信号与系统课件-第六章无限脉冲数字滤波器的设计.ppt

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1、第六章 无限脉冲数字滤波器的设计6.1 数字滤波器结构的基本概念6.2 模拟滤波器设计6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器6.4 用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器 6.5 数字高通、带通和带阻数字高通、带通和带阻滤波器滤波器设计 6.6 IIR滤波器的直接设计法6.1 6.1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念1，什么是数字滤波器？首先输入、输出都是数字信号，通过一定的运算关系(通常是指一种算法，或指一种数字式处理设备)改变输入信号所含频率成份的比例或滤除某些频率的器件。1.精度高2.稳定好3.体积小4.灵活性5.重量轻6.不要求阻抗匹配优点还可以实现模拟滤波器无法实现

2、的特殊滤波功能2，数字滤波器分类，数字滤波器分类经典滤波器现代滤波器维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器等，按照随机信号内部的一些统计分布规律，从干扰中最佳地提取信号输入信号中有用的频率成分和希望滤除的频率成分各占有不同的频带，通过一个合适的选频滤波器达到滤波的目的功能低通高通带通带阻理想滤波器不可能实现，因为其单位脉冲响应均是非因果且是无限长，可作为逼近标准网络结构无限脉冲响应IIR有限脉冲响应FIRN 阶N1阶|H(ej)|-2-2低通|H(ej)|-2-2高通|H(ej)|-2-2带通|H(ej)|-2-2带阻理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性3.数字滤波器的技术指标与要求数字滤

3、波器的传输函数:幅频特性表示信号通过该滤波器后各频率成分衰减衰减衰减衰减:相频特性反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时延时延时延时通带内允许的最大衰减用 表示阻带内允许的最小衰减用 表示 为通带截止频率为阻带截止频率为3dB通带截止频率通带阻带过渡带cs0.707低通滤波器的技术要求dBdB将 归一化为1，dBdB4.数字滤波器设计方法概述数字滤波器设计方法概述IIR滤波器滤波器设计法两类，（1）借助模拟滤波器的设计方法，先设计出模拟滤波器得到传输函数 ，然后将传输函数按照某种方法转换成数字滤波器的系统函数H(z)。（2）另一类是直接在频域或者时域进行设计的，由于要解联立方程，需要计算机做

4、辅助设计。FIR滤波器滤波器不能采用由模拟滤波器的设计进行转换的方法，经常用的是窗函数法和频率采样法。模拟滤波器设计方法已经很成熟不仅有完整的设计公式，还有完善的图表供查阅，还有一些典型的滤波器类型供使用。设计滤波器时，总是先设计低通滤波器，再通过频率变换将低通滤波器转换成希望类型的滤波器。下面我们先介绍低通滤波器的技术指标和逼近方法，然后分别介绍巴特沃斯滤波器和切比雪夫滤波器的设计方法。6.2 6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计模拟滤波器设计技术成熟，有相当简便的公式和图表，有几模拟滤波器设计技术成熟，有相当简便的公式和图表，有几种典型的种典型的 模拟滤波器，如模拟滤波器，如Butte

5、rworthButterworth滤波器、滤波器、ChebyshevChebyshev滤波器、椭圆滤波器、滤波器、椭圆滤波器、BesselBessel滤波器等可以依照不同要求和滤波器等可以依照不同要求和指标进行选择。指标进行选择。低通带阻高通带通各种理想滤波器的幅频特性1.模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法逼近方法构造一个逼近设计指标的传输函数Ha(s)Butterworth（巴特沃斯）低通逼近 Chebyshev（切比雪夫）低通逼近模拟低通滤波器的设计指标模拟低通滤波器的设计指标模拟低通滤波器的设计指标有通带内允许的最大衰减用 表示阻带内允许的最小衰减用 表示低通滤波器的幅度特性0.7071

6、 为通带截止频率为阻带截止频率为3dB截止频率对于单调下降的幅度特性，可表示成：如果 处幅度已归一化到1，即逼近方法用频率响应的幅度平方函数逼近滤波器的技术指标给定后，需要构造一个传输函数Ha(s)，希望其幅度平方函数满足给定的指标p和s，一般滤波器的单位冲激响应为实数，因此幅度平方函数幅度平方函数在模拟滤波器的设计中起很重要的作用，对于上面介绍的典型滤波器，其幅度平方函数都有自己的表达式，可以直接引用。给定模拟低通滤波器的技术指标需要设计一个低通滤波器，其传输函数的幅度平方函数满足 给定的指标 和一般滤波器的冲激响应为实数，因此有如果能由求出就很容易得到所需要的注意：必须是稳定的，因此极点必

7、须落在s平面的左半左半左半左半平面平面平面平面，相应的的极点落在右半平面由幅度平方函数得象限对称的由幅度平方函数得象限对称的s平面函数平面函数将 因式分解，得到各零极点对比 和 ，确定增益常数由零极点及增益常数，得2、Butterworth 低通的设计方法幅度平方函数 1）幅度函数特点 2）幅度平方函数的极点分布 3）滤波器的系统函数 4）滤波器的设计步骤当称 为Butterworth低通滤波器的3分贝带宽N为滤波器的阶数为通带截止频率1）幅度平方函数2）幅度函数特点：通带内有最大平坦的幅度特性，单调减小 过渡带及阻带内快速单调减小 Butterworth低通滤波器的幅度函数只由阶数N控制10

8、巴特沃斯幅度特性和N的关系3dB不变性Butterworth滤波器是一个全极点滤波器，其极点：2）幅度平方函数的极点分布：2N个极点等间隔分布在半径为 的圆上(该圆称为巴特沃斯圆)，间隔是N rad。极点在s平面呈象限对称，分布在Buttterworth圆上，共2N点 极点间的角度间隔为 极点不落在虚轴上 N为奇数，实轴上有极点，N为偶数，实轴上无极点一半极点在左半平面一半极点在右半平面？为形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平面的N个极点构成Ha(s)，而右半平面的N个极点构成Ha(-s)。Ha(s)的表示式为设N=3，极点有6个，它们分别为 令=/c，称为归一化频率；令p=j，p称

9、为归一化复变量，这样归一化巴特沃斯的传输函数为3）归一化系统函数由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，将所有的频率归一化。这里采用对3dB截止频率c归一化，归一化后的Ha(s)表示为式中，s/c=j/c。上式为Buttterworth低通滤波器的归一化系统函数，分母多项式的系数有表可查。pk为归一化极点，用下式表示：将极点展开可得到的Ha(p)的分母p的N阶多项式，用下式表示：4）阶数N与技术指标的关系根据技术指标求出滤波器阶数N：确定技术指标：由得：同理：令则：技术指标转技术指标转化为阶数化为阶数取大于等于N的最小整数关于3dB截止频率c，如果技术指标中没有给出，可由下式求出因为反归一时

10、要用此参数5）低通巴特沃斯滤波器的设计步骤 (1)根据技术指标p,p,s和s，求出滤波器的阶数N。(2)求出归一化极点pk，由pk构造归一化传输函数Ha(p)。(3)将Ha(p)反归一化，阻带指标有富裕通带指标有富裕此环节可由查表得到Butterworth AF 的特点的特点：（3）3dB不变特性（2）N越大，通带内衰减越慢，阻带内衰减越快，最平的幅频相应滤波器（1）例：要求设计一个巴特沃斯低通滤波器，其通带截止频例：要求设计一个巴特沃斯低通滤波器，其通带截止频率为率为fp2kHz，通带最大衰减，通带最大衰减 p2dB；阻带截止频率；阻带截止频率fs10kHz，阻带最小衰减，阻带最小衰减 s2

11、0dB。解：解：1）确定滤波器阶数）确定滤波器阶数N：取取N22）计算）计算Ha(p)的极点：的极点：由由 得：得：3）求得归一化系统函数为：）求得归一化系统函数为：4）对）对Ha(p)去归一化去归一化先求先求3dB截止频率：截止频率：将将 代入代入Ha(p)得：得：3.Chebyshev低通滤波器的设计方法提出的背景 巴特沃斯滤波器的频率特性曲线，无论在通带和阻带都是频率的单调函数。因此当通带边界处满足指标要求时，通带内肯定会有余量。因此，更有效的设计方法应该是将精确度均匀地分布在整个通带内，或者均匀分布在整个阻带内，或者同时分布在两者之内。这样，就可用阶数较低的系统满足要求。这可通过选择具

12、有等波纹特性的逼近函数来达到。1）Chebyshev低通滤波器的幅度平方函数N：滤波器的阶数Chebyshev型滤波器幅度平方函数：截止频率，不一定为3dB带宽 ，表示通带波纹大小，越大，波纹越大 ：N阶Chebyshev多项式当N=0时，C0(x)=1；当N=1时，C1(x)=x；当N=2时，C2(x)=2x 2-1；当N=3时，C3(x)=4x 3 -3x。由此可归纳出高阶切比雪夫多项式的递推公式为 C N+1(x)=2xCN(x)-C N-1(x)前两项给出后才前两项给出后才能迭代下一个能迭代下一个N=0,4,5切比雪夫多项式曲线 1）幅度函数特点：通带外：迅速单调下降趋向0N为偶数N为

13、奇数 通带内：在1和 间等波纹起伏 切比雪夫型与巴特沃斯低通的幅度函数平方曲线 ：通带截止频率，给定 ：表征通带内波纹大小由通带衰减决定2）Chebyshev滤波器的三个参量：设阻带的起始点频率(阻带截止频率)用s表示，在s处的A2(s)为：令s=s/p，由s1，有可以解出 滤波器阶数N 的确定阻带衰减越大所需阶数越高 3dB截止频率c的确定按照(6.2.19)式，有通常取c1，因此上式中仅取正号，得到3dB截止频率计算公式：令 以上p,和N确定后，可以求出滤波器的极点，并确定Ha(p)，p=s/p。有用的结果。设Ha(s)的极点为si=i+ji，可以证明：3）幅度平方特性的极点分布上式是一个

14、椭圆方程，因为ch(x)大于sh(x)，长 半 轴 为 pch(在 虚 轴 上)，短 半 轴 为psh(在实轴上)。令bp和ap分别表示长半轴和短半轴，可推导出：(6.2.29)(6.2.30)(6.2.31)因此切比雪夫滤波器的极点就是一组分布在长半轴为bp，短半轴为ap的椭圆上的点。(6.2.32)式中c是待定系数。根据幅度平方函数(6.2.19)式可导出：c=2 N-1，代入(6.2.32)式，得到归一化的传输函数为(6.2.33a)去归一化后的传输函数为设N=3，平方幅度函数的极点分布如图所示(极点用X表示)。为稳定，用左半平面的极点构成Ha(p)，即(6.2.33b)图6.2.8 三阶切比雪夫滤波器的极点分布5.滤波器的设计步骤:归一化：1）确定技术指标：2)根据技术指标求出滤波器阶数N及 ：其中：或者由N和 ，直接查表得其中极点由下式求出：4）去归一化3）求出归一化系统函数：