第五章 习题课　与ex、ln x有关的常用不等式.docx

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1、习题课与erE 有关的常用不等式学习目标 L熟悉常见的两类经典不等式eNx+l和InxWx1以及它们常见的几种变形形 式2掌握一般的证明不等式的方法.一、经典不等式例1证明不等式e，2x+L证明 设凡x) = e”一x1,则 / 0)=炉一1,由 / (x)=0,得 =0,所以当x0时，/ (x)0时，f (x)0,所以x)在(一8, 0)上单调递减，在(0, + 8)上单调递增，所以4工)*0)=0,即1120,所以e、2x+L 反思感悟与8有关的常用不等式 (l)erl+x(xGR).(2)eNex(xR).跟踪训练1求证：证明 方法一 令(x)=e一x,则(幻=尸|一1.若XV1,则(x

2、)1,则(x)0, ”(x)在(1, +8)上单调递增.H(X)min = H(D = 0, (X)20, eA-1 Nx.方法二 令/=x1,则万=%+1.由e2/+l,得法一iex.二、经典不等式InxWx1例2证明不等式InxWx-1.1 x证明 由题意知x0,令於)=x1 Inx,所以/ (x)=l-=，所以当/ (x)0时，心1；X X当/ (x)v。时，041,故/U)在(0,1)上单调递减，在(1, +8)上单调递增，所以大幻有最小 值 1,令兀x)=ln(x+1)x,1Y所以/(幻=干- 1=干，所以当/ (x)0时，-1XO；当/ (幻0,故|幻在(-1,0)上单调递增，在(

3、0, +8)上单调递减, 所以八工)有最大值火0) = 0,故有犬x) = lna+l)-%5/(0)=0,即ln(x+l)Wx成立. X.已知 x0,求证： ln(l +x).1 I人x证明 方法一 构造函数g(x) = ln(l+x)y,则g(0)=0.JL I人/但)次一%2).正确的个数为()1 B. 2 C. 3 D. 4答案B解析f (%)=解析f (%)=一工廿一2x+3)e”(1 +x2)2,所以函数人%)在(一8, 0)上单调递增，在(0, +8)上单调递减.又0)=1,41) = 0,当X0,所以X1VOX22)勺(X2),错；五工2)=/(乃)次一为)，对.12.已知函数

4、人%)=辰2mx,A.& e)12.已知函数人%)=辰2mx,A.& e)若./u)o在函数定义域内恒成立，则攵的取值范围是()B，3D，D，答案D解析 由题意得yu)0在函数定义域内恒成立，即日2in Q0在函数定义域内恒成立，即,In XqP叫 心, 一上、 、门 /、 Inx e ,%2xln x x(l-21nx)小 厂、攵:在函数正义域内怛成立，设0,函数g(x)单调递增；当后，+8)时，gf (x)0,函数g(x)单调递减，所 以当x=加时，函数g(x)取得最大值，此时最大值为g(必)=，所以实数人的取值范围是 乙CG? +8)，故选D.13.已知 0X|X2In x In X2A

5、.X2 XIn xi In 及vX2 XC. %21n xixiln X2D. %21n x0,得壮，所以函数於)在(：，+)单调递增；由/ (x)vO,得0x$,函数r)在(0, 上单调递减，故函数段)在(0, 1)上不单in y1 In X调，所以“XI)与7(X2)的大小无法确定，从而排除A, B；设g(x)=TW则g (x)=由g a)0,得04e,即函数g(x)在(0, e)上单调递增，故函数g(x)在(0, 1)上单调递增, 所 以 以为)且(短)，即号“号卫，所 以x2ln xi0,由 x-e2vtzxxl + ln x,In x+ 1l(x0)恒成立,令危)=e：现证明e-x+

6、l恒成立,设 g(x)=e-x1,贝( cW/(X)min,g1 (x) = ev1,当 g。)=0 时,解得 x=0,当x0时，gr (x)0时，g (x)0, g(%)单调递增，故当x=0时，函数g(x)取得最小值，g(0)=0, 所以 g(x)2g(0)=0,即以一%120Oe2x+l 恒成立,/x)=eZv-/x)=eZv-In x+1 x-e2v In x 1 -1 =- 1-1 = 1,e,n v *In x- 1 Jn x+2x+1 -In x- 1TN 所以 7U)min=l,即 OWL所以实数的取值范围是(-8, 1.L拓广探究.已知函数於)=e”一以一 1, g(x) =

7、lnxxl,其中0O,则实数。的取值范围是.解析 令 A/(x)=ex1, %e(0, +),则 M (x) = ex-l,当龙(0, +8)时，Mf (x)0, 所以M(x)在(0, +8)上单调递增，所以 M(x)M(0)=0,所以 exx+1.由于0vvl,所以当工(0, +8)时，式的=廿一ax10, 故若 3xoe(O, +),使於o)g5)O,转化为三乂)(0, +), g(xo)O,贝I g(xo) = lnxoaxoO, 即无0 X。人，、In x 1、2In x令(切=丁一： h (a)= x2当 x(0, e2)时，hf (a)0,当旧e2,+8)时,hr (a)0)，则

8、g即/(x)Ur成立.g(x)在(0, +8)上单调递增，当x(0, +8)时，g(x)g(o)=o,令 (x) =fix) x=ln(l +x)x(x0),则 /z (x)=x+11尤 +10),(x)在(0, +8)上单调递减,当x(0, +8)时,%(x)V力(0)=0,即/U)x成立.综上所述，当x(0, +8)时,1 +x(2)由(1)可知，ln(l+x)x 对 x(0, +8)都成立.Ain即In1+2H-n +12n *金N*, 71+1 Ul-1 0时，屋()=在；而制=正声.即当x0时，函数g(x)单调递增.即g(x)g(O) = O.ln(l +x).xx故 g(x) =

9、ln(l+x)一丁匚po,即 I I /VL I /V方法二 Vlnxx-1,且当x=l时等号成立.111 X二In百E?T(Q)，即 In 干/x，百y0,当且仅当x=l时，等号成立).XX(2)lnx-(x0,当且仅当x=e时，等号成立). e当且仅当X=1时，等号成立).当且仅当X=1时，等号成立).2(% 1)(3)ln xW I (OvxW 1, 人I JL(4)lnx2-1(xl,当且仅当x=l时，等号成立). 人 I Llnx2/r；)(0o, yu)单调递增；当尤i时，/(X)o,应。单调递减.(2)证明 由(1)知7U)在=1处取得最大值，最大值为11)=0.所以当xWl时，

10、Inxx.故当 x(l, +8)时，in%x 1, ln-1,X X三、与e和In x有关的不等式例3 已知函数为x)=aexn x 1.(1)设x=2是/U)的极值点，求m并求x)的单调区间;(2)证明：当42，时，/(x)20.解火x)的定义域为(0, +), /(X)=tzev7. Ji由题设知，f (2) = 0,所以=262,从而/U)=eInx1, f(*)=右。一5当 0x2 时，/ (x)2 时，/ (x)0.所以7U)的单调递增区间为(2, +8),单调递减区间为(0,2).1ex(2)证明 当一时，火工)一一Inx1. eeexe 1设 gQ)=7一如xl(x(0,+8)，

11、则 g/ a)=：_；.当 OVxVl 时,g (x)l 时,gf (x)0.所以x=l是g(x)的最小值点.故当 x0 时，g。)2g(l)=0.因此,当。吴时，於)。. C反思感悟与W和Inx(QO)有关的不等式之间的关系ex+1 xx 1 ln常用该不等式通过放缩证明一些问题.跟踪训练3已知函数,*工)=2(-2)xlnx(4R).求函数y =%)的单调区间；当=1时 证明：对任意的x0,火x)+e、N+x+2.(1)解函数/U)的定义域是(0, +8), / (x) = 2x(一2)笠切，当时，/ (x)。对任意x(0, +8)恒成立， 函数x)在区间(0, +8)上单调递增；当0时,

12、由/ (x)0得由/2+%+2,只需证明eIn 2 0,先证明当x0时，eAx+1,令 g(x) = exxl(x0),则 g(x)=1,当天0 时，g(%)0, g(%)单调递增,当 x0 时，g(x)g(O)=O 即 evx+1,AeAIn x2x+1 In %2=xIn x 1. 只要证明 xIn x 1 0(x0),令 /z(x)=xIn %1(%0),1 Y 1贝(x)=l-=(x0),易知力在(0,1上单调递减，在1, +8)上单调递增，/./z(x)/z(l) = 0 即 xIn x 120 成立， fix)+erx2+x + 2 成立.课堂小结-.知识清单：(1)常见的几种经典

13、不等式.(2)一般不等式的证明方法.1 .方法归纳：构造法、转化法、分类讨论.2 .常见误区：在证明不等式的转化过程中是否做到了等价转化.随堂演练In 2In 2In 6则(A. ahc B. cba C. cab D. bac答案CIn x1 In Y解析 设五幻=弋=则/ (x)=1F，所以/U)在(o, e)上单调递增，在(e,+8)上单调递 Ji人故 cab.减，即有6)*4)勺(3),所以喈考=里野,.已知函数/(x) = QXe，当lWaWl+e时，则有()A.B. /(x)2x C. /(x)0, JU)Wx 成立.若 laWl+e,则 g (x)=e (。一1). 当 xln(

14、一1)时，gf (x)ln(a1)时，gf (x)0. .g(x)在(一8, ln(-1)上单调递减；在(ln(a-1),+8)上单调递增. g(x)g(ln(a 1) = 0心一 i)一(4 l)ln(一 1) = (。一 1)1-ln(z-1).又 1 vaW 1+e=eN。- 10, ln(al)Wln e= 1,(a 1)1 ln(6z1)20.；g(x) 20,即fix) Wx恒成立.综上，当iWaWl+e时，.已知a/0, ab=ba,有如下四个结论：(l)*e； (2)be； (3)存在小3满足oXe2； (4)存 在m /?满足。乃e?,则正确结论的序号是()A.B.c.D.

15、(2)(4)答案c解析 由两边取对数得加1=1116=呼=华.对于丁=乎，由图象易知当从ee, be, ab = 8e2,故(4)正确，(3)错误.因此，选C.试判断sinx与x在0,兀上的大小.(用或2表示)答案xNsinx解析 令/U)=xsin羽 因为f (%)=1cos xO恒成立，故/U)在0,兀|上单调递增, yu)ey(x)min=y(o)=o,即4sin%eo,所以225出在o,兀上恒成立.课时对点练I.基础巩固Y 11. “Q1” 是” 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案AY 11解析不等式In x 等价于In x 1 +-0

16、, XX111 x 1令人M = lnx1+； 则/ W=-2=-2,当 oxvi 时，/(切1 时，/(M。，所以当x=l时，/(x)取得最小值11)=0,% 1所以当无1时，M0, Inx,Xx 1而当 In x时，x0 且 xW 1,XY 1所以是lnx-的充分不必要条件.2.已知函数次x)=xsinx,则不等式x+l)+/(2 2犬)0的解集是()A(8, 一)+8)C. (一8, 3)D. (3, +8)答案C解析 因为/U)=xsin X,所以八一X)=x+sin X=XX),即函数“)为奇函数，/ (x)=l -COS则函数7U)在定义域内是增函数，则不等式4工+1)+犬22幻0

17、等价为危+1)/2 2x) =fi2x2),即 x+l2x2,解得 x3,故不等式的解集为(一8, 3).IT7T.已知在8c中，jABC3)/0B. XA)AB)AOC.九4)次。/为D. /B)M)/(C)答案A解析 f (a) = ( sin x).ev+cos x-ex(cos xsin x)e”,序夕)上单调递减，7171当Zx5时，cos xsin x0,即，(H0, 7(M在TTTT又不bc2，为次故选A.3 .设 x, y, z 为正数，且 2x=3)=5z,则( )A. 2x3y5zB. 5z2x3yC. 3y5z2x),两边取对数得 x=log2，=岩，y=log3/=瞿，

18、z=log5r=74,JL11 LJL1JL J1JLJL J235、一23从而2x=百ln/, 3y=jln Z,5z=jln t.由。1知，要比较三者大小，只需比较百万，水不5 , , _ 24 c,L 1 Inx . z ,、iIn 3 In 4 In 5正彳的大小.又巾=百不e34=一在(e,+8)上单调避减可知，345从而正与工际石，32x5z,故选D.5.下列四个命题：In5ln2；In兀|；2疝40, 4X)单调递增；当 人Ji%e（e, +8）时，f（x）o, x）单调递减.In 5V51n 2021nM又 2、5yle,故正确. 2、 vl2vln 11 =21nyH=e,故

19、正确.22 In 22 In e3eln24/=2eln222X22=竺,显然错误.因此选B.3 e2，6.（多选）下列不等式中恒成立的有（）Xln&+l)2干，Xln&+l)2干，x 1A.C. evx+1D. cosxNl-gp答案ACD 解析 A 选项，因为 x1,令 f=x+l0, .) = ln，+:1,El611 t 1则/=7一厂k所以当01时，/ ）=号时，/ （。=*0,即4。单调递增，II Y所以7(/)min=/(l)=0,即7(,) = ln/+120,即 ln，1一,即 ln(x+l)2=Y，x1 恒成立,故A正确；B 选项，令x) = lnx一共x，x0,则/ (x

20、)=:一茎1 +缶=2 2：2 1 = J W0显然恒成立，所以y(%)=lnx一均-3在x0上单调递减，又1 1) = 0,所以当 x(0, 1)时，“X)4 1) = 0,即 lnxg(x0，故 B 错；C 选项，令/(x)=ex1,则/ (x)=ex1,当x0时，/ a）= e、-l0,所以x）单调递增； 当XV。时，/ （工）=10,所以x）单调递减， 则/（幻20时，/ (x)0,即x)=cosx1+5?单调递增；当 X0 时，/（X）O,即 X）= COSX1+52 单调递减,所以於）min=A（） = 0,因此cosxl*恒成立，故D正确.7.试判断tanx与x在0,当上的大小关

21、系（用或W表示）答案xWtanx解析 令火x）=xtanx=x土，所以/ （幻=1七=需0恒成立, 上单调递减，/U）max=A0）=0,即 xtanxWO,即 xWtanx.8 .已知函数/U）=jdnx+N,且均是函数“X）的极值点.给出以下几个命题: Oxo:；(3)/(xo)+xoO.其中正确的命题是.(填序号)答案解析 危)的定义域为小0, / (x) = lnx+2犬+1,所以/ ao) = lnxo+2xo+l=O,所以2xo=一(lnxo+1),即 Inxo- 1,即 lnxolne ，所以 Oxo; Xxo)+xo=xoln%o+x+xo=xo(lnxo e+x()+l).

22、因为 2x()=(lnxo+1), 所以“xo)+xo=x()lnxo+xG+xo=xo(lnx()+xo+1)=x80.证明 令 g(x) = e一尢一1,贝I / (x)=ev1,令 / (x)=0,得 x=0,当l0 时，g (x)0 时，g1 (x)0, g(x)单调递增，ga)2g(0)=0,即 e”一九一120, eNx+l(当且仅当x=0时，等号成立).令 h(x)=x-1 ln(x+2),则 h (x)= 1 令 h(x)=x-1 ln(x+2),则 h (x)= 1 x+2x+1x+232）,易知2x）在（一2, 1）上单调递减,在(一1, +8)上单调递增,.力(冗)2%(

23、-1)=0,即x+1 ln(x+2)三0,即x+121n(x+ 2)(当且仅当了=-1时，等号成立).和中的等号不能同时成立，由和得e、ln(x+2),即式%)0.10 .已知函数x)=alnx+l(R).若g(x) =%火幻,讨论函数g(x)的单调性；(2)若心：)=Jp+x, /7(x) = e1(其中e是自然对数的底数)，且q=1, x(0, +),求证： h(x)t(x)J(x).(1)解 由题意得，g(x)=x/x)=xdnX 1,其定义域为(0, +8), / (幻=1詈，当qWO时，g (x)0在(0, +8)上恒成立，则函数g(x)在(0,+8)上单调递增； 当0时，易得函数g

24、(x)在(0, 0上单调递减，在3, +8)上单调递增.(2)证明 设 (x) = /i(x) Z(x)=ev 1 一52%,则 u (x)=evx 1,设 根(无)=(x) = evx1, 则2 (x)=eJ1,当x0时，2(x)0恒成立，则根(x)在(0, + 8)上单调递增，:2(x)m(0) = 0,则h(x)在(0,+8)上单调递增，/.(x)(0)=0,/.h(x) Z(x)0 在(0, + 8)上恒成立，即 h(x)t(x).当 4=1 时，设 0(%) = *%)*/ 当 x0 时，y(x)0,即 t(x)x.1x 1设 5(x)=xIn x 1,贝I / (x)= 1 _=.易得s(x)在(0,1)上单调递减，在(1, +8)上单调递增，s(x)2s(l) = 0,x+1 =jx/. t(x)xfix),即 t(x)J(x)9 综上所述，h(x)t(x)J(x).L综合运用| x11 .已知函数x)=_1_若氏1)=2)，且为%2，关于下列命题:1 I人/U1)次一X2)；次及)次一汨)；/UD4一汨)；X