常微分方程(王高雄)第三版 2.1.ppt

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1、第二章一阶微分方程的初等解法2.1 变量分离方程与变量变换变量分离方程与变量变换先看例子：定义1形如方程,称为变量分离方程.一、变量分离方程的求解一、变量分离方程的求解这样变量就“分离”开了.例：分离变量:两边积分:注:例2求微分方程的所有解.解:积分得:故方程的所有解为:例3求微分方程解:将变量分离后得两边积分得:由对数的定义有即故方程的通解为解:分离变量后得两边积分得:整理后得通解为:练习求微分方程的通解.例4解:两边积分得:因而通解为:再求初值问题的通解,所以所求的特解为:二、可化二、可化为变量分离方程量分离方程类型型（I）齐次方程次方程(I)形如方程称为齐次方程,求解方法:例4求解方程

2、解:方程变形为这是齐次方程,即将变量分离后得两边积分得:即代入原来变量,得原方程的通解为例6求下面初值问题的解解:方程变形为这是齐次方程,将变量分离后得两边积分得:整理后得变量还原得故初值问题的解为(II)形如的方程可经过变量变换化为变量分离方程.分三种情况讨论为齐次方程,由(I)可化为变量分离方程.这就是变量分离方程作变量代换(坐标变换)则方程化为为(1)的情形,可化为变量分离方程求解.解的步骤:例7求微分方程的通解.解:解方程组将变量分离后得两边积分得:变量还原并整理后得原方程的通解为注:上述解题方法和步骤适用于更一般的方程类型.此外,诸如以及火箭是如何发射升空的？设t时刻火箭的速度为V(t),质量为M(t),准备发射时火箭的质量为Mo,火箭马达喷气速度为u根据动量守恒动量守恒定律-MdV=udM三、三、应用用举例例方程被称为齐奥尔科夫斯基方程齐奥尔科夫斯基方程，用它可以计算火箭的到达速度。