其它类型的未定式.ppt

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1、上页 下页 返回 结束 三、其它类型的未定式三、其它类型的未定式 二、二、型未定式型未定式一、一、型未定式型未定式第二节洛必达法则洛必达法则 第三三章 上页 下页 返回 结束 通常把这种极限叫做未定式通常把这种极限叫做未定式 例如例如上页 下页 返回 结束 其它类型的未定式其它类型的未定式 本节主要研究这些未定式极限本节主要研究这些未定式极限上页 下页 返回 结束 一、一、存在存在(或为或为 )定理定理 1.型未定式极限型未定式极限(洛必达法则洛必达法则)若若那么那么这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则来确

2、定未定式的值的方法称为洛必达法则.上页 下页 返回 结束 证：证：则有则有存在存在(或为或为 )洛必达法则洛必达法则若若则则不妨假设不妨假设(介于介于x与与a之间之间)上页 下页 返回 结束 证：证：定义辅助函数定义辅助函数则有则有上页 下页 返回 结束 推论推论1.定理定理 1 中中洛必达法则洛必达法则存在存在(或为或为 )定理定理 1.换为换为之一之一,条件条件 2)作相应的修改作相应的修改,定理定理 1 仍然成立仍然成立.推论推论 2.若若理理1条件条件,则则上页 下页 返回 结束 推论推论 2.若若理理1条件条件,则则直至求出极限值，直至求出极限值，若永远是不定式，则方法失效，若永远是

3、不定式，则方法失效，改用其他求极限方法改用其他求极限方法如果有必要可连续应用有限次洛必达法则，如果有必要可连续应用有限次洛必达法则，或找出不符合法则的情形为止，或找出不符合法则的情形为止，上页 下页 返回 结束 例例1.求求解解:原式原式例例2.求求解解:原式原式上页 下页 返回 结束 例例3.求求注意：注意：洛必达法则虽然是求未定式的一种有效方法，洛必达法则虽然是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果会更好但与其它求极限方法结合使用，效果会更好.解解:注意到：注意到：原式原式上页 下页 返回 结束 例例4.求求解解原式原式上页 下页 返回 结束 例例5.求求解解:原式原式

4、思考思考:如何求如何求(n 为正整数为正整数)?上页 下页 返回 结束 例例6.求求原式原式 解解:注意到：注意到：上页 下页 返回 结束 二、二、型未定式极限型未定式极限定理定理 2.(洛必达法则洛必达法则)说明说明:定理中定理中换为换为之一之一,条件条件 2)作相应的修改作相应的修改,定理仍然成立定理仍然成立.存在存在(或为或为 )上页 下页 返回 结束 例例7.求求解解:原式原式例例8.求求解解:原式原式例例7,例例8 表明表明时时,后者比前者趋于后者比前者趋于更快更快.上页 下页 返回 结束 例例9.求求解解:原式原式上页 下页 返回 结束 三、其他未定式三、其他未定式:解决方法解决方

5、法:关键将其他类型未定式化为洛必达法则关键将其他类型未定式化为洛必达法则可解决的类型：可解决的类型：.步骤步骤:例例10.求求解解:原式原式上页 下页 返回 结束 例例11.求求步骤步骤:解解:原式原式上页 下页 返回 结束 例例12.解解:原式原式又又原式原式上页 下页 返回 结束 例例13.求求解解:原式原式=(用洛必达法则用洛必达法则)(继续用洛必达法则继续用洛必达法则)上页 下页 返回 结束 例例14.求求步骤步骤:幂指函数求极限幂指函数求极限转化为转化为上页 下页 返回 结束 例例14.求求解解:步骤步骤:幂指函数求极限幂指函数求极限转化为转化为上页 下页 返回 结束 例例14.求求

6、解解:步骤步骤:幂指函数求极限幂指函数求极限转化为转化为又又上页 下页 返回 结束 例例14.求求解解:又又上页 下页 返回 结束 例例14.求求解解:步骤步骤:幂指函数求极限幂指函数求极限转化为转化为又又上页 下页 返回 结束 例例14.求求解解:又又上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结洛必达法则洛必达法则幂指函数求极限幂指函数求极限转化为转化为上页 下页 返回 结束 注意注意:1洛必达法则是求未定式的一种有效方法洛必达法则是求未定式的一种有效方法 但最好能但最好能与其它求极限的方法结合使用与其它求极限的方法结合使用 例如能化简时应尽可能例如能化简时应尽可能先化简先化简 可以应用等价无穷小替代或重要极限时可以应用等价无穷小替代或重要极限时 应尽可能应用应尽可能应用 这样可以使运算简捷这样可以使运算简捷 2不是未定式不能用洛必达法则不是未定式不能用洛必达法则 上页 下页 返回 结束 3.在满足定理条件的某些情况下在满足定理条件的某些情况下,洛必达法则不能解决洛必达法则不能解决计算问题计算问题 例如，例如，而而-失效失效 上页 下页 返回 结束 4.若若例如例如,极限不存在极限不存在