(4.1.3)--12、随机变量函数的数学期望.pdf

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1、设已知随机变量设已知随机变量的分布，我们需要计算的的分布，我们需要计算的不是不是的期望，而是的期望，而是的某个函数的期望，的某个函数的期望，比如比如()的期望，那么应该如何计算呢？的期望，那么应该如何计算呢？第一种方法第一种方法已知已知X的分布的分布求求随机变量随机变量X随机变量随机变量g(X)随机变量随机变量g(X)的分布的分布求求Eg(X)缺点：缺点：使用这种方法必须先求出随机变量使用这种方法必须先求出随机变量g(X)的分布，的分布，一般是比较复杂的。一般是比较复杂的。是否可以不先求是否可以不先求g(X)的分布，而直接根据的分布，而直接根据X的分布求得的分布求得Eg(X)呢？呢？设设X是一

2、个随机变量，是一个随机变量，Y=g(X)，则，则当当X为离散型时为离散型时,P(X=xk)=pk;当当X为连续型时为连续型时,X的密度函数为的密度函数为f(x)。=()X为离散型为离散型+()为连续型为连续型该公式的该公式的重要性重要性在于：在于：=()X为离散型为离散型+()为连续型为连续型当求当求Eg(X)时，不必知道时，不必知道g(X)的分布，的分布，只需知道随机只需知道随机变量变量X的分布的分布就可以了。就可以了。推论：推论：1、若、若,=,=，,=,，则，则=(,)的期望的期望,为：为：=,=+=+,(1)2、若、若,(,)，,=,，则，则=(,)的期的期望望,为：为：=,=+,(,

3、)(2)解解:例例 1设随机变量设随机变量X的密度函数为的密度函数为 =,其它其它，试求：，试求：（1）()；（；（2）(+).（1）=+=+=(+)+=解解:例例 1设随机变量设随机变量X的密度函数为的密度函数为 =,其它其它，试求：，试求：（1）()；（；（2）(+).（2）(+)=+=+=+=例例 2证明：证明：假设假设,(,)，证明，证明 +=+().假设假设,(,)，则，则 +=+(+),=+,+,=+,+,=+()+()=+()例例 3设国际市场上对我国某种出口商品的每年需求量是随机变量设国际市场上对我国某种出口商品的每年需求量是随机变量X（单位：吨），它服从区间（单位：吨），它服

4、从区间2000,4000上的均匀分布，每上的均匀分布，每销售出一吨商品，可为国家赚取外汇销售出一吨商品，可为国家赚取外汇3万元；若销售不出，万元；若销售不出，则每吨商品需要储存费则每吨商品需要储存费1万元，问应组织多少货源，才能使万元，问应组织多少货源，才能使国家收益最大？国家收益最大？解解:设组织货源设组织货源t吨，国家收益吨，国家收益Y（单位：万元）是（单位：万元）是X的函数，的函数，由题意知：由题意知：=,=,X的密度函数为：的密度函数为：=,其它其它解解:=+=()+=(+)易得当易得当t=3500时，时，达到最大；达到最大；结论：结论：应组织应组织3500吨商品使得国家收益最大。吨商品使得国家收益最大。2、随机变量函数数学期望公式的计算、随机变量函数数学期望公式的计算 =()X为离散型为离散型+()为连续型为连续型1、设、设X是一个随机变量，是一个随机变量，Y=g(X)，则，则