概率论与数理统计总结之第三章.docx

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1、第三章多维随机变量及其分布第一节二维随机变量的概念1.二维随机变量定义：设(X,Y)是二维随机变量，记为：F(x,y)= P(X x)c(丫) = P(X x,Y y) (-co x cc,-cc y oo)称F(x,y)为X与Y的分布函数，或称X与Y的联合分布函数F (x) = PX x = P (X x,r +00 = lim F CvoOXiF(y) = Pyy=PX+oo,yy= lim F (x, y)Y 分布函数”(x,y)性质：1)尸(x,y)是变量X和变量y的不减函数，(分别关于X和y有单调不减性)OF(x,y) + 0),即b(x,y)分别关于x右连续，关于y也右连续，4)对

2、于任意(彳);),(匕人)，,七,匕 022211112.二维离散型随机变量：定义:如果二维随机变量(X, Y)只取有限对或可列无穷多对，那么称(X, Y)是二维离散型随机变量其概率PX = x,Y = y = /,/=1,2为二维离散型随机变量集,丫)的分布律，或随机变量X和Y是联合分布律 i i V性质：L P 0,(i,j=1.2.)2. 汇 p = 1x M x、Y y i i满足以上两条，即为二维离散型随机变量的分布律.注；步骤:定取值，求概率，验证1.离散型随机变量X和Y的联合分布函数为,其中和式是对一切满足工工乂丁)，的i,j来求和 Ui ixxy o,n O(/,J= 1.2.

3、)y的边缘分布律： =p(y=y)= E =12 EpsZp =Jiii联合确定边缘，但一般情况，边缘不能确定的联合，除非相互独立.比方；有放回的摸球，就是X, Y相互独立.不放回地摸球，是条件分布.2 .二维连续型随机变量的概率密度和边缘概率密度.比照一维的：概率密度：/(r) =0f(x)dx = 1 ,分布津 Pax 0,两个实根均匀分布：定义:设D力手面上的有界区域，其面积为S,且S0,如果二维随机变量(X,Y)的概率密度为,(x, y)e DL-，那么称(X,Y)服从区域D上的均匀分布(或叫(X,Y)在D上服从均匀分布，记作(X,Y) U .o,其它两种特殊情形：f 1I ,1) D

4、 形，a x b,c y f(x,y)= (b-a)(d -c) ax Z?,c y d)o,其它2) D为圆形，如(X,Y)在以原点为圆心，R为半径的圆域上服从均匀分布，那么(X,Y)的概率密度 为:/(X，)=兀员2，X2 + y2 7?2 )o,其它定义:对连续型随机变量(X,Y),分量X.Y的概率密度称为(X,Y)关于X或Y的边缘概率密度，记作/Jx),/：()，).X的分布函数：F (幻=F。,8)=卜18/(/)1/(让丫趋于正无穷)x!_.11Y的分布函数：F ()，)二/(co,y) =卜(让X趋于正无穷)丫UX 的概率密度：f (x)=J” /(x,y)dy,(8x8)X.丫

5、 的概率密度：f (y) = 1* f(x,)，)心,(一8 y 。，那么称 iPX = x I y=y=Px = x,y = y) =P =i j 刊丫 =y piJ为在y=y条件下随机变量x的条件分布律 jPX =XlY = y p同样地，假设 PX = x0,那么称嬉丫=)，| X = x = -_L = f,j=1,2,i/i PX = x p,为X = x条件下随机变量丫的条件分布律变形，即得求联合分布律的方法.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y),(X,Y)关于丫的边缘概率密度为/ ().假设对于固定的y, f ( y) 0,那么称“占)力在丫的冬件下Y的名性撼重察府汨

6、为f 一、 fix v)为在 二y的条件下 的条件概率密度，记为J (x | )=八f(y)Xi? /(y)yf f(x ,)丫称f xf ()，)公=卜 八2氏为在Y=y的条件X的条件分布函数，记为PXWx|Y=yF (x y)，即f / (y)x|yF (x | y) = PY V y| = y = L /(用，心.X-o f ( y)设F(x,y)及4a),(.y)分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数，假设对于所有x.y有PXx,YW y=PXWxPYWy,即F (x, y) = WF (y),那么称随机变量X和Y是相互独立的设(x,y)是连续型随机变量，/(x,y)，4

7、(x)Jy()，)分别为(X,Y)的概率密度和边缘概率密度，那么X和丫相互独立的条件等价于/(.%)，)=(优)4(y)在平面上几乎处处成立(除去面积为0的集合以外，处处成立)第二节随机变量的独立性1 .两个随机变量的独立性定义：设F (x, y), F W.F(y)分别是二维随机变量(X, Y)的分布函数和两个边缘分布函数，假设对任意实数X 有F(x,y) = FxM，Fy),那么称X与Y相互独立.可用于判断独立性(随机变量独立,对任意实数x, y,事件XV)相互独立)以上公式等价于：P(Xx,Yy) = /J (Xx).P(Yy)可类推至多个函数的情况.1)如果X, Y随机变量独立，/(x

8、).g()，)连续，(通过函数作用)那么f(x).g(y)也独立.(可类推至多个随机变量的情况)例:X,Y独立,那么戏,)，2独立.2)如果 X,X X , Y ,Y .Y 相互独立，f(x )f(xg(y ).g(y)也相互独立。I 2 w 12 mI 2mI21如；X X与X -x，相互独立(没有相同项)1234放回抽样：样本总数为工凡 样本点为：正有几种选法，次有几种取法。不放回抽样：样本总数为Mx-l)(工-2).,样本点为：正有多少种取法，次有多少种取法第三节两个随机变量的函数的分布】离散弄随机变量的函数分布.两个连续型随机变量之和的概率Z=X+Y的分布设(X,Y)的概率密度为f(x

9、,y),那么Z=X+Y的分布函数为F(z) = PZ z = PX + Y -30-X -30-*x-00公式法：令x=z-y(y =z-x),得分布函数:U(Z)48 /(x, ZT)公尸(z) J f(z-y,y)dyZf如果两个变量独立：f (z) = Ff(z) = fx f (z-y)f (y)dyZZK XYf (z) = F/(z) = P f (x),/ (z-x)dx z z y x y对分布函数求导得Z的概率密度为 (z) = F。) = J /(z - y, y)dy/(z) = F，(z) = P fz-x)dx zzy适用用两个变量的线性组合：注:结论:假于X,Y都服从正态分布，并X,Y相互独立，那(X+y)N(u + u ,0 2+0 2)，(&X + Zy)N(,O2) 1212I 2有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布 联合密度函数，二维连续性随机变量在一个区域上取值的概率我们转换成对联合密度函数作一个二重积分.