【精品】2022届二轮复习专题六素养提升微专题(八)圆锥曲线的常用二级结论及其应用学案.docx

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1、素养提升微专题（八）圆锥曲线的常用二级结论及其应用一、椭圆与双曲线焦点三角形面积公式的应用椭圆焦点三角形面积S“F f2 =/?2tany;(2)双曲线焦点二角形面积SpfiF2=d-F tan-证明在椭圆焦点 PFi& 中，设|PF=m,PFi|尸产21 =2c,那么(2c =m2+n1-2mncosZFtPF2,_2a2-2c2_2b2(“ - l+COS4方 1。尸2 1+COSNF1PF2 F#2=-mnsmZFPF2=乙bZsinFAPF2 21+cosF1PF2乙 FJF22,同理可证双曲线的结论.22例1（2020全国ni,理11）设双曲线。a一方=1（。力。）的左、右焦点分别为

2、离心率为b.P是c上一点，且2P.假设PF1F2的面积为4,那么。=（）A.lB.2C.4D.8例2（2020全国I ,文11）设几6是双曲线。：好4=1的两个焦点,0为坐标原点，点P在C上且|0P|=2,那么PF1F2的面积为（）75A 4B.3C.|D.2乙乙二、焦点三角形求离心率（1）椭圆结论:设椭圆焦点三角形两个以焦点为顶点的角分别为那么-黑黑； 0111 vv I 0111 LJ（2）双曲线结论:设双曲线焦点三角形两个以焦点为顶点的角分别为a/,那么e=黑编.画在椭圆焦点三角形中,e= = =, = .sin（二a-覆=sin（吗.同理可证明1a 2a |PF1|4-|PF2I2/?

3、（sina+sin/?） sina+sin/?关于双曲线的结论.例3设椭圆C:摄+，=l（a0）的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2MF2,NPAF2=30 ,那么。的离心率为（）A.4B.1C.|D 停63，3例4（2021浙江杭州二模,7）Q,F2是双曲线C:m-马=1（。0力0）的两个焦点，以线 a b段FiF2为边作正三角形MRF2,假设边MFx的中点在双曲线上，那么双曲线C的离心率为（）A.4+2V3B.V3-1C.C.V3+1D.V3 + 1例5 见/2是双曲线塔一，二1的左、右焦点，点M在上,g 与轴垂直,sin/1加出凡=中那么E的离心率为（）A.V2B.1C.V

4、3D.2乙例6（2018全国H,文11）3是椭圆。的两个焦点，尸是。上的一点，假设PF11PF2, 且NPF28=60。，那么。的离心率为（）A.1 等 B.2-V3C.亨D.V3-1三抛物线的二级结论的应用过抛物线产=2*（0）对称轴上的一点MQQ）的直线I与抛物线交于4为）,8（孙”），当M,0）为尸即）时，那么有卜2 *，（%丫2 = -P2过抛物线y2=2px（0）焦点E且倾斜角为0的直线I与抛物线交于两点，那么四匚&，1防=击，皿=悬3=编过抛物线/=20，仍0）焦点/且倾斜角为夕的直线/与抛物线交于48两点，那么1A尸匚缶，山月二滞百，IA3匚|A尸| +尸匚悬,S”。产名y, i

5、-sin（7 i-rsin（7cos vz|cos（7|证明（1）设直线l的方程为x=my+，,代入产=2元得y2-2Pmy-2pt=0,所以yy2=-2pt, 又（）“丁2）2=（-2。2,即 4P2用12=42K所以 XX2=t2.如下图,|E41 二 |AF|cos”由抛物线的定义,|A月二lAMup+IE4Vp+IAblcosa所以6厅二心， l-C0St7同理可得|3尸|二谓豆，所以恒引二|A尸| + |5月=号 +晨豆二悬.在中，点O到AB的距离为d=OFsme=sinO,1r）2所以 SoB=5AB-d=-. /sino（3）的证明与（2）同理.例7（2021山东德州一模,14）

6、抛物线C:y2=4x,点A出在抛物线上，且分别位于x轴的 上、下两侧，假设就砺二5,那么直线A3过定点.例8（2021广东深圳一模,14）设方为抛物线C:y2=2x（0）的焦点，过尸作倾斜角为60 的直线交C于A,8两点，假设|4月.旧尸|=4,那么|A3匚.例9假设0为坐标原点A8是抛物线V=9x上异于。的两个动点，设OAQB的斜率分别 是配上2,且攵次2=3,求A08面积的最小值.针对训练1.小尸2分别为双曲线= 1的左、右焦点，点尸在。上,/为尸尸2二60。，那么 PFPF2=（）A.2B.4C.6D.822.双曲线等一马二1（。0力0）的左、右焦点分别是过B作倾斜角为30的直线交双曲Q

7、 b线右支于M点，假设MB垂直于x轴，那么双曲线的离心率为（）A.V6B.V3C.V2B亨D.V2-1.设椭圆的两个焦点分别为长尸2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,假设PPF2为等腰直 角三角形，那么椭圆的离心率是（）A V2a-tC.2-V2.如图，过抛物线y2=2px（p0）的焦点F的直线I交抛物线于点AR交其准线于点C,假设 |3。二2逐尸|,且|Ab|=3,那么此抛物线的方程为（）B.y2=3xD.y2=9xAj2=V3x c.)a=6x.（2021陕西宝鸡二模，理6）抛物线C:%2=4y的焦点为F,过厂点倾斜角为60。的直线与曲 线。交于A,B两点（A在B的右侧），那么罂=（）

8、B.1D.3A.9C.7+4V32 .在平面直角坐标系xOy中，A8C顶点4-4,0）和C（4,0）,顶点5在椭圆叁+$1上，那么 Zb ysin/+sinC sinS ,素养提升微专题（八）锥曲线的常用二级结论及其应用例1 A 解析解法1不妨设点P在第一象限，设IPRlMjPBIr网m”，依a1 4题意得127rm =生解得。=1.m2 + n2 = 4c2,m-n = 2a,解法2 (利用双曲线焦点三角形面积公式),2由题意,SZSBPF2=;一=4,那么 /?2=。2-2=4,又 =6，贝I，=52,所以 /=,即 tan4bcta-.【例2】B解析解法1由题意知。=1力=K,c=2.不

9、妨设几B分别为双曲线C的左、右焦点，那么尸i(-2,0),F2(2,0).因为|0P|=2,所以点尸在以。为圆心，尸1尸2为直径的圆上，故 PF PF1.那么 |PQ |2+/212=(2c)2 = 16.由双曲线的定义可知|PB|-|P巳|=2=2,所以 |PB|2+|PB|2-2|PQ|P 巳 |=4,所以|尸尸母1二6,1所以PF13的面积为5|PFi HPF2I =3.解法2如右图所示,|OF2|=c=2,设NPOB二。，由|0P|=2,得P(2cos8,2sin。),代入双曲线方程得4cos2生臂=1,解得 sin2(9=SApFiF2 =2SApoF2 =2x -|OPH(?F2|

10、sin1,，6=遮+1,应选D.N&B=30。,由二级结论，得e=$m(60。+30。)|sin60-sin300|解法2设边 V 的中点为N,那么N6为正三角形的角平分线，所以N2 一百+1FL 存1 Y3 + L2222【例5】A 解析解法1因为垂直于x轴,所以|W|二%F2|=2q+”因为00位/加尸2尸1三所以般| =0位/加尸2尸1三所以般| =2cH理岩,化简得i故双曲线的离心率3a,21 + 次二2-解法2由二级结论，得V：黑工流”年产=竽号=企,应选A.【例6】D解析解法1不妨设椭圆方程为5 +马=1（。0）内/2分别为椭圆的左、右焦点，那么 a bPF + PF2=2a.e

11、ZFiPF =90, ZPF2Fi =60,8c+c=2q,即(遍+l)c=2a=V3-1.=V3-1.c _ 2 _2(V3-1)a = 73+1 = (V3-1)(V3+1)解法2由二级结论，得右包黔噱=3=巡-1,应选D.sin600+sin300J3+1【例7】（5,0）解析设4阳加）网%2,）,直线AB与x轴的交点为0,0）,那么 yiy2=-2m=-4/,xiX2=P,因为OA -。8=5=加工2+1丁2=5,所以可得 t=5 或 t-.因为点4、B在抛物线上,且分别位于工轴的上、下两侧，所以区-1,所以U5,所以 直线恒过点（5,0）.【例8】8解析由结论|A尸匚丁袅= 吸60。

12、=2，1防=1+短=l+c：s60。=冬=8.又四|-|防二4,所以2-答4,得p=3,由|四二四| + |防二晶 =例9解设4（为,p1）乃（12,丁2）,设直线45的方程为x=2y+0由题意学0,由女伙2=3*-3，即92+3%叱0,由二级结论得 yiy2=-20=-9f,XlX2=P,所以B/2-%=。,解得1=3,那么直线AB的方程为x=zy+3,即直线AB与x轴的交 点为(3,0),2、( = my + 3“口 联儿2 = 9%何广9叱27=0，所以 yi+”=9帆,yi2=-27,Szao8= x3x|j?!-y21 =1 V81m2 + 108 |V108=9V3.乙乙乙1a另解

13、:令 1。)2乙乙楙义2日访=3何=9点当且仅当y=3伺？=-3百时，等号成立.乙【针对训练】M 11.B 解析由等面积得5小尸针2 =常赤=打6HP尸2|sin60。,所以IPBHPBI =4,故 选B.2.B解析由二级结论，得V喘曹案=祗应选B.3.D解析由二级结论，得e=，嘿：+4：?。=兰4。= 段=&-1,应选D. sm90o+sm45 l+sin450 2+V24.B解析如图，作88等直准线于点 夕，那么由引=|5川,|5。|=2|3月=2|8团,所以NBC8=30。,/BrBC= ZABx=60,AF =3 =-所以 =!，抛物线的方程为 V=3x,应选 B. 1-COSOUz5.C解析由抛物线的二级结论得H尸匚品而出尸匚忌而，所以器=1-SlnoU1-rSlnoUdr 詈 =瑞=(2+9=7+4点应选仁6.1解析由二级结论，得siR：；nC = *