2020中考常见最值问题总结归纳微专题一几何最值单线段最值单动点型(解析版)074302.pdf

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1、欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！中考常见最值问题总结归纳 微专题一：单线段最值+单动点型 2020 WORKING PLAN 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！微专题一：单线段最值+单动点型 类型一：动点轨迹-直线型 考法指导 动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。（1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值（2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定 观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度

2、不变，若存在该动点的轨迹为直线。当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线。当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线。【典例精析】例题 1（2020 全国初三单元测试）如图，矩形ABCD中，4AB，6BC，点P是矩形ABCD内一动点，且PABPCDSS，则PCPD的最小值为_ 【答案】2 13【详解】ABCD为矩形，ABDC 又PABPCDSS 点P到AB的距离与到CD的距离相等，即点P线段AD垂直平分线MN上，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！连接AC，交MN与点P，此时PCPD的值最小

3、，且PCPDAC222246522 13ABBC 故答案为：2 13 【针对训练】1（2018湖北中考真题）如图，等腰 RtABC 中，斜边 AB 的长为 2，O为 AB 的中点，P为 AC 边上的动点，OQOP 交 BC 于点 Q，M 为 PQ 的中点，当点 P 从点 A 运动到点 C时，点 M 所经过的路线长为（）A24 B22 C1 D2【答案】C【详解】连接 OC，作 PEAB于 E，MHAB 于 H，QFAB于 F，如图，ACB为到等腰直角三角形，AC=BC=22AB=2，A=B=45，O 为 AB的中点，OCAB，OC 平分ACB，OC=OA=OB=1，OCB=45，POQ=90，

4、COA=90，AOP=COQ，在 RtAOP 和COQ 中 AOCQAOCOAOPCOQ ，RtAOPCOQ，AP=CQ，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！易得APE和BFQ 都为等腰直角三角形，PE=22AP=22CQ，QF=22BQ，PE+QF=22，CQ+BQ，=22BC=222=1，M点为 PQ 的中点，MH 为梯形 PEFQ的中位线，MH=12，PE+QF，=12，即点 M 到 AB的距离为12，而 CO=1，点 M 的运动路线为ABC的中位线，当点 P 从点 A 运动到点 C时，点 M所经过的路线长=12AB=1，故选

5、 C，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！2（2017江苏中考真题）如图，在平面内，线段 AB=6，P为线段 AB上的动点，三角形纸片 CDE的边 CD所在的直线与线段 AB垂直相交于点 P，且满足 PC=PA若点 P沿 AB方向从点 A运动到点 B，则点 E运动的路径长为_，【答案】6 2【详解】解：如图，由题意可知点 C运动的路径为线段 AC，点 E 运动的路径为 EE，由平移的性质可知 AC=EE，在 Rt，ABC中，易知 AB=BC=6，ABC=90，EE=AC=2266=6 2，故答案为：6 2，欢迎您阅读并下载本文档，本

6、文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！3如图，等边三角形 ABC 的边长为 4，点 D 是直线 AB 上一点将线段 CD 绕点 D 顺时针旋转 60得到线段 DE，连结 BE（1）若点 D 在 AB 边上（不与 A，B 重合）请依题意补全图并证明 AD=BE；（2）连接 AE，当 AE 的长最小时，求 CD 的长 【答案】（1）见解析；（2）2 7【详解】解：（1）补全图形如图 1 所示，AD=BE，理由如下：ABC 是等边三角形，AB=BC=AC，A=B=60，由旋转的性质得：ACB=DCE=60，CD=CE，ACD=BCE，ACDBCE（SAS），AD=B

7、E （2）如图 2，过点 A 作 AFEB 交 EB 延长线于点 F ACDBCE，CBE=A=60，点 E 的运动轨迹是直线 BE，根据垂线段最短可知：当点 E 与 F 重合时，AE 的值最小，此时 CD=CE=CF，ACB=CBE=60，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ACEF，AFBE，AFAC，在 RtACF 中，CF=22ACAF=2242 3=2 7，CD=CF=2 7.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！类型二：动点轨迹-圆或圆弧型 考法指导 动点的轨迹

8、为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。确定动点轨迹为圆或者圆弧型的方法:（1）动点到定点的距离不变，则点的轨迹是圆或者圆弧。（2）当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的轨迹是圆，具体运用如下;见直角，找斜边，想直径，定外心，现圆形 见定角，找对边，想周角，转心角，现圆形 【典例精析】例题 1 如图，点D在半圆O上，半径5OB，4AD，点C在弧BD上移动，连接AC，作DHAC，垂足为H，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是_ 【答案】2 222【详解】如图，设 AD 的中点为点 E，则11422

9、2EAEDAD 由题意得，点 H 的运动轨迹在以点 E 为圆心，EA 为半径的圆上 由点与圆的位置关系得：连接 BE，与圆 E 交于点 H，则此时BH取得最小值，2EH 连接 BD AB 为半圆 O 的直径 90ADB 2222(55)42 21BDABAD 2222(2 21)22 22BEBDED 2 222BHBEEH 故答案为：2 222 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！【针对训练】1（2018江阴市）如图，长方形 ABCD 中，AB=6，BC=4，在长方形的内部以 CD 边为斜边任意作 RtCDE，连接 AE，则线段

10、AE 长的最小值是_ 【答案】2【解析】详解：如图，点 E在以点 F 为圆心，DF 为半径的圆上运动，当 A,E,F 三点共线时，AE 值最小，DF=126=3，在长方形 ABCD 中，AD=BC=4，由勾股定理得：AF=22ADDF=2243=5 EF=12CD=126=3，AE=AFEF=53=2，即线段 AE 长的最小值是 2 故答案为 2 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！2（2019陕西省中考模拟）如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，AD=6，E 是 AB 边的中点，F是线段 BC 上的动点，将 EBF 沿 EF 所在

11、直线折叠得到 EB F，连接 B D，则 B D 的最小值是_ 【答案】2 102.【详解】如图所示点 B在以 E 为圆心 EA 为半径的圆上运动，当 D、B、E 共线时，BD 的值最小，根据折叠的性质，EBF，EBF，B=，EBF，EB=EB，E 是 AB 边的中点，AB=4，AE=EB=2，AD=6，DE2262210，BD=210 2 故答案为 210 2 3（2019 湖南省）如图，RtABC中，ABBC，6AB，4BC，P是ABC内部的一个动点，且满足90PABPBA，则线段CP长的最小值为 _.【答案】2：【详解】PAB+PBA=90 APB=90 点 P 在以 AB 为直径的弧上

12、（P 在ABC 内）设以 AB 为直径的圆心为点 O，如图 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！接 OC，交O 于点 P，此时的 PC 最短 AB=6，OB=3 BC=4 2222345OCOBBC PC=5-3=2 4（2020河南省）如图，在Rt ABC中，90C，4AC，3BC，点 O 是 AB 的三等分点，半圆 O 与 AC 相切，M，N 分别是 BC 与半圆弧上的动点，则 MN 的最小值和最大值之和是（）A5 B6 C7 D8【答案】B【详解】如图，设O 与 AC 相切于点 D，连接 OD，作OPBC垂足为 P 交O 于

13、F，此时垂线段 OP 最短，PF 最小值为OPOF，4AC，3BC，5AB 90OPB，OPAC 点 O 是 AB 的三等分点，210533OB，23OPOBACAB，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！83OP，O 与 AC 相切于点 D，ODAC，ODBC，13ODOABCAB，1OD，MN 最小值为85133OPOF，如图，当 N 在 AB 边上时，M 与 B 重合时，MN 经过圆心，经过圆心的弦最长，MN 最大值1013133，513+=633,MN 长的最大值与最小值的和是 6 故选 B 5（2017贵州中考真题）如图，在

14、矩形纸片 ABCD 中，2AB，3AD，点 E 是 AB 的中点，点 F 是 AD 边上的一个动点，将AEF沿 EF 所在直线翻折，得到A EF，则A C的长的最小值是()A132 B3 C131 D101【答案】D【详解】以点 E 为圆心，AE 长度为半径作圆，连接 CE，当点A在线段 CE 上时，AC的长取最小值，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！如图所示，根据折叠可知：1AEAEAB12 在Rt BCE中，1BEAB12，BC3，B90，22CEBEBC10，AC的最小值CEAE101 故选 D 6（2018山东省中考模拟）

15、如图，在 RtABC 中，ABC90，ACB30，BC23，ADC与ABC 关于 AC 对 称，点 E、F 分别是边 DC、BC 上的任意一点，且 DECF，BE、DF 相交于点 P，则 CP 的最小值为()A1 B3 C32 D2 【答案】D【详解】连接 AD，因为ACB30，所以BCD60，因为 CBCD，所以CBD 是等边三角形，所以 BDDC.因为 DECF，EDBFCD60，所以EDBFCD，所以EBDFDC，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！因为FDCBDF60，所以EBDBDF60，所以BPD120，所以点 P 在以

16、 A 为圆心，AD 为半径的弧 BD 上，直角ABC 中，ACB30，BC23，所以 AB2，AC4，所以 AP2.当点 A，P，C 在一条直线上时，CP 有最小值，CP 的最小值是 ACAP422.故选 D.7（2017四川中考真题）如图，在O 中，直径 CD 垂直于不过圆心 O 的弦 AB，垂足为点 N，连接 AC，点 E 在 AB 上，且 AE=CE（1）求证：AC2=AEAB；（2）过点 B 作O 的切线交 EC 的延长线于点 P，试判断 PB 与 PE 是否相等，并说明理由；（3）设O 半径为 4，点 N 为 OC 中点，点 Q 在O 上，求线段 PQ 的最小值【答案】（1）证明见解

17、析；（2）PB=PE；（3）欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！【详解】（1）如图 1，连接 BC，CD 为O 的直径，ABCD，A=ABC，EC=AE，A=ACE，ABC=ACE，A=A，AECACB，AC2=AEAB；（2）PB=PE，理由是：如图 2，连接 OB，PB 为O 的切线，OBPB，OBP=90，PBN+OBN=90，OBN+COB=90，PBN=COB，PEB=A+ACE=2A，COB=2A，PEB=COB，PEB=PBN，PB=PE；（3）如图3，N为OC的中点，ON=OC=OB，RtOBN中，OBN=30，CO

18、B=60，OC=OB，OCB 为等边三角形，Q 为O 任意一点，连接 PQ、OQ，因为 OQ 为半径，是定值 4，则PQ+OQ 的值最小时，PQ 最小，当 P、Q、O 三点共线时，PQ 最小，Q 为 OP 与O 的交点时，PQ 最小，A=COB=30，PEB=2A=60，ABP=9030=60，PBE 是等边三角形，RtOBN中，BN=，AB=2BN=，设 AE=x，则 CE=x，EN=x，RtCNE 中，x=，BE=PB=，RtOPB 中，OP=，PQ=4=则线段PQ的最小值是 8（2017浙江中考真题）如图，过抛物线上一点 A 作轴的平行线，交抛物线于另一点 B，交轴于点 C，已知点 A

19、的横坐标为（1）求抛物线的对称轴和点 B 的坐标；欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！（2）在 AB 上任取一点 P，连结 OP，作点 C 关于直线 OP 的对称点 D；连结 BD，求 BD 的最小值；当点 D 落在抛物线的对称轴上，且在轴上方时，求直线 PD 的函数表达式【答案】(1)x=4；B（10，5）（2）y=x+【详解】（1）由题意 A（2，5），对称轴 x=4，A、B 关于对称轴对称，B（10，5）（2）如图 1 中，由题意点 D 在以 O 为圆心 OC 为半径的圆上，当 O、D、B 共线时，BD 的最小值=OBOD=如

20、图 2 中，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！图 2 当点 D 在对称轴上时，在 RtODE 中，OD=OC=5，OE=4，DE=3，点 D 的坐标为（4，3）设 PC=PD=x，在 RtPDK 中，x2=（4x）2+22，x=，P（，5），直线 PD 的解析式为 y=x+类型三：动点轨迹-不确定型 考法指导 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！动点轨迹非圆或直线时，基本上将此线段转化为一个三角形中，（1）利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求最值。（2）在

21、转化较难进行时，可借助直角三角形斜边上的中线及中位线或构建全等图形进一步转化求最值。【典例精析】例题 1（2019如皋市）如图已知 的半径为 3，=8，点为 上一动点以为边作等边，则线段的长的最大值为（）A9 B11 C12 D14【答案】B【详解】解：如图，以 OP 为边向下作等边POH，连接 AH，POH，PAM 都是等边三角形，PH=PO，PA=PM，PHO=APM=60，HPA=OPM，HPAOPM（SAS），AH=OM，AHOH+AO，即 AH11，AH 的最大值为 11，则 OM 的最大值为 11.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提

22、供优质的文档！故选 B.【针对训练】技法 1：借助直角三角形斜边上的中线 1（2014全国课时练习）如图，在ABC 中，C=90，AC=4，BC=2，点 A、C 分别在 x 轴、y 轴上，当点 A 在 x 轴上运动时，点 C 随之在 y 轴上运动，在运动过程中，点 B 到原点的最大距离是（）A6 B C D【答案】D【解析】解：如图，取 CA 的中点 D，连接 OD、BD，则 OD=CD=AC=4=2，由勾股定理得，BD=2，当 O、D、B 三点共线时点 B 到原点的距离最大，所以，点 B 到原点的最大距离是 2+2 故答案为 2+2 技法 2：借助三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

23、 2（2020山东省初二期末）如图，已知等边三角形 ABC 边长为 23，两顶点 A、B 分别在欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！平面直角坐标系的 x 轴负半轴、轴的正半轴上滑动，点 C 在第四象限，连接 OC，则线段 OC长的最小值是（）A3 1 B33 C3 D3【答案】B【详解】解：如图所示：过点 C 作 CEAB 于点 E，连接 OE，ABC 是等边三角形，CE=ACsin60=32 332，AE=BE，AOB=90，EO12AB3，EC-OEOC，当点 C，O，E 在一条直线上，此时 OC 最短，故 OC 的最小值为：O

24、CCEEO33 故选 B 3（2020三明初三期中）如图，MON=90，矩形 ABCD 的顶点 A、B 分别在边 OM、ON 上，当 B 在边 ON 上运动时，A 随之在 OM 上运动，矩形 ABCD 的形状保持不变，其中 AB=4，BC=2.运动过程中点 D 到点 O 的最大距离是_ 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！【答案】2 2+2【详解】如图，取 AB 的中点 E，连接 OE、DE、OD，ODOE+DE，当 O、D、E 三点共线时，点 D 到点 O 的距离最大，此时，AB=4，BC=2，OE=AE=12AB=2，DE=22

25、ADAE=22222 2，OD 的最大值为：2 2+2，故答案为2 2+2.4（2019南昌初二期末）如图，在ABC中，90ACB，30CAB，6AB，以线段AB为边向外作等边ABD，点E是线段AB的中点，连结CE并延长交线段AD于点F.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！(1)求证：四边形BCFD为平行四边形；(2)求平行四边形BCFD的面积；(3)如图，分别作射线CM，CN，如图中ABD的两个顶点A，B分别在射线CN，CM上滑动，在这个变化的过程中，求出线段CD的最大长度.【答案】(1)证明见解析；(2)9 3；(3)333.【

26、详解】(1)在ABC中，ACB90，CAB30，ABC60，在等边ABD中，BAD60，BADABC60，E为AB的中点，AEBE，又AEFBEC，AEFBEC，在ABC中，ACB90，E为AB的中点，1CEAB2，1BEAB2，CEAE，EACECA30，BCEEBC60，又AEFBEC，AFEBCE60，又D60，AFED60，FCBD，又BADABC60，ADBC，即FDBC，四边形BCFD是平行四边形；(2)在Rt ABC中，BAC30，AB6，1BCAB32，AC 222263ABBC3 3，BCFDS3 3 39 3 平行四边形；(3)取AB的中点G，连结CG，DG，CD 欢迎您阅

27、读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！CDCGDG，CD的最大长度CGDG33 3.5（2020河北省初三期末）如图，在Rt ABC中，90ACB，将ABC绕顶点C逆时针旋转得到,A B C M是BC的中点，N是A B的中点，连接MN，若4,60BCABC，则线段MN的最大值为（）A4 B8 C4 3 D6【答案】D【详解】连接 CN，将ABC绕顶点C逆时针旋转得到A B C，=90A CBACB，460B CBCA B CABC，30A，8A B，N是A B的中点，142CNA B，在CMN 中，MNCM+CN，当且仅当 M，C，N 三点共

28、线时，MN=CM+CN=6，线段MN的最大值为 6 故选 D 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！技法 3：借助构建全等图形 6（2019广东中考模拟）如图，在ABC 中，ACB90，A30，AB5，点 P 是 AC 上的动点，连接 BP，以 BP 为边作等边BPQ，连接 CQ，则点 P 在运动过程中，线段 CQ 长度的最小值是_ 【答案】54【详解】解：如图，取 AB 的中点 E，连接 CE，PE ACB=90，A=30，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！CBE=60

29、，BE=AE，CE=BE=AE，BCE 是等边三角形，BC=BE，PBQ=CBE=60，QBC=PBE，QB=PB，CB=EB，QBCPBE（SAS），QC=PE，当 EPAC 时，QC 的值最小，在 RtAEP 中，AE=52，A=30，PE=12AE=54，CQ 的最小值为54 故答案为：54 7（2019福建省初二期中）如图，边长为 12 的等边三角形 ABC 中，M 是高 CH 所在直线上的一个动点，连结 MB，将线段 BM 绕点 B 逆时针旋转 60得到 BN，连结 HN则在点 M 运动过程中，线段 HN 长度的最小值是（）A6 B3 C2 D15【答案】B【详解】解：如图，取 BC

30、 的中点 G，连接 MG，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！旋转角为 60，MBH+HBN=60，又MBH+MBC=ABC=60，HBN=GBM，CH 是等边ABC 的对称轴，HB=12AB，HB=BG，又MB 旋转到 BN，BM=BN，在MBG 和NBH 中，BGBHMBGNBHMBNB，MBGNBH（SAS），MG=NH，根据垂线段最短，当 MGCH 时，MG 最短，即 HN 最短，此时BCH=1260=30，CG=12AB=1212=6，MG=12CG=126=3，HN=3；故选：B 技法 4：借助中位线 8（2020湖北省

31、初三）如图，在等腰直角ABC 中，斜边 AB 的长度为 8，以 AC 为直径作圆，点 P 为半圆上的动点，连接 BP，取 BP 的中点 M，则 CM 的最小值为（）欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！A3 5 B2 53 C102 D3 25【答案】C【详解】解：连接 AP、CP，分别取 AB、BC 的中点 E、F，连接 EF、EM 和 FM，EM、FM 和 EF 分别是，ABP、，CBP 和，ABC 的中位线，EM，AP，FM，CP，EF，AC，EF=12AC，EFC=180，ACB=90，AC 为直径，APC=90，即 AP，C

32、P，EM，MF，即，EMF=90，点 M 的运动轨迹为以 EF 为直径的半圆上 取 EF 的中点 O，连接 OC，点 O 即为半圆的圆心 当 O、M、C 共线时，CM 最小，如图所示，CM 最小为 CM1的长，等腰直角ABC 中，斜边 AB 的长度为 8，AC=BC=22AB=4 2，EF=12AC=2 2，FC=12BC=2 2，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！，OM1=OF=12EF=2 根据勾股定理可得 OC=2210OFFC，CM1=OCOM1=102 即 CM 最小值为102 故选 C 9（2020北京初三）如图，抛物

33、线2119yx与x轴交于AB，两点，D是以点0,4C为圆心，1为半径的圆上的动点，E是线段AD的中点，连接,OE BD，则线段OE的最小值是（）A2 B3 22 C52 D3【答案】A【详解】2119yx，当0y=时，21019x，解得：=3x，A 点与 B 点坐标分别为：(3，0)，(3，0)，即：AO=BO=3，O 点为 AB 的中点，又圆心 C 坐标为(0，4)，OC=4，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！BC 长度=2205OBC，O 点为 AB 的中点，E 点为 AD 的中点，OE 为ABD 的中位线，即：OE=12BD，D 点是圆上的动点，由图可知，BD 最小值即为 BC 长减去圆的半径，BD 的最小值为 4，OE=12BD=2，即 OE 的最小值为 2，故选：A.