XXXX秋季第8讲垂直机械制图北京航空航天大学出版社.ppt

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1、3.3 垂直问题垂直问题 Perpendicularity 如果直线垂直于平面内的任意两条相如果直线垂直于平面内的任意两条相交直线，则与该平面垂直。反之，如果直交直线，则与该平面垂直。反之，如果直线与平面垂直，则与平面内的任意直线垂线与平面垂直，则与平面内的任意直线垂直。直。A line is perpendicular to a plane if it is perpendicular to at least two nonparallel lines in a plane.Also,a line perpendicular to all lines in a plane if it is

2、perpendicular to that plane.要讨论的问题要讨论的问题Problems to be solved：过点作直线与平面垂直。过点作直线与平面垂直。Construct line through a given point perpendicular to a plane.过点作平面与直线垂直。过点作平面与直线垂直。Construct plane through a given point perpendicular to a line.一、直线与平面垂直一、直线与平面垂直 Perpendicularity of line and plane2021/9/231直线与平面垂直

3、直线与平面垂直Line perpendicular to plane直线垂直于平面内的直线垂直于平面内的一对相交直线一对相交直线（一切直线）（一切直线）Line is perpendicular to two intersecting lines in plane(all lines in that plane)Pp p相交主直线相交主直线2021/9/232N N P PL1L1 N(N(相交相交 intersectingintersecting)L2L2 N(N(交叉交叉 SkewSkew)N-N-法线法线 Normal of the planeNormal of the plane性质性

4、质Characteristics:P P面所有直线垂直于面所有直线垂直于N N All lines in P are perpendicular to N过过N N的所有平的所有平面垂直于面垂直于P AllP All Planes containing N are perpendicular to P 平面的坡角与法线的倾角互余平面的坡角与法线的倾角互余(p+N=90)O OX XY YZ ZH HV VL L1 1W WP PL L2 2L L3 3N N2021/9/233主直线平面主直线平面 Main lines plane平面用一对相交主直线表示平面用一对相交主直线表示Plane de

5、fined by a pair of intersecting linesll1 ll1ll2 ll2a an nn 正平线的正平线的V投影投影n ll1 n 水平线的水平线的H投影投影n ll2平面以其他形式表示平面以其他形式表示Plane defined by other methods2021/9/234p pl ll1 l1L L与与P P平面不垂直平面不垂直L is not perpendicular to PL1L1与与P P平面垂直平面垂直L is perpendicular to P例例1 :L,L11 :L,L1与平面与平面P P垂直吗？垂直吗？L P?L1 P?用一对相交主

6、直线来判断用一对相交主直线来判断Determine by a pair intersecting main lines2021/9/235例例2：过点：过点A作直线垂直于作直线垂直于DEF。Construct line through point A perpendicular to DEFd e f defaa 1 1b b2 2注意：不是垂足注意：不是垂足的正面投影的正面投影 This is not the frontal projection of perpendicular foot.注意：不是垂足的注意：不是垂足的平面投影平面投影This is not the Horizontal

7、projection of perpendicular foot.求出直线求出直线AB对对DEF的穿点才是垂的穿点才是垂足足The piercing point of line AB and DEF is the perpendicular foot.2021/9/236例例3 过定点过定点A作直线作直线L的垂面的垂面PConstruct plane P through given point A perpendicular to line L.p pl lLPa aA2021/9/237应用应用:求距离问题求距离问题Application:Problems of distance1)点到平面

8、的距离点到平面的距离 distance between point and plane2)平行面间的距离平行面间的距离distance between two planes步骤步骤Steps:1.过定点作面的垂线过定点作面的垂线 (Construct line through given point perpendicular to plane)2.求垂线对面的穿点求垂线对面的穿点-积聚性法或辅助积聚性法或辅助平面法平面法 (Find piercing point of perpendicular line and plane -Collecting method or Auxiliary p

9、lane method)3.求定点到穿点的实长求定点到穿点的实长-直角三角形法直角三角形法 (True length of distance between given point and piercing point.-Right triangle method)AAKKPPQ2021/9/238二、两平面垂直二、两平面垂直 Perpendicularity of two planes定理一：定理一：Theorem one 如果一个平面过另一个平面的任意一条如果一个平面过另一个平面的任意一条垂线，则这两个平面垂直。垂线，则这两个平面垂直。Two planes are perpendicula

10、r if one contains a perpendicular line of the other one.定理二：定理二：Theorem two 如果两平面垂直，那么过第一个平面内如果两平面垂直，那么过第一个平面内一点作第二个平面的垂线必在第一个平面内。一点作第二个平面的垂线必在第一个平面内。If two planes are perpendicular,line through a point of one plane and perpendicular to another plane must lies in the first plane.2021/9/239(1)几何条件几何条

11、件 Geometry condition(2)投影作图投影作图 ProjectionNQ1Q2Q3P 两平面互相垂直两平面互相垂直,则其中一个平则其中一个平面必经过面必经过(或平行于或平行于)另一个平面的垂另一个平面的垂线。线。If two planes are perpendicular,one plane must contain line perpendicular to another the other plane.过过A点作平面点作平面Q垂直垂直于平面于平面P。Construct plane Q through point A perpendicular to plane PAa

12、ap pnn q q2021/9/2310例例4：过点：过点A作平面垂直于作平面垂直于DEF。Construct plane through point A perpendicular to DEFd e f defaa 解法一：解法一：Solution method one:过点过点A作作DEF的垂线。的垂线。Construct line perpendicular to DEF 过垂线任作一平面即为所过垂线任作一平面即为所求。求。Construct a plane containing that perpendicular line.1 1b bc c2 22021/9/2311d e f

13、 defaa 解法二：解法二：Solution method two:在在DEF上任取一上任取一直线，比如直线，比如DF。Select a line in DEF arbitrarily such as DF.过过A点作点作DF的垂面的垂面即为所求。即为所求。Construct plane through point A perpendicular to DFb bc c2021/9/2312 三、三、直线与直线垂直直线与直线垂直 Perpendicularity between lines(1)几何条件几何条件Geometry condition(2)投影作图投影作图ProjectionNP

14、 两直线互相垂直两直线互相垂直,则必有则必有一线在另一直线的垂面上一线在另一直线的垂面上(或或平行于另一直线的垂面）平行于另一直线的垂面）It two lines are perpendicular,one must lie in the perpendicular plane of the other one.过直线过直线L上上A点作垂线点作垂线 Construct line through point A perpendicular to LL2与与L是是什么位置什么位置关系？关系？The relative position of L2 and L?a KQPL1L2NP L1 L1 P

15、或或 L2/Pall llp pll1 ll1ll2 ll2 2021/9/2313作业作业Homework：P24P24P25P25-7,8,9-7,8,9复习复习refer to textbook：P152-P157P152-P1572021/9/23143.4 3.4 综合问题综合问题Synthetical Problems 综合作图题综合作图题是指点、线、面等几何元素及其是指点、线、面等几何元素及其相互关系同时出现于问题之中，并且对问题的解相互关系同时出现于问题之中，并且对问题的解答，要求满足的条件较多，需要进行综合分析。答，要求满足的条件较多，需要进行综合分析。常用的求解方法有：常用

16、的求解方法有：正推法：正推法：从正面入手进行分析推理。从正面入手进行分析推理。反推法：反推法：假定问题已解，再反推回去，找假定问题已解，再反推回去，找出问题的相互联系或条件，从而得到解题的途径。出问题的相互联系或条件，从而得到解题的途径。交轨法：交轨法：分析满足条件的几何元素各自的分析满足条件的几何元素各自的空间轨迹，然后求得可以同时满足所求条件的几空间轨迹，然后求得可以同时满足所求条件的几何元素或关系，从而得到解题的途径。何元素或关系，从而得到解题的途径。一、点线面综合作图题一、点线面综合作图题2021/9/2315例例1：过点：过点A作一条直线，使其与直线作一条直线，使其与直线BC垂直相交

17、。垂直相交。Construct a line through point A,required to be perpendicular to and intersecting with line BCa ac b cbe ef fk k 过点过点A作一主直线平面作一主直线平面 AEF与直线与直线BC垂直。垂直。Construct main lines AE and AF perpendicular to line BC1 12 2 作出直线作出直线BC对平面对平面AEF的穿点的穿点K。Find piercing point K of line BC and AEF 直线直线AK在直线在直线BC

18、的垂的垂面上，故面上，故AKBC，又，又K点在直线点在直线BC上，故直线上，故直线AK为所求。为所求。Line AK meets the requirements2021/9/2316例例2：已知等腰三角形：已知等腰三角形ABC的底边的底边AB的的V投影投影a b 平行于平行于X轴，轴，AC边的边的V、H投影投影a c、ac已知，试完成该等腰三角形的已知，试完成该等腰三角形的H面投影。面投影。Given:AB is the bottom edge of isoceles triangle ABC,a b XX.Reqd:Complete the H projection of ABCcac a

19、 b b分析：分析：假设等腰三角形假设等腰三角形ABC的底边的底边AB上的高为上的高为CD，因为，因为AB为水平线为水平线，故故cdab，又，又H为为AB的中点，根据的中点，根据定比性可知定比性可知ad=bd，因此，因此adcbdc。结论：结论：ac=bcCD Supposed to be the height line of AB,and AB H cdabAD=BD ad=bd adcbdcConclusion:ac=ab 2021/9/2317例例3：在平面：在平面DEF上求一点上求一点K与已知三点与已知三点A、B、C等距，其中等距，其中A点点和和C点的点的Z坐标相等。坐标相等。Find

20、 a point K in plane DEF,required to be equidistant from points A,B and C(AC H)bb aa fedf e d cc qq p1 12 2k k2021/9/2318例例4：已知三条直线：已知三条直线CD、EF、GH，要求作一直线，要求作一直线AB平行于平行于CD，且与，且与EF、GH相交。相交。Given:Three lines CD,EF and GH.Reqd:Construct a line AB,let ABCD,and intersecting EF and GH.c d e f g h cdefghaa b

21、b pp 2021/9/2319例例5：已知一直角：已知一直角ABC，其中，其中AB为一直角边，为一直角边，另一直角边另一直角边AC平行于正垂面平行于正垂面P，且，且C点距离点距离V面面20mm，试完成该三角形的，试完成该三角形的V、H投影。投影。Given:Right angle edge AB of ABC,other right angle edge AC is parallel to V-perpendicular plane P,point C is 20mm from V plane.Reqd:complete the V and H projections of ABC20mmc

22、c k kp b ba a2021/9/2320例例6：过已知点：过已知点A求作一直线求作一直线AB，使与已，使与已知二交叉直线知二交叉直线L1、L2相交（相交（P26-1）。）。Through given point A construct a line AB to be intersecting with two skew lines L1 and L2.aa l1 l2 l1l2交轨法交轨法intersection of tracks：1.1.过过A A点与点与L L1 1相交的直线相交的直线的轨迹；的轨迹；2.The track of lines through point A and

23、 intersecting with L12.2.过过A A点与点与L2L2相交的直相交的直线的轨迹线的轨迹;The track of lines through point A and intersecting with L23.3.两轨迹的交集；两轨迹的交集；The intersection of two tracks2021/9/2321aa l1 l2 l1l2b bp p反推法反推法Reverse inference：假设此直线假设此直线AB已作出，已作出，只限与只限与L1相交，组成平面相交，组成平面P即即A点与点与L1组成的平组成的平面面P。Assuming that line A

24、B intersecting with line L1 had been found,then the plane which AB and L1 define should be the plane which L1 and point A define.AB在在P面内，同时又面内，同时又与与L2相交，交点必为相交，交点必为P面面与与L2 的公共点的公共点穿点。穿点。ABP and intersecting with L2 which means the intersection point should be the piercing point of L2 and P例例6：过已知点：过

25、已知点A求作一直线求作一直线AB，使与，使与已知二交叉直线已知二交叉直线L1、L2相交（相交（P26-1）。）。Through given point A construct a line AB to be intersecting with two skew lines L1 and L2.2021/9/2322例例7：过已知点：过已知点A求作一直线求作一直线AB，使与已知二交叉直线，使与已知二交叉直线L1、L2垂直（交叉垂直）（垂直（交叉垂直）（P27-8）。）。Through given point A construct a line AB to be perpendicular to

26、 two skew lines L1 and L2p p交轨法？交轨法？aa l1 l2 l1l2提示：提示：垂直垂直只是方只是方向问题，与几何元素向问题，与几何元素的具体位置无关。的具体位置无关。Key:Perpendicularity is a characteristic of direction which has nothing to do with the practical positions of the geometric elements l1题目转换为：题目转换为：过过A点作点作P平面的垂线。平面的垂线。Problem transformed to:Through point A construct line perpendicular to plane P2021/9/2323作业：作业：P26,27,28复习：复习：P157-P1602021/9/2324