limf xf 1limaxb1lima x1a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

14、品资料_x 1x1x 1x1x 1x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_要使 fx 在点 x1 处可导,必需f 1f 1,即 2a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故当 a2, b1a121 时,f x 在点 x1 处可导 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2 en x 1axb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2设f xlimn x 1,问 a 和 b 为何值时,f x可导,且求f

15、 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ne1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： xx1 时,1 时,limnlimnen x 1,en x 1 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f xx2 , aaxx1 , b1 , x1 ,2b,x1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 x1 处连续性,limf xlim x21 , f 1ab11,可知 ab1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_再由 xx1x121 处可导性,可编

16、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2f 1limf 1存在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 1limaxbf 1 存在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x且 f 11x1f 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依据洛必达法就f 1lim 2 x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 1lim ax1 1x11a ,a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是 b1a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xx 2 ,1,x1 ,x1 ,可编辑

17、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 x1, x1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x2x, x1,2,x1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、运用各种运算法就求导数或微分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1设f x 可微, yf ln xe f x ,求 dy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： dyf lnxde f x ef x df ln x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xef x flnxdx1 f ln xxef x dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_e f x

18、 f x fln x1f lnxx dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2设 yx xx x0 ,求 dydx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： ln yxx ln x对 x 求导,得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 y xx ln x1 xxyx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_再令 y1x x , ln yx ln x,对 x求导,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

19、111 yln x y1x1, xx xx ln x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是 dyx xdxln x1 ln xx x 1x x x0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3设 yyx 由方程xy 所确定,求 dyyxdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：两边取对数,得y ln xx ln y ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

20、_对 x 求导,y ln xyln yx y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x yy2xyn y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y ln xln y , y2y xxxy ln x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4设xt 22eut2 tusin ududx求dy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ye ln10dxu du可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： dxdtt 42t2tesintt 2e sint可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2dy

21、dy dt2eln12t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_四、求切线方程和法线方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1已知两曲线yf x 与 yarctanxt2edt在点 0,0处的切线相同,写出此切线方可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0程,并求2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limn解：由已知条件可知nf nf 00 , f0e arctan x 22x 01可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故所求切线方程为2yx2f n1xf 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lim nf lim 22 f

22、02可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnn2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2已知曲线的极坐标方程r坐标方程.1cos,求曲线上对应于处的切线与法线的直角6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：曲线的参数方程为x1cos coscoscos2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y1dycos sinsinsincos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dydx6ddx6dcossincos22 cossin 21sin6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1故切线方程 y231 x433 24可编辑资料 -

23、 - - 欢迎下载精品_精品资料_35即xy3044可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_法线方程1333yx2424可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即xy131044可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例3设f x为 周 期 是5的 连 续 函 数 , 在 x0 邻 域 内 , 恒 有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 1sinx3 f 1sinx8xx .其中lim x0 , fx 在 x1 处可导,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求曲线 yf x在点6, fx0x 6 处

24、的切线方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由题设可知f 6f 1 , f6f 1 ,故切线方程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yf 1f 1x6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以关键是求出f 1 和 f1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 f x 连续性lim f 1sin x3 f 1sinx2 f 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由所给条件可知2 f 1

25、0 ,f 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_再由条件可知limf 1sin x3 f 1sin xlim 8x x 8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0sin xx0 sin xsin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 sin xt, limf 1t3 f 1t 8 ,又f 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_t0t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 上式左边 = lim f 1t f 13 limf 1tf 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_t

26、0tt0t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_= f 13 f14 f1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 4 f18f 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所求切线方程为 y02 x6即 2 xy120可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_五、高阶导数1. 求二阶导数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1设 yln xx2a 2 ,求y 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

27、料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： y 1xx21 xx2a 21a2 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx 2a2x 2a 2x 2a 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y 1 x223a 2 22 xx 2xa 2 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x arctan t例 2设2d 2 y求2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y ln1t dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： dydxdy2t2tdt1t 2dx1dt1t 2可编辑资料

28、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dydy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_d 2ydddx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dxdx/21t 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dx2dxdtdt11t 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3设 yyx 由方程x 2y 21 所确定,求y 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 2 x2 yy0 , yx y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y 1 yxyy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

29、精品资料_y2y2y2x21y3y32. 求 n 阶导数 n2 ,正整数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_先求出y , y ,总结出规律性,然后写出y n ,最终用归纳法证明.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有一些常用的初等函数的n 阶导数公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 yexy n ex可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 yax a0, a1y n ax ln a n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3ysin xy nsin xn 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4ycos xy ncosxn 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5yln xn 1n1. x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yn1n两个函数乘积的 n 阶导数有莱布尼兹公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_uxv x nnnC k u k xv nk 0k x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢