信号与系统(奥本海默第二版)第6章.ppt

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1、第六章信号与系统的时域和频域特性第六章信号与系统的时域和频域特性本章主要内容本章主要内容1.傅立叶变换的模与相位。傅立叶变换的模与相位。2.LTI系统的幅频特性与相频特性，系统的失真。系统的幅频特性与相频特性，系统的失真。3.系统的不失真传输条件。系统的不失真传输条件。4.理想滤波器的时域和频域特性。理想滤波器的时域和频域特性。5.非理想滤波器的特性及逼近方式。非理想滤波器的特性及逼近方式。6.一阶与二阶系统的分析方法，一阶与二阶系统的分析方法，Bode图。图。工程中设计系统时，往往会对系统的特性从工程中设计系统时，往往会对系统的特性从时域角度或频域角度提出某些要求。时域角度或频域角度提出某些

2、要求。6.0 引言引言 Introduction 在时域，系统的特性由在时域，系统的特性由 或或 描述；描述；在频域，系统的特性由在频域，系统的特性由 或或 描述描述 ；在以前的讨论中，已经看到在以前的讨论中，已经看到v在在LTI 系统分析中，由于时域中的微分（差分）系统分析中，由于时域中的微分（差分）方程和卷积运算在频域都变成了代数运算，所方程和卷积运算在频域都变成了代数运算，所以利用频域分析往往特别方便。以利用频域分析往往特别方便。v系统的时域特性与频域特性是相互制约的。在进系统的时域特性与频域特性是相互制约的。在进行系统的分析与设计时，要权衡考虑系统的时行系统的分析与设计时，要权衡考虑系

3、统的时域与频域特性。域与频域特性。v本章的基本内容旨在建立对系统的时域和频域特本章的基本内容旨在建立对系统的时域和频域特性进行综合分析的思想和方法。性进行综合分析的思想和方法。6.1 傅里叶变换的模和相位表示傅里叶变换的模和相位表示 无论无论CTFT还是还是DTFT，一般情况下都表现，一般情况下都表现为一个复函数。为一个复函数。这说明：这说明：一个信号所携带的全部信息分别包含一个信号所携带的全部信息分别包含在其频谱的模和相位中在其频谱的模和相位中。在工程实际中，不同的应用场合，对幅度失在工程实际中，不同的应用场合，对幅度失真和相位失真有不同的敏感程度，也会有不同真和相位失真有不同的敏感程度，也

4、会有不同的技术指标要求。的技术指标要求。因此，导致信号失真的原因有两种：因此，导致信号失真的原因有两种：1.1.幅度失真：幅度失真：由于频谱的模改变而引起的失真。由于频谱的模改变而引起的失真。2.2.相位失真：相位失真：由于频谱的相位改变引起的失真。由于频谱的相位改变引起的失真。6.2 LTI系统频率响应的模和相位表示系统频率响应的模和相位表示LTI系统对输入信号所起的作用包括两个方面系统对输入信号所起的作用包括两个方面:1.改变输入信号各频率分量的幅度；改变输入信号各频率分量的幅度；2.改变输入信号各频率分量的相对相位。改变输入信号各频率分量的相对相位。一一.线性与非线性相位线性与非线性相位

5、 信号在传输过程中，相位特性或幅度特性发生信号在传输过程中，相位特性或幅度特性发生改变都会引起改变都会引起信号波形的改变信号波形的改变，即发生，即发生失真失真。当相位特性仅仅是附加一个线性相移时，则只当相位特性仅仅是附加一个线性相移时，则只引起信号在时间上的平移。若连续时间引起信号在时间上的平移。若连续时间LTI系统：系统：则则此时并未丢失信号所携带的任何信息，只是发生此时并未丢失信号所携带的任何信息，只是发生时间上的延迟，因而在工程应用中是允许的。时间上的延迟，因而在工程应用中是允许的。如果系统的相位特性是非线性的，由于不同频率如果系统的相位特性是非线性的，由于不同频率分量受相位特性影响所产

6、生的时移不同，叠加起来一分量受相位特性影响所产生的时移不同，叠加起来一定会变成一个与原来信号很不相同的信号波形。定会变成一个与原来信号很不相同的信号波形。对离散时间对离散时间LTI系统，也有同样的结论。但对线系统，也有同样的结论。但对线性相位系统，当相位特性的斜率是整数时，只引起信性相位系统，当相位特性的斜率是整数时，只引起信号的时域移位。若相位特性的斜率不是整数，由于离号的时域移位。若相位特性的斜率不是整数，由于离散时间信号的时移量只能是整数，需要采用其他手段散时间信号的时移量只能是整数，需要采用其他手段实现，其含义也不再是原始信号的简单移位。实现，其含义也不再是原始信号的简单移位。二二.信

7、号的不失真传输条件信号的不失真传输条件 如果系统响应与输入信号满足下列条件，可视如果系统响应与输入信号满足下列条件，可视为在传输中未发生失真。为在传输中未发生失真。这就要求系统的频率特性为这就要求系统的频率特性为全通系统全通系统:系统的系统的幅频特性是一个常数幅频特性是一个常数。时域表征时域表征 据此可得出据此可得出信号传输的不失真条件信号传输的不失真条件：0 0 通常，系统若在被传输信号的带宽范围内满足不通常，系统若在被传输信号的带宽范围内满足不失真条件，则认为该系统对此信号是不失真系统。失真条件，则认为该系统对此信号是不失真系统。频域表征频域表征 0 0三三.群时延群时延 Group De

8、lay 对线性相位系统，系统的相位特性表明了信号的对线性相位系统，系统的相位特性表明了信号的各个频率分量在通过系统时，系统对它所产生的附各个频率分量在通过系统时，系统对它所产生的附加相移。相位特性的斜率就是该频率分量在时域产加相移。相位特性的斜率就是该频率分量在时域产生的时延。生的时延。对非线性相位系统，定义对非线性相位系统，定义群时延群时延为为群时延群时延:代表了在以代表了在以 为中心的一个很小的频带或为中心的一个很小的频带或很少的一组频率上信号所受到的有效公共延时。很少的一组频率上信号所受到的有效公共延时。考察一个中心频率为考察一个中心频率为 的窄带输入信号，的窄带输入信号，一个非线性相位

9、的系统在此窄带范围内，可将其一个非线性相位的系统在此窄带范围内，可将其相位的变化近似看成线性的。因此，相位的变化近似看成线性的。因此，该系统对窄带输入信号的近似效果就是：该系统对窄带输入信号的近似效果就是：3.对应系统在窄带内的近似线性相位对应系统在窄带内的近似线性相位 所产所产生的时延生的时延 。该时延就是。该时延就是系统在系统在 的的群时延群时延。2.对应系统在对应系统在 的恒定相位的恒定相位 的因子的因子 的的影响；影响；1.由由 引起的幅度成形；引起的幅度成形；四四.对数模与对数模与Bode图图 在工程应用中，往往采用对数模特性（或称为在工程应用中，往往采用对数模特性（或称为Bode图

10、）来描述系统的频率特性。在对数坐标下，采用对图）来描述系统的频率特性。在对数坐标下，采用对数模，可以给频率特性的表示带来方便。这是因为数模，可以给频率特性的表示带来方便。这是因为:1.1.可以将模特性的相乘关系变为相加关系；可以将模特性的相乘关系变为相加关系；2.2.可以利用对数坐标的非线性，展示更宽范围的可以利用对数坐标的非线性，展示更宽范围的频率特性，并使低频端更详细而高频端相对粗略；频率特性，并使低频端更详细而高频端相对粗略；3.3.对连续时间系统，可以方便地建立模特性和相对连续时间系统，可以方便地建立模特性和相位特性的直线型渐近线。位特性的直线型渐近线。工程中广泛应用的有两种对数模：工

11、程中广泛应用的有两种对数模：单位奈培（单位奈培（Np）单位分贝单位分贝（dB）decibel 对离散时间系统，由于其有效频率范围只有对离散时间系统，由于其有效频率范围只有 ,而且，即使在对数坐标下也不存在直线型的渐近而且，即使在对数坐标下也不存在直线型的渐近线。因而不采用对数坐标，只采用对数模。线。因而不采用对数坐标，只采用对数模。采用对数模（或采用对数模（或Bode图）表示频率特性，对于图）表示频率特性，对于幅频特性有零点或在某些频段上为零的系统，是幅频特性有零点或在某些频段上为零的系统，是不适用的。不适用的。6.3 理想频率选择性滤波器理想频率选择性滤波器1.1.频率成形滤波器频率成形滤波

12、器2.2.频率选择性滤波器频率选择性滤波器一一.滤波滤波 通过系统改变信号中各频率分量的相对大小和相通过系统改变信号中各频率分量的相对大小和相位，甚至完全去除某些频率分量的过程称为位，甚至完全去除某些频率分量的过程称为滤波滤波。滤波器可分为两大类：滤波器可分为两大类：二二.理想频率选择性滤波器的频率特性理想频率选择性滤波器的频率特性 理想频率选择性滤波器的频率特性在某一个（或几理想频率选择性滤波器的频率特性在某一个（或几个）频段内，频率响应为常数，而在其它频段内频率个）频段内，频率响应为常数，而在其它频段内频率响应等于零。响应等于零。理想滤波器可分为理想滤波器可分为低通、高通、带通、带阻。低通

13、、高通、带通、带阻。滤波器允许信号完全通过的频段称为滤波器的滤波器允许信号完全通过的频段称为滤波器的通带（通带（pass band），完全不允许信号通过的频段，完全不允许信号通过的频段称为称为阻带（阻带（stop band）。连续时间理想频率选择性滤波器的频率特性连续时间理想频率选择性滤波器的频率特性低通低通高通高通带通带通带阻带阻离散时间离散时间理想频率选择性滤波器的频率特性理想频率选择性滤波器的频率特性低通低通高通高通带阻带阻带通带通-2 2 -0 0-各种滤波器的特性都可以从理想低通特性而来。各种滤波器的特性都可以从理想低通特性而来。离散时间理想滤波器的特性在离散时间理想滤波器的特性在

14、区间上，与相区间上，与相应的连续时间滤波器特性完全相似。应的连续时间滤波器特性完全相似。三三.理想滤波器的时域特性理想滤波器的时域特性以理想低通滤波器为例以理想低通滤波器为例连续时间理想低通滤波器连续时间理想低通滤波器1 1由傅里叶变换可得由傅里叶变换可得:对离散时间理想低通滤波器有：对离散时间理想低通滤波器有：如果理想低通滤波器具有线性相位特性如果理想低通滤波器具有线性相位特性则则理想低通滤波器的单位阶跃响应理想低通滤波器的单位阶跃响应令令正弦积分正弦积分由于由于对离散时间理想低通滤波器，相应有：对离散时间理想低通滤波器，相应有：从理想滤波器的时域特性可以看出：从理想滤波器的时域特性可以看出

15、：1.1.理想滤波器理想滤波器是非因果系统是非因果系统。因而是。因而是物理不物理不 可实现可实现的；的；2.2.尽管从频域滤波的角度看，理想滤波器的尽管从频域滤波的角度看，理想滤波器的频率特性是最佳的。但它们的时域特性并不是最频率特性是最佳的。但它们的时域特性并不是最佳的。佳的。或或 都有起伏、旁瓣、主瓣，这表都有起伏、旁瓣、主瓣，这表明理想滤波器的明理想滤波器的时域特性与频域特性并不兼容时域特性与频域特性并不兼容。3.3.在工程应用中，当要设计一个滤波器时，在工程应用中，当要设计一个滤波器时，必须对时域特性和频域特性作出恰当的折中。必须对时域特性和频域特性作出恰当的折中。6.4 非理想滤波器

16、非理想滤波器 对理想特性逼近得越精确，实现时付出的代价对理想特性逼近得越精确，实现时付出的代价越大，系统的复杂程度也越高。越大，系统的复杂程度也越高。非理想滤波器的频率特性以容限方式给出。非理想滤波器的频率特性以容限方式给出。由于理想滤波器是物理不可实现的，工程应用由于理想滤波器是物理不可实现的，工程应用中就必须寻找中就必须寻找一个物理可实现的频率特性去逼近一个物理可实现的频率特性去逼近理想特性，这种物理可实现的系统就称为理想特性，这种物理可实现的系统就称为非理想非理想滤波器。滤波器。非理想滤波器特性非理想滤波器特性1.1.通带绝对平坦，通带通带绝对平坦，通带内衰减为零。内衰减为零。理想滤波器

17、特性理想滤波器特性2.2.阻带绝对平坦，阻带阻带绝对平坦，阻带内衰减为内衰减为 。通带内允许有起伏，通带内允许有起伏，有一定衰减范围有一定衰减范围3.3.无过渡带。无过渡带。阻带内允许有起伏，阻带内允许有起伏，有一定衰减范围有一定衰减范围有一定的过渡带宽度有一定的过渡带宽度 通常将偏离单位增益的通常将偏离单位增益的 称为称为通带起伏通带起伏（或（或波纹），波纹），称为称为阻带起伏阻带起伏（或波纹），（或波纹），称为称为通通带边缘带边缘，为为阻带边缘阻带边缘，为为过渡带过渡带。它们都是从幅频特性出发逼近理想低通的模特它们都是从幅频特性出发逼近理想低通的模特性的。性的。工程实际中常用的逼近方式有：

18、工程实际中常用的逼近方式有：1.Butterworth滤波器：滤波器：通带、阻带均呈单调衰减，也称通带最平伏逼近；通带、阻带均呈单调衰减，也称通带最平伏逼近；2.Chebyshev滤波器：滤波器：通带等起伏阻带单调，或通带单调阻带等起伏；通带等起伏阻带单调，或通带单调阻带等起伏；3.Cauer滤波器：（椭圆函数滤波器）滤波器：（椭圆函数滤波器）通带、阻带均等起伏。通带、阻带均等起伏。2.包络时延包络时延Chebyshev滤波器：滤波器：包络时延等起伏逼近；包络时延等起伏逼近；对对同一种滤波器同一种滤波器，阶数越高，对理想特性逼近得，阶数越高，对理想特性逼近得越好，过渡带越窄，但付出的代价是系统

19、越复杂。越好，过渡带越窄，但付出的代价是系统越复杂。从相位特性出发，逼近理想的线性相位特性有从相位特性出发，逼近理想的线性相位特性有1.Bassel滤波器滤波器：群时延最平伏逼近；群时延最平伏逼近；3.Gauss滤波器。滤波器。对对同样阶数的滤波器同样阶数的滤波器，从，从 Butterworth Chebyshev Cauer，其幅频特性逼近得越来其幅频特性逼近得越来越好，但阶跃响应的起伏、超量和振荡也越厉害越好，但阶跃响应的起伏、超量和振荡也越厉害（体现了（体现了系统频域特性与时域特性的不兼容系统频域特性与时域特性的不兼容）。系）。系统的复杂程度也越来越高，相应地，实现系统所付统的复杂程度也

20、越来越高，相应地，实现系统所付出的代价也越来越大。出的代价也越来越大。5阶阶Butterworth滤波器与滤波器与5阶阶Cauer滤波器的比较：滤波器的比较：单位阶跃响应：单位阶跃响应：6.5 一阶与二阶连续时间系统一阶与二阶连续时间系统对由对由LCCDE描述的连续时间描述的连续时间LTI系统，其频率系统，其频率响应为：响应为：其中：其中：、均为实常数。均为实常数。此时，可通过对此时，可通过对 、因式分解，因式分解，将其表示成若干个一阶或二阶有理函数的连乘；将其表示成若干个一阶或二阶有理函数的连乘；或者通过部分分式展开，表示成若干个一阶或二或者通过部分分式展开，表示成若干个一阶或二阶有理函数相

21、加。阶有理函数相加。这表明：由这表明：由LCCDE描述的描述的LTI系统可以看成系统可以看成由若干个一阶或二阶系统通过级联或并联构成。由若干个一阶或二阶系统通过级联或并联构成。因此，一阶和二阶系统是构成任何系统的基本单因此，一阶和二阶系统是构成任何系统的基本单元。掌握一阶和二阶系统的分析方法就尤为重要。元。掌握一阶和二阶系统的分析方法就尤为重要。一一.一阶系统一阶系统:1.时域特性时域特性:模型：模型：可以看出：可以看出：越小，越小，上升得越快，系统失真越小。上升得越快，系统失真越小。在对数坐标系下，是一条直线，斜率为在对数坐标系下，是一条直线，斜率为每每10倍倍频程频程-20dB。可见，一阶

22、系统的可见，一阶系统的Bode图有两条直线型渐近线。图有两条直线型渐近线。称为称为折断频率折断频率。2.一阶系统的一阶系统的Bode图：图：当当即即时时当当即即时时当当 时，准确的对数模为时，准确的对数模为相频特性：相频特性：将其折线化可得相位特性的直线型渐近线：将其折线化可得相位特性的直线型渐近线：时，时，时，时，时，时，二二.二阶系统：二阶系统：如：对如：对RLC串联谐振电路，可列出电路方程串联谐振电路，可列出电路方程模型：模型：考察由弹簧、阻尼器、质量考察由弹簧、阻尼器、质量M组成的减震系统组成的减震系统（位移）（位移）（牵引力）（牵引力）分析受力分析受力可列出方程可列出方程即即其中其中

23、由二阶系统的方程可得系统的频率响应：由二阶系统的方程可得系统的频率响应：显然，若显然，若则方程就成为标准形式。则方程就成为标准形式。当当 时，时，1.1.时域特性：时域特性：由由系统处于系统处于临界阻尼状态。临界阻尼状态。时，时，、为实数根，系统为为实数根，系统为过阻尼状态过阻尼状态.时，时，系统处于系统处于无阻尼状态无阻尼状态。当当 时，时，、为共轭复根，系统处为共轭复根，系统处于于欠阻尼状态欠阻尼状态.时，二阶系统的时域特性最佳时，二阶系统的时域特性最佳当当 时时:2.2.频率特性：频率特性：当当 时时:在对数坐标中可用两条直线表示。一条是低频在对数坐标中可用两条直线表示。一条是低频段的段

24、的0dB线，一条是高频段的斜率为线，一条是高频段的斜率为40dB/dec的直线。的直线。时，准确的对数模为：时，准确的对数模为：时，幅频特性在时，幅频特性在 处出现峰值，其处出现峰值，其值为值为 。时时:系统类似于一阶系统具有低通特性。系统类似于一阶系统具有低通特性。时时:随随 的减小，逐步过渡为带通特性。的减小，逐步过渡为带通特性。时时:系统具有最平坦的低通特性。系统具有最平坦的低通特性。相位特性：相位特性：时时:时时:时时:可将其用折线近似为：可将其用折线近似为：据此可作出不同据此可作出不同 下的相位特性下的相位特性可见可见 越小，相位的非线性越严重。越小，相位的非线性越严重。三三.有理型

25、频率响应的有理型频率响应的Bode图：图：这种频率特性的因子，与一阶、二阶系统的情这种频率特性的因子，与一阶、二阶系统的情况相比，其况相比，其 存在倒量关系。即存在倒量关系。即:对于对于6.6 一阶与二阶离散时间系统一阶与二阶离散时间系统一一.一阶系统一阶系统由差分方程可得系统的频率响应：由差分方程可得系统的频率响应：系统的数学模型：系统的数学模型：1.时域特性时域特性对频率响应做傅立叶反变换可得：对频率响应做傅立叶反变换可得：系统的单位阶跃响应为：系统的单位阶跃响应为：据此可做出不同参数情况下系统的单位脉冲据此可做出不同参数情况下系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应：响应和单位阶跃响应：2.频域

26、特性频域特性由系统的频率响应可以得出：由系统的频率响应可以得出：据此可做出不同参数情况下一阶系统的幅据此可做出不同参数情况下一阶系统的幅频特性和相频特性：频特性和相频特性：二二.二阶系统二阶系统或或 时，时，有两个不同的极点有两个不同的极点 、数学模型：数学模型：其中其中为指数衰减的正弦振荡。为指数衰减的正弦振荡。单调变化，无振荡单调变化，无振荡.振荡最剧烈振荡最剧烈.时时:时时:系统的单位脉冲响应：系统的单位脉冲响应：系统的单位阶跃响应：系统的单位阶跃响应：6.7 系统的时域分析与频域分析举例系统的时域分析与频域分析举例一一.汽车减震系统汽车减震系统类似于前面讨论过的二阶系统，其中类似于前面

27、讨论过的二阶系统，其中系统模型为：系统模型为：从频域看，从频域看，越小，越有利于滤除路面不平所越小，越有利于滤除路面不平所造成的影响。但造成的影响。但 越小，时域特性变化越慢。越小，时域特性变化越慢。参考高度参考高度底盘质底盘质量量M弹弹 簧簧减震器减震器路面路面 从时域角度看，希望响应时间尽可能快，并且不从时域角度看，希望响应时间尽可能快，并且不要出现震荡和超量，因此应该要求要出现震荡和超量，因此应该要求 ，但，但 时，系统的频率特性并不是最佳。时，系统的频率特性并不是最佳。对系统的时域特性和频域特性综合折中考虑，是对系统的时域特性和频域特性综合折中考虑，是工程应用中很重要的问题。工程应用中

28、很重要的问题。二二.FIR滤波器滤波器离散时间滤波器可以分为离散时间滤波器可以分为IIR和和FIR两大类。两大类。考察如下的动平均滤波器：考察如下的动平均滤波器：它是一个它是一个FIR系统，其频率响应为：系统，其频率响应为：更一般的情况，可加权的动平均滤波器可表示为：更一般的情况，可加权的动平均滤波器可表示为：选择不同的加权序列选择不同的加权序列 ，即可改变滤波器的特性。，即可改变滤波器的特性。加权动平均滤波器的窗函数序列：加权动平均滤波器的窗函数序列：该该FIR滤波器的幅频特性（对数模）：滤波器的幅频特性（对数模）：6.8 小结小结 Summary从傅里叶变换的模和相位表示出发，研究了信号在

29、从傅里叶变换的模和相位表示出发，研究了信号在传输中发生失真的原因和失真的种类。建立了信号传输中发生失真的原因和失真的种类。建立了信号传输的不失真条件。传输的不失真条件。介绍了滤波与滤波器的基本概念，理想频率选择性介绍了滤波与滤波器的基本概念，理想频率选择性滤波器的频率特性和时域特性，理想滤波器的不可滤波器的频率特性和时域特性，理想滤波器的不可实现性，非理想滤波器的概念及工程中常用的逼近实现性，非理想滤波器的概念及工程中常用的逼近方式。方式。讨论了连续时间和离散时间一阶、二阶系统的讨论了连续时间和离散时间一阶、二阶系统的时域和频域特性的分析方法，及连续时间一阶、时域和频域特性的分析方法，及连续时间一阶、二阶系统二阶系统Bode图的绘制。图的绘制。以汽车减震系统和动平均以汽车减震系统和动平均FIR滤波器为例，简单滤波器为例，简单介绍了在工程应用中时域频域、幅频相频介绍了在工程应用中时域频域、幅频相频特性要折衷权衡考虑的思想。特性要折衷权衡考虑的思想。