(3.5.1)--3.5随机变量的独立性课件.pdf

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1、概率论概率论随机变量的独立性随机变量的独立性引入引入事件,相互独立AB()()()P ABP A P B随机变量,相互独立XYX与Y在任何范围的取值毫无关系 XxYy事件与相互独立(,)()()P Xx YyP Xx P Yy(,)=()()XYF x yFx Fy设设(X,Y)的联合分布函数以及边缘分布函数分别的联合分布函数以及边缘分布函数分别为为F(x,y),FX(x),FY(y)，那么对于任意的那么对于任意的x,y都有都有(,)=()()XYF x yFx Fy则称随机变量则称随机变量X,Y相互独立相互独立.定义1定义1联合分布联合分布边缘分布边缘分布不确定不确定独立性独立性(,)=()

2、()XYF x yFx Fy确定确定联合分布等于边缘分布的乘积联合分布等于边缘分布的乘积()(,)XFxF x21lim(arctan)(arctan)22yxy 1(arctan)2xx ，；()(,)YFyFy1(arctan).2yy ，arctan2arctan21),(2yxyxF 例1关于关于（X，Y）的联合分布函数为的联合分布函数为解：试验证试验证X，Y 独立性独立性.(,)=()()XYF x yFx Fy同理可得同理可得说明说明X，Y 相互独立相互独立.随机变量,相互独立X Y(,)=()()XYF x yFx Fy离散型随机变量的独立性是否能够建立独立性判断的分布率等价关系

3、式？ijp.ip.jp若为二维离散型随机变量，其联合分布律为若为二维离散型随机变量，其联合分布律为(,)X Y,1,2,ijijP Xx Yyp i j,1,2,iijjpP XxpP Yyi j，的边缘分布律为，的边缘分布律为XY则则,相互独立的充要条件为相互独立的充要条件为X Y,1,2,ijijP Xx YyP Xx P Yyi j，或者或者,1,2,.ijijpp pi j离散型随机变量的独立性判断证明思路：若为二维离散型随机变量，若为二维离散型随机变量，(,)X Y(,),F x yP Xx Yy,ijijxx yyP Xx Yy()iXixxFxP Xxp()jYjyyFyP Yy

4、p随机变量,相互独立X Y(,)=()()XYF x yFx Fyijijijijxx yyxxyyppp上式中依次取上式中依次取1212,xx xyy y得到得到ijijpp p对于任意的i，j均成立.对于任意的i，j均成立.离散型随机变量X与Y 相互独立.ijijppp,i j有有.,ijiji jppp一对，使得则可以判断X与Y不独立.设设(X,Y)的分布律为的分布律为例1例1试证明：试证明：X、Y相互独立相互独立验证验证 (,)ijijpppi j11112122045ppp证明：证明：12121112045ppp13132122045ppp21212122045ppp22221112

5、045ppp23232122045ppp32322212045ppp31314222045ppp33334222045ppp所以，所以，X、Y 相互独立相互独立验证了九条等式验证了九条等式为了研究抽烟与肺癌的关系，其中X 取1,0分别对应不抽烟与抽烟，Y 取1,0分别对应未患肺癌与患肺癌，已知联合分布律和边缘分布律由下表给出，考察X与Y 的独立性.例2例200.2P X 0.20.80.999830.00017ip jp XY0010.000130.199870.000040.79996100.00017P Y 000.00013P XY，000 0P XYP XP Y，解：注意到显然有所以，

6、X与Y不相互独立.只需要验证一条等式不成立只需要验证一条等式不成立随机变量,相互独立XY(,)=()()XYF x yFx Fy连续型随机变量的独立性是否能够建立独立性判断的密度函数等价关系式？(,)f x y()Xfx()Yfy离散型随机变量X与Y相互独立.ijijppp,i j有有分析22(,)=()()XYF x yFx Fyx yx y =()()XYFxFyxy(,)f x y()Xfx()Yfy(,)=()()XYf x yfx fy设为二维离散型随机变量，(,)X Y(,)()()XYf x yfxfy，和分别是(X,Y)的联合密度函数和边缘密度函数，则X,Y相互(,)()()X

7、Yf x yfxfy独立的充要条件为，在，和的连续点处均有（1）上述等式不要求在全平面上任意点处处成立，由于连续型随机变量的分布函数处处连续，但并非处处可导，进而不能保证上式处处成立。我们可以描述为“几乎处处成立”，也可以说，在平面上除去“面积”为零的点集以外处处成立。注意（2）需要找到平面上一个面积非零的集合D，对于任意的（x，y）属于D区域，才能说明X与Y不相互独立。(,)()()XYf x yfx fy连续型随机变量的独立性判断例3 例3 设二维随机变量（设二维随机变量（X,Y）的分布密度函数为：）的分布密度函数为：8,01,0,xyyxf x y其他问问X,Y 是否独立？是否独立？解：

8、关于解：关于X的边缘分布密度的边缘分布密度,Xfxf x y dy01xx当或时，当或时，,00Xfxfx y dydy01x当时，当时，,Xfxf x y dy0300804xxdyxydydyx 34,0Xxfx所以所以01x其他其他x xy y0101 241,010 Yyyyfy，其他同理可得同理可得例3例3设二维随机变量（设二维随机变量（X,Y）的分布密度函数为：）的分布密度函数为：8,01,0,xyyxf x y其他其他问问X,Y 是否独立？是否独立？34,010,Xxxfx其他(,)|01Dx yyx在区域上，(,)()()XYf x yfx fy所以所以X,Y 不独立.不独立.

9、x xy y0101(,),AAX Yxa xb ycyd设二维随机变量在区域 上服从均匀分布，直线其中是由直线和所围矩形区域.1,(,)()()(,)0,x yAba cdf x y其他1,()()0,Xaxbbafx其他1,()()0,Ycyddcfy其他容易求出容易求出:(,)=()()XYf x yfx fy所以，所以，X,Y 独立独立.联合分布是二维均匀分布联合分布是二维均匀分布边缘分布仍然是一维均匀分布边缘分布仍然是一维均匀分布此例说明此例说明例4例42(,)X YyDxyxD设二维随机变量在区域 上服从均匀分布，其中是由直线和曲线所围区域6,(,)(,)0,x yDf x y其他6(),01,()0,.Yyyyfy其他26(),01,()0,.Xxxxfx其他(,)()()XYf x yfx fy所以所以X,Y 不独立不独立.联合分布是二维均匀分布联合分布是二维均匀分布边缘分布不是一维均匀分布边缘分布不是一维均匀分布此例说明此例说明1.依据随机变量的联合分布函数及边缘分布函数的特征判定：F(x,y)=FX(x)FY(y)2.依据离散型随机变量的分布律及边缘分布律的特征判定：3.依据连续型随机变量的联合密度函数及边缘密度函数的特征判定：(,)ijijpppi j随机变量的独立性判断随机变量的独立性判断小结小结(,)=()()XYf x yfx fy