第六章,,6.2.docx

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1、第六章,6.2§6.2等差数列及其前 n 项和 最新考纲 1.通过实例，理解等差数列的概念.2.探究并驾驭等差数列的通项公式与前 n 项和的公式.3.能在详细的问题情境中，发觉数列的等差关系，并能用有关学问解决相应的问题.4.体会等差数列与一次函数的关系 1等差数列的定义 一般地，假如一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示 2等差数列的通项公式 假如等差数列a n 的首项为 a 1 ，公差为 d，那么它的通项公式是 a n a 1 (n1)d. 3等差中项 由三个数 a，A，b 组成的

2、等差数列可以看成最简洁的等差数列这时，A 叫做 a 与 b 的等差中项 4等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n a m (nm)d(n，m∈N * ) (2)若a n 为等差数列，且 klmn(k，l，m，n∈N * )，则 a k a l a m a n . (3)若a n 是等差数列，公差为 d，则a 2n 也是等差数列，公差为 2d. (4)若a n ，b n 是等差数列，则pa n qb n 也是等差数列 (5)若a n 是等差数列，公差为d，则a k ，a k m ，a k 2m ，(k，m∈N * )是公差为md 的等差数列 (6)数列 S

3、 m ，S 2m S m ，S 3m S 2m ，构成等差数列 (7)若a n 是等差数列，则 S nn也是等差数列，其首项与a n 的首项相同，公差为 12 d. 5等差数列的前 n 项和公式 设等差数列a n 的公差为 d，其前 n 项和 S n n(a1 a n )2或 S n na 1 n(n1)2d. 6等差数列的前 n 项和公式与函数的关系 S n d2 n2 a 1 d2n. 数列a n 是等差数列⇔S n An 2 Bn(A，B 为常数) 7等差数列的前 n 项和的最值在等差数列a n 中，a 1 gt;0，dlt;0，则 S n 存在最大值；若 a 1 lt;0，d

4、gt;0，则 S n 存在最小值 概念方法微思索 1a，A，b 是等差数列是A ab2的什么条件？ 提示 充要条件 2等差数列的前 n 项和 S n 是项数 n 的二次函数吗？ 提示 不肯定当公差 d0 时，S n na 1 ，不是关于 n 的二次函数 3如何推导等差数列的前 n 项和公式？ 提示 利用倒序相加法题组一 思索辨析 1推断下列结论是否正确(请在括号中打√或×) (1)若一个数列从其次项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列 ( × ) (2)等差数列a n 的单调性是由公差 d 确定的( √ ) (3)等差数列的前

5、n 项和公式是常数项为 0 的二次函数( × ) (4)已知等差数列a n 的通项公式 a n 32n，则它的公差为2.( √ ) (5)数列a n 为等差数列的充要条件是对随意 n∈N * ，都有 2a n 1 a n a n 2 .( √ ) (6)已知数列a n 的通项公式是 a n pnq(其中 p，q 为常数)，则数列a n 肯定是等差数列 ( √ ) 题组二 教材改编 2设数列a n 是等差数列，其前 n 项和为 S n ，若 a 6 2 且 S 5 30，则 S 8 等于() A31B32C33D34 答案 B 解析 由已

6、知可得 a 1 5d2，5a 1 10d30， 解得 a 1 263，d 43 ， ∴S 8 8a 1 8×72d32. 3在等差数列a n 中，若 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 450，则 a 2 a 8 . 答案 180 解析 由等差数列的性质，得a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 5a 5 450，∴a 5 90，∴a 2 a 8 2a 5 180. 题组三 易错自纠4一个等差数列的首项为125 ，从第 10 项起起先比 1 大，则这个等差数列的公差 d 的取值范围是() Adgt;875Bdlt;325C.875 lt

7、;dlt;325D.875 lt;d≤325答案 D 解析 由题意可得 a 10 gt;1，a 9 ≤1，即 125 9dgt;1，125 8d≤1， 所以875 lt;d≤325 .故选 D. 5若等差数列a n 满意 a 7 a 8 a 9 gt;0，a 7 a 10 lt;0，则当 n时，a n 的前 n 项和最大 答案 8 解析 因为数列a n 是等差数列，且 a 7 a 8 a 9 3a 8 gt;0，所以 a 8 gt;0.又 a 7 a 10 a 8 a 9 lt;0，所以 a 9 lt;0. 故当 n8 时，其前 n 项和最大 6一物体从 1 960 m

8、 的高空着陆，假如第 1 秒着陆 4.90 m，以后每秒比前一秒多着陆 9.80 m，那么经过秒落到地面 答案 20 解析 设物体经过 t 秒着陆到地面 物体在着陆过程中，每一秒着陆的距离构成首项为 4.90，公差为 9.80 的等差数列 所以 4.90t 12 t(t1)×9.801 960， 即 4.90t 2 1 960，解得 t20.题型一 等差数列基本量的运算1(2018全国)记 S n 为等差数列a n 的前 n 项和，若 3S 3 S 2 S 4 ，a 1 2，则 a 5 等于() A12 B10 C10 D12 答案 B 解析 设等差数列a n 的公差为 d，由 3

9、S 3 S 2 S 4 ，得 3 3a 1 3×(31)2×d 2a 1 2×(21)2×d4a 1 4×(41)2×d，将 a 1 2 代入上式，解得 d3， 故 a 5 a 1 (51)d24×(3)10. 故选 B. 2(2018烟台模拟)设等差数列a n 的前 n 项和为 S n ，若 a 7 5，S 9 27，则 a 20 等于() A17B18C19D20 答案 B 解析 由等差数列的前 n 项和公式可知 S 9 9(a1 a 9 )29a 5 27，解得 a 5 3，又由 d a7 a 575 5

10、321，所以由等差数列的通项公式可得 a 20 a 5 15d315×118，故选 B. 思维升华 (1)等差数列的通项公式及前 n 项和公式共涉及五个量 a 1 ，n，d，a n ，S n ，知道其中三个就能求出另外两个 (2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项 a 1 和公差 d. 题型二 等差数列的判定与证明例 1 在数列a n 中，a 1 2，a n 是 1 与 a n a n 1 的等差中项 (1)求证：数列 1a n 1是等差数列，并求 a n 的通项公式； (2)求数列 1n 2 a n的前 n 项和 S n . 解 (1)a n 是 1 与 a n a

11、n 1 的等差中项， ∴2a n 1a n a n 1 ，∴a n 1 2an 1a n， ∴a n 1 1 2an 1a n1 an 1a n， ∴1a n 1 1 a na n 1 11a n 1 ， 1a 1 1 1， ∴数列 1a n 1是首项为 1，公差为 1 的等差数列， ∴1a n 1 1(n1)n，∴a n n1n. (2)由(1)得1n 2 a n 1n(n1) 1n 1n1 ， ∴S n 1 12 12 13 13 14 1n 1n111n1 nn1 .思维升华

12、等差数列的四个判定方法 (1)定义法：证明对随意正整数 n 都有 a n 1 a n 等于同一个常数 (2)等差中项法：证明对随意正整数 n 都有 2a n 1 a n a n 2 . (3)通项公式法：得出 a n pnq 后，再依据定义判定数列a n 为等差数列 (4)前 n 项和公式法：得出 S n An 2 Bn 后，再运用定义法证明数列a n 为等差数列 跟踪训练 1 数列a n 满意 a n 1 a n2a n 1 ，a 1 1. (1)证明：数列 1a n是等差数列； (2)求数列 1a n的前 n 项和 S n ，并证明：1S 1 1S 2 1S n gt;nn1 . (1)证

13、明 a n 1 a n2a n 1 ， ∴1a n 1 2a n 1a n，化简得1a n 1 21a n ， 即1a n 1 1a n 2， 故数列 1a n是以 1 为首项，2 为公差的等差数列 (2)解 由(1)知1a n 2n1， 所以 S n n(12n1)2n 2 ，1S n 1n 2 gt;1n(n1) 1n 1n1 . 证明：1S 1 1S 2 1S n 11 2 12 2 1n 2 gt;11×2 12×3 1n(n1) 1 12 12 13 1n 1n1 11n1nn1 .题型三 等差数列性质的应用命题点 1 等差数列项的性质 例 2

14、(2018上饶模拟)已知a n 为等差数列，a 2 a 8 18，则a n 的前 9 项和 S 9 等于() A9 B17 C72 D81 答案 D解析 由等差数列的性质可得，a 1 a 9 a 2 a 8 18，则a n 的前 9 项和 S 9 9(a1 a 9 )29× 18281.故选 D. 命题点 2 等差数列前 n 项和的性质 例3 (1)(2019漳州质检)已知等差数列a n 的前n项和为S n .若S 5 7，S 10 21，则S 15 等于() A35B42C49D63 答案 B 解析 在等差数列a n 中， S 5 ，S 10 S 5 ，S 15 S 10 成等差

15、数列， 即 7,14，S 15 21 成等差数列， 所以 7(S 15 21)2×14， 解得 S 15 42. (2)已知 S n 是等差数列a n 的前 n 项和，若 a 1 2 018，S 2 0192 019 S 2 0132 013 6，则 S 2 020 . 答案 2 020 解析 由等差数列的性质可得 S nn也为等差数列 设其公差为 d，则 S 2 0192 019 S 2 0132 013 6d6，∴d1. 故 S 2 0202 020 S 11 2 019d2 0182 0191， ∴S 2 020 1×2 0202 02

16、0. 思维升华 等差数列的性质 (1)项的性质：在等差数列a n 中，mnpq(m，n，p，q∈N * )，则 a m a n a p a q . (2)和的性质：在等差数列a n 中，S n 为其前 n 项和，则 S 2n n(a 1 a 2n )n(a n a n 1 )； S 2n 1 (2n1)a n . 跟踪训练 2 (1)已知等差数列a n ，a 2 2，a 3 a 5 a 7 15，则数列a n 的公差 d 等于() A0B1C1D2 答案 B 解析 a 3 a 5 a 73a 5 15， ∴a 5 5，∴a 5 a 2 33d， 可得 d1

17、，故选 B. (2)(2019莆田质检)设等差数列a n 的前 n 项和为 S n ，若 S 13 gt;0，S 14 lt;0，则 S n 取最大值时 n 的值为() A6B7C8D13答案 B 解析 依据 S 13 gt;0，S 14 lt;0，可以确定 a 1 a 13 2a 7 gt;0，a 1 a 14 a 7 a 8 lt;0，所以可以得到 a 7 gt;0，a 8 lt;0，所以 S n 取最大值时 n 的值为 7，故选 B. 1若a n 为等差数列，且 a 7 2a 4 1，a 3 0，则公差 d 等于() A2B 12 C.12 D2 答案 B 解析 由于 a 7 2a 4

18、a 1 6d2(a 1 3d)a 1 1， 则 a 1 1.又由 a 3 a 1 2d12d0，解得 d 12 .故选 B. 2在等差数列a n 中，已知 a 1 2，a 2 a 3 a 4 24，则 a 4 a 5 a 6 等于() A38B39C41D42 答案 D 解析 由 a 1 2，a 2 a 3 a 4 24， 可得，3a 1 6d24，解得 d3， ∴a 4 a 5 a 6 3a 1 12d42.故选 D. 3(2018新乡模拟)已知等差数列a n 中，a 1 012 3，S 2 017 2 017，则 S 2 020 等于() A2 020 B2 020 C4 0

19、40 D4 040 答案 D 解析 由等差数列前 n 项和公式结合等差数列的性质可得， S 2 017 a1 a 2 0172×2 017 2a 1 0092×2 0172 017a 1 009 2 017， 则 a 1 009 1，据此可得， S 2 020 a1 a 2 0202×2 0201 010 ( ) a 1 009 a 1 012 1 010×44 040. 4程大位算法统宗里有诗云九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠次第每人多十七，要将第八数来言务要分明依次弟，孝和休惹外人传意为：996 斤棉花，分别赠送给 8个子女做旅费，从第一个起先

20、，以后每人依次多 17 斤，直到第八个孩子为止安排时肯定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为() A65B176C183D184 答案 D 解析 依据题意可得每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列a n ，其中 d17，n8，S 8 996. 由等差数列前 n 项和公式可得 8a 1 8×72×17996， 解得 a 1 65. 由等差数列通项公式得 a 8 65(81)×17184. 5已知数列a n 是等差数列，前 n 项和为 S n ，满意 a 1 5a 3 S 8 ，给出下列结论：a 10 0；S 10 最小；S 7 S 12 ；

21、S 20 0. 其中肯定正确的结论是() ABCD 答案 C 解析 a 1 5(a 1 2d)8a 1 28d， 所以 a 1 9d， a 10 a 1 9d0，正确； 由于 d 的符号未知，所以 S 10 不肯定最大，错误； S 7 7a 1 21d42d，S 12 12a 1 66d42d， 所以 S 7 S 12 ，正确； S 20 20a 1 190d10d，错误 所以正确的是，故选 C. 6在等差数列a n 中，若 a 9a 8 lt;1，且它的前 n 项和 S n 有最小值，则当 S n gt;0 时，n 的最小值为() A14B15C16D17 答案 C 解析 数列a n 是等差

22、数列，它的前 n 项和 S n 有最小值， ∴公差 dgt;0，首项 a 1 lt;0，a n 为递增数列 a 9a 8 lt;1， ∴a 8 a 9 lt;0，a 8 a 9 gt;0， 由等差数列的性质知， 2a 8 a 1 a 15 lt;0，a 8 a 9 a 1 a 16 gt;0. S n n(a1 a n )2， ∴当 S n gt;0 时，n 的最小值为 16. 7(2018北京)设a n 是等差数列，且 a 1 3，a 2 a 5 36，则a n 的通项公式为 答案 a n 6n3(n∈N * ) 解析 方法一 设公差为 d

23、.a 2 a 5 36，∴(a 1 d)(a 1 4d)36， ∴2a 1 5d36.a 1 3，∴d6， ∴通项公式 a n a 1 (n1)d6n3(n∈N * ) 方法二 设公差为 d， a 2 a 5 a 1 a 6 36，a 1 3， ∴a 6 33，∴d a6 a 156. a 1 3，∴通项公式 a n 6n3(n∈N * ) 8(2019三明质检)在等差数列a n 中，若 a 7 π2 ，则 sin 2a 1 cos a 1 sin 2a 13 cos a

24、 13. 答案 0 解析 依据题意可得 a 1 a 13 2a 7 π， 2a 1 2a 13 4a 7 2π， 所以有 sin 2a 1 cos a 1 sin 2a 13 cos a 13sin 2a 1 sin(2π2a 1 )cos a 1 cos(πa 1 )0. 9等差数列a n ，b n 的前 n 项和分别为 S n ，T n ，且 S nT n 3n12n3 ，则a 10b 10 . 答案 5641解析 在等差数列中，S 19 19a 10 ，T 19 19b 10 ， 因此 a 10b 10 S 19T 19 3×1912×19

25、3 5641 . 10(2018湘潭模拟)已知数列 a n 1 a n 是公差为 2 的等差数列，且 a 1 1，a 3 9，则a n . 答案 (n 2 3n3) 2解析 数列 a n 1 a n 是公差为 2 的等差数列， 且 a 1 1，a 3 9， ∴ a n 1 a n ( a 2 1)2(n1)， a 3 a 2 ( a 2 1)2， ∴3 a 2 ( a 2 1)2，∴a 2 1. ∴ a n 1 a n 2n2， ∴ a n 2(n1)22(n2)2221 2× (n1)n22(n1)1n 2 3

26、n3. ∴a n (n 2 3n3) 2 ，n1 时也成立∴a n (n 2 3n3) 2 . 11已知数列a n 满意(a n 1 1)(a n 1)3(a n a n 1 )，a 1 2，令 b n 1a n 1 . (1)证明：数列b n 是等差数列； (2)求数列a n 的通项公式 (1)证明 1a n 1 1 1a n 1a n a n 1(a n 1 1)(a n 1) 13 ， ∴b n 1 b n 13 ， ∴b n 是等差数列 (2)解 由(1)及 b 1 1a 1 1 121 1. 知 b n 13 n23 ， &th

27、ere4;a n 13n2 ，∴a n n5n2 . 12(2018全国)记 S n 为等差数列a n 的前 n 项和，已知 a 1 7，S 3 15. (1)求a n 的通项公式； (2)求 S n ，并求 S n 的最小值 解 (1)设a n 的公差为 d，由题意得 3a 1 3d15. 由 a 1 7 得 d2. 所以a n 的通项公式为 a n a 1 (n1)d2n9(n∈N * ) (2)由(1)得 S n a1 a n2nn 2 8n(n4) 2 16. 所以当 n4 时，S n 取得最小值，最小值为16.13(2018佛山质检)已知等差数列a n 的前 n 项和为 S n ，b n 2na且 b 1 b 3 17，b 2 b 4 68，则 S 10 等于() A90 B100 C110 D120 答案 A 解析 设a n 公差为 d， b 2 b 4b 1 b 3 2 43 12 22 2a aa a+3 13 12 22 2a d a da a+ +2 d 6817 4， ∴d2，b 1 b 3 12 a 32 a 12 a 1.