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1、学习张量必看一个文档学会张量张量分析 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望目 录 引言 张量的基本概念，爱因斯坦求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商法则 常用特殊张量，主方向与主分量 张量函数及其微积分Appendix A引 言u 广义相对论（1915）、理论物理u 连续介质力学（固体力学、流体力学）u 现代力学的大部分文献都采用张量表示主要参考书:W.Flugge,Tensor Analysis an

2、d Continuum Mechanics,Springer,1972.黄克智等，张量分析，清华大学出版社，2003.张量基本概念标标 量量（零阶张量）（零阶张量）例如：质量，温度例如：质量，温度质量密度质量密度应变能密度应变能密度等等。等等。其值与坐标系选取无关。其值与坐标系选取无关。张量基本概念矢矢 量量（一阶张量）（一阶张量）例如：位移，速度，例如：位移，速度，加速度，力，加速度，力，法向矢量法向矢量,等等。等等。矢矢 量量（一阶张量）（一阶张量）矢量矢量u在笛卡尔坐标系中分解为在笛卡尔坐标系中分解为其中其中u1,u2,u3 是是u的三个分量，的三个分量，e1,e2,e3是单位基矢量。是

3、单位基矢量。张量基本概念矢矢 量量（一阶张量）（一阶张量）n既有既有大小大小又有又有方向性方向性的物理量的物理量;n其分量与坐标系选取有关，满其分量与坐标系选取有关，满足坐标转换关系；足坐标转换关系；n 遵从相应的矢量运算规则。遵从相应的矢量运算规则。张量基本概念矢矢 量量(可推广至张量可推广至张量)的三种记法：的三种记法：实体记法实体记法：u 分解式记法分解式记法：分量记法分量记法：Appendix A.1张量基本概念Appendix A.1张量基本概念指标符号用法1.三维空间中任意点三维空间中任意点 P 的坐标（的坐标（x,y,z）可缩写成可缩写成 xi,其中其中x1=x,x2=y,x3=

4、z。2.两个矢量两个矢量 a 和和 b 的分量的的分量的点积点积(或称或称数量积数量积)为：为：爱因斯坦求和约定 如果在表达式的某项中，某指标重复地出现两次，如果在表达式的某项中，某指标重复地出现两次，则表示要把该项在该指标的取值范围内遍历求和。则表示要把该项在该指标的取值范围内遍历求和。该重复的指标称为该重复的指标称为哑指标哑指标，简称，简称哑标哑标。张量基本概念 由于由于aibi=biai，即矢量点积的顺序可以交换：，即矢量点积的顺序可以交换：由于哑标由于哑标 i 仅表示要遍历求和，故可成对地任意交换。仅表示要遍历求和，故可成对地任意交换。例如例如：只要指标只要指标 j 或或 m 在同项内

5、仅出现两次，且取值范围在同项内仅出现两次，且取值范围和和 i 相同。相同。张量基本概念约定：如果不标明取值范围，则拉丁指标如果不标明取值范围，则拉丁指标 i,j,k,表示三维指标，取值表示三维指标，取值1,2,3；希腊指标希腊指标,均为二维指标，取值均为二维指标，取值1,2。张量基本概念 拉丁指标拉丁指标 希腊指标希腊指标张量基本概念二阶张量二阶张量应变应变，应力，速度梯度，变形梯度，等。，应力，速度梯度，变形梯度，等。三阶张量三阶张量压电张量，等。压电张量，等。四阶张量四阶张量弹性张量，等。弹性张量，等。张量基本概念二阶（或高阶）张量的来源二阶（或高阶）张量的来源 描述一些复杂的物理量需要二

6、阶（或高阶）张量；描述一些复杂的物理量需要二阶（或高阶）张量；低阶张量的梯度；低阶张量的梯度；低阶张量的并积；低阶张量的并积；更高阶张量的缩并，等。更高阶张量的缩并，等。张量基本概念应力张量应力张量张量基本概念张量的三种记法：张量的三种记法：实体记法实体记法：分解式记法分解式记法：分量记法分量记法：张量基本概念张量基本概念爱因斯坦求和约定爱因斯坦求和约定采用指标符号后，线性变换表示为采用指标符号后，线性变换表示为利用爱因斯坦求和约定，写成：利用爱因斯坦求和约定，写成：其中其中 j 是哑指标，是哑指标，i 是自由指标。是自由指标。张量基本概念 在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得在表达式

7、或方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项内出现两次，若在同项内出现两次则是哑指在同项内出现两次，若在同项内出现两次则是哑指标。例：标。例：若若i为自由指标为自由指标张量基本概念自由指标表示：若轮流取该指标范围内的任何值，自由指标表示：若轮流取该指标范围内的任何值，关系式将始终成立。关系式将始终成立。例如：表达式例如：表达式 在自由指标在自由指标 i 取取1，2，3时该式始终成立，即有时该式始终成立，即有张量基本概念同时取值的自由指标必须同名，独立取值的自由指同时取值的自由指标必须同名，独立取值的自由指标应防止重名。标应防止重名。自由指标必须整体换名，即把方程或表达式中出现自由指标必须整体换名

8、，即把方程或表达式中出现的同名自由指标全部改成同一个新名字。的同名自由指标全部改成同一个新名字。i 换成换成k张量基本概念指标符号也适用于微分和导数表达式。例如，三维空指标符号也适用于微分和导数表达式。例如，三维空间中线元长度间中线元长度 ds 和其分量和其分量 dxi 之间的关系之间的关系可简写成：可简写成：场函数场函数 f(x1,x2,x3)的全微分：的全微分：张量基本概念24可用同项内出现两对可用同项内出现两对(或几对或几对)不同哑指标的方法来不同哑指标的方法来表示多重求和。表示多重求和。例如：例如：若要对在同项内出现两次以上的指标进行遍历求和，若要对在同项内出现两次以上的指标进行遍历求

9、和，一般应加求和号。如：一般应加求和号。如：张量基本概念25一般说不能由等式一般说不能由等式两边消去两边消去ai导得导得但若但若ai可以任意取值等式始终成立，则可以通过取特可以任意取值等式始终成立，则可以通过取特殊值使得上式成立。殊值使得上式成立。张量基本概念26小结通过通过哑指标哑指标可把许多可把许多项项缩写成一项，通过缩写成一项，通过自自由指标由指标又把许多又把许多方程方程缩写成一个方程。缩写成一个方程。一般说，在一个用指标符号写出的方程中，一般说，在一个用指标符号写出的方程中，若有若有 k 个独立的自由指标，其取值范围是个独立的自由指标，其取值范围是1n，则这个方程代表了则这个方程代表了

10、n k 个分量方程。在方程的某项个分量方程。在方程的某项中若同时出现中若同时出现 m 对取值范围为对取值范围为1n 的哑指标，则的哑指标，则此项含相互迭加的此项含相互迭加的 n m 个项。个项。张量基本概念27目 录Appendix A 引言 张量的基本概念，爱因斯坦求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商法则 常用特殊张量，主方向与主分量 张量函数及其微积分28符号ij 与erstij 符号(Kronecker delta)定义定义(笛卡尔坐标系笛卡尔坐标系)(i,j=1,2,n)特性特性1.对称性，由定义可知指标对称性，由定义可知指标 i 和

11、和 j 是对称的，即是对称的，即293.换标符号，具有换标作用。例如：换标符号，具有换标作用。例如：2.ij 的分量集合对应于的分量集合对应于单位矩阵单位矩阵。例如在三维空间。例如在三维空间即：如果符号即：如果符号 的两个指标中，有一个和同项中其它的两个指标中，有一个和同项中其它因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标换成因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标换成 的另一个指标，而的另一个指标，而 自动消失。自动消失。符号ij 与erst30 类似地有类似地有符号ij 与erst31 erst 符号(排列符号或置换符号，Eddington)定义定义(笛卡尔坐标系笛卡尔坐标系)当当r,s,

12、t为正序排列时为正序排列时当当r,s,t为逆序排列时为逆序排列时当当r,s,t中两个指标值相同时中两个指标值相同时(1,2,3)及其轮流换位得到的及其轮流换位得到的(2,3,1)和和(3,1,2)称为称为正序排列正序排列。(3,2,1)及其轮流换位得到的及其轮流换位得到的(2,1,3)和和(1,3,2)称为称为逆序排列逆序排列。或或符号ij 与erst32 特性特性1.共有共有27个元素，其中三个元素为个元素，其中三个元素为1，三个元素为，三个元素为-1，其余的元素都是，其余的元素都是02.对其任何两个指标都是对其任何两个指标都是反对称反对称的，即的，即3.当三个指标轮流换位时当三个指标轮流换

13、位时(相当于指标连续对换两次相当于指标连续对换两次)，erst的值不变的值不变 符号ij 与erst33 常用实例常用实例1.三个相互正交的单位基矢量构成正交标准化基。三个相互正交的单位基矢量构成正交标准化基。它具有如下重要性质：它具有如下重要性质：每个基矢量的模为每个基矢量的模为1，即，即ei ej1(当当ij时时)不同基矢量互相正交，即不同基矢量互相正交，即ei ej0(当当ij时时)上述两个性质可以用上述两个性质可以用ij 表示统一形式：表示统一形式：ei ej ij符号ij 与erst34 当三个基矢量当三个基矢量ei,ej,ek 构成右手系时，有构成右手系时，有 而对于左手系，有：而

14、对于左手系，有：符号ij 与erst352.矢量的矢量的点积点积：3.矢量的矢量的叉积叉积(或称矢量积或称矢量积)：n 如果没有特殊说明，我们一般默认为右手系。如果没有特殊说明，我们一般默认为右手系。符号ij 与erst36叉积的几何意义是叉积的几何意义是“面元面元矢量矢量”，其大小等于由矢，其大小等于由矢量量 a 和和 b 构成的平行四边形构成的平行四边形面积，方向沿该面元的法面积，方向沿该面元的法线方向。线方向。符号ij 与erst37符号ij 与erst38三个矢量三个矢量a,b,c的的混合积混合积是一个标量，其定义为：是一个标量，其定义为：符号ij 与erst若若交交换换混混合合积积中

15、中相相邻邻两两个个矢矢量量的顺序，混合积的值反号。的顺序，混合积的值反号。当当a,b,c构构成成右右手手系系时时，混混合合积积表表示示这这三三个个矢矢量量所所构构成成的的平平行行六六面面体体体体积积。若若构构成成左左手手系系，则为体积的负值。则为体积的负值。39由此可见符号由此可见符号ij 和和 erst 分别与矢量代数中的点积和叉分别与矢量代数中的点积和叉积有关。积有关。利用利用(1)和和(2)式有式有符号ij 与erst404.三阶行列式的值三阶行列式的值符号ij 与erst41符号ij 与erst4.三阶行列式的值三阶行列式的值42符号ij 与erst4.三阶行列式的值三阶行列式的值43

16、5.e-恒等式，其一般形式为：恒等式，其一般形式为：即即退化形式为：退化形式为：符号ij 与erst441.平衡方程平衡方程：如何用张量改写弹性力学基本方程？45xyz2.几何方程几何方程：如何用张量改写弹性力学基本方程？463.本构方程（各向同性材料）本构方程（各向同性材料）：如何用张量改写弹性力学基本方程？提示：可以用到 kk 和 ij ij=2 ij G=E/2(1+)474.变形协调方程（平面应变）变形协调方程（平面应变）：如何用张量改写弹性力学基本方程？提示：二维指标为希腊字母,，取值1,2。48目 录Appendix A 引言 张量的基本概念，爱因斯坦求和约定 符号ij与erst

17、坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商法则 常用特殊张量，主方向与主分量 张量函数及其微积分49坐标与坐标转换笛卡尔坐标系笛卡尔坐标系(单位直角坐标系单位直角坐标系)50 笛卡尔坐标系笛卡尔坐标系(单位直角坐标系单位直角坐标系)坐标变化时，矢径的变化为坐标变化时，矢径的变化为 坐标与坐标转换51 任意坐标系任意坐标系坐标变化时，矢径的变化为坐标变化时，矢径的变化为 坐标与坐标转换52 概念概念 坐标线坐标线 当一个坐标任意变化而另两个坐标保持不变时，当一个坐标任意变化而另两个坐标保持不变时，空间点的轨迹，过每个空间点有三根坐标线。空间点的轨迹，过每个空间点有三根坐标线。基矢

18、量基矢量 矢径对坐标的偏导数定义的三个基矢量矢径对坐标的偏导数定义的三个基矢量gi 坐标与坐标转换53 参考架参考架空间每点处有三个基矢量，它们组成一个参考架或空间每点处有三个基矢量，它们组成一个参考架或称坐标架。任何具有方向性的物理量都可以对其相称坐标架。任何具有方向性的物理量都可以对其相应作用点处的参考架分解。应作用点处的参考架分解。对笛卡尔坐标系：对笛卡尔坐标系：坐标与坐标转换54三个相互正交的单位基矢量三个相互正交的单位基矢量ei构成构成正交标准化基正交标准化基坐标与坐标转换55 欧氏空间中的一般坐标系欧氏空间中的一般坐标系p 现在的坐标线可能现在的坐标线可能不再正交不再正交；p 不同

19、点处的坐标线可能不同点处的坐标线可能不再平行不再平行；p 基矢量的基矢量的大小和方向大小和方向都可能随点而异；都可能随点而异；p 各点处的参考架各点处的参考架不再是正交标准化基不再是正交标准化基。坐标与坐标转换56 坐标转换坐标与坐标转换57将新基将新基 对老基对老基 分解：分解：转换系数：转换系数：反之：反之：坐标与坐标转换58向新坐标轴向新坐标轴 投影，即用投影，即用 点点乘上式两边，则左边：乘上式两边，则左边：右边：右边：坐标与坐标转换59由上述两式可得新坐标用老坐标表示的表达式由上述两式可得新坐标用老坐标表示的表达式 经过类似推导可得经过类似推导可得老坐标用新坐标表示的表达式老坐标用新

20、坐标表示的表达式 坐标与坐标转换60坐标转换的矩阵形式坐标转换的矩阵形式(设新老坐标原点重合设新老坐标原点重合)坐标与坐标转换61 坐标转换的一般定义坐标转换的一般定义设在三维欧氏空间中任选两个新、老坐标系，设在三维欧氏空间中任选两个新、老坐标系，和和 是同一空间点是同一空间点P的新、老坐标值，则方程组的新、老坐标值，则方程组定义了由老坐标到新坐标的坐标转换，称定义了由老坐标到新坐标的坐标转换，称正转换正转换。其逆变换为其逆变换为对对(*)式微分式微分(*)坐标与坐标转换62处处不为零，则存在相应的逆变换，即可反过来用处处不为零，则存在相应的逆变换，即可反过来用 唯一确定唯一确定其系数行列式其

21、系数行列式(雅克比行列式雅克比行列式)坐标与坐标转换63容许转换容许转换 由单值、一阶偏导数连续、且由单值、一阶偏导数连续、且 J 处处处处不为零的转换函数所实现的坐标转换不为零的转换函数所实现的坐标转换正常转换正常转换 J 处处为正，把右手系转换右手系处处为正，把右手系转换右手系反常转换反常转换 J 处处为负，把右手系转换成左手系处处为负，把右手系转换成左手系坐标与坐标转换64目 录Appendix A 引言 张量的基本概念，爱因斯坦求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商法则 常用特殊张量，主方向与主分量 张量函数及其微积分65 张量的分量转

22、换规律 张量张量，都不会因人为选择不同参考坐标系而改变其，都不会因人为选择不同参考坐标系而改变其固有性质，然而固有性质，然而其分量的值则与坐标选择密切相关其分量的值则与坐标选择密切相关。所以，张量的分量在坐标转换时应满足一定的规律，所以，张量的分量在坐标转换时应满足一定的规律，以保证其以保证其坐标不变性坐标不变性。张量的分量转换规律66 标量分量转换规律标量分量转换规律设一个标量在新、老坐标系中的值为设一个标量在新、老坐标系中的值为t 和和t ，则，则 矢量分量转换规律矢量分量转换规律 张量的分量转换规律67 张量分量转换规律张量分量转换规律即即张量的分量转换规律69高阶张量的分量满足如下转换

23、规律高阶张量的分量满足如下转换规律张量的分量转换规律70 张量方程 定义定义 每项都由张量组成的方程称为每项都由张量组成的方程称为张量方程张量方程。特性特性 具有与具有与坐标选择无关坐标选择无关的重要性质，可用于的重要性质，可用于描述客观物理现象的固有特性和普遍规律。描述客观物理现象的固有特性和普遍规律。张量的分量转换规律72目 录 引言 张量的基本概念，爱因斯坦求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商法则 常用特殊张量，主方向与主分量 张量函数及其微积分73张量代数&商判则 相相 等等若两个张量若两个张量 和和 相等相等则对应分量相等则对应分量

24、相等若两个张量在某个坐标系中的对应分量相等，若两个张量在某个坐标系中的对应分量相等，则它们在任何其他坐标系中对应分量也相等。则它们在任何其他坐标系中对应分量也相等。74 和、差和、差两个同阶张量两个同阶张量 与与 之和之和(或差或差)是另一个同阶张量是另一个同阶张量其分量关系为其分量关系为张量代数&商判则75 数数 积积张量张量A和一个数和一个数(或标量函数或标量函数)相乘得另一同相乘得另一同维同阶张量维同阶张量T其分量关系为其分量关系为张量代数&商判则76 并并 积积两个同维不同阶（或同阶）张量两个同维不同阶（或同阶）张量 A 和和 B 的并积的并积 T是一个阶数等于是一个阶数等于 A、B

25、阶数之和的高阶张量。阶数之和的高阶张量。设设则则其分量关系为其分量关系为注意：注意：张量代数&商判则77 缩缩 并并若对基张量中的任意两个基矢量求点积，在若对基张量中的任意两个基矢量求点积，在张量将缩并为低二阶的新张量。张量将缩并为低二阶的新张量。其分量关系为其分量关系为张量代数&商判则78若在基张量中取不同基矢量的点积，则缩并的结若在基张量中取不同基矢量的点积，则缩并的结果也不同。例如若果也不同。例如若张量代数&商判则 缩缩 并并79 内内 积积并积加缩并运算称为内积。例如并积加缩并运算称为内积。例如 和和 的一种内积是的一种内积是其分量关系为其分量关系为张量代数&商判则80 点点 积积前张

26、量前张量 A 的最后基矢量与后张量的最后基矢量与后张量 B 的第一基的第一基矢量缩并的结果，记为矢量缩并的结果，记为 ，是最常用的一，是最常用的一种内积。种内积。两个二阶张量的点积相当于矩阵乘法。两个二阶张量的点积相当于矩阵乘法。张量代数&商判则81对前、后张量中两对近挨着的基矢量缩并的结对前、后张量中两对近挨着的基矢量缩并的结果称为双点积，共有两种：果称为双点积，共有两种：并双点积并双点积 串双点积串双点积张量代数&商判则 双点积双点积82 并并 矢矢把把 K 个独立矢量并写在一起称为并矢量，它个独立矢量并写在一起称为并矢量，它们的并积是一个们的并积是一个 K 阶张量。阶张量。矢量的并积不服

27、从交换律，并矢量中各矢量的顺序不得任意调换。矢量的并积不服从交换律，并矢量中各矢量的顺序不得任意调换。张量代数&商判则83和任意矢量的内积（包括点积）为和任意矢量的内积（包括点积）为 K-1 阶张阶张量的量一定是个量的量一定是个 K 阶张量。阶张量。一个一个 K 阶张量连续地和阶张量连续地和 n 个任意矢量求内积，个任意矢量求内积，其缩并的结果是一个其缩并的结果是一个 K-n 阶张量。阶张量。张量代数&商判则 商判则商判则84OperationNumber of order并并 积积差差 乘乘 -1点点 乘乘 -2双点乘双点乘 -4张量乘法运算和结果的阶数张量乘法运算和结果的阶数张量乘法运算和

28、结果的阶数张量乘法运算和结果的阶数85目 录 引言 张量的基本概念，爱因斯坦求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商法则 常用特殊张量，主方向与主分量 张量函数及其微积分86特殊张量，主方向与主分量u 常用特殊张量 零零 张张 量量 则：则：87 单位张量单位张量 笛卡尔坐标系中分量为笛卡尔坐标系中分量为ij的二阶张量的二阶张量 I，即，即单位张量和任意张量的点积就等于该张量本身：单位张量和任意张量的点积就等于该张量本身：I aa，I AA特殊张量，主方向与主分量88特殊张量，主方向与主分量 球形张量球形张量主对角分量为主对角分量为 ，其余分量为

29、零的二阶张量。它是其余分量为零的二阶张量。它是数数 与单位张量的数积。即与单位张量的数积。即89 转置张量转置张量对于二阶张量对于二阶张量 ，由对换分量指标而基矢，由对换分量指标而基矢量顺序保持不变所得到的新张量量顺序保持不变所得到的新张量称为张量称为张量 T 的转置张量。的转置张量。特殊张量，主方向与主分量90 对称张量对称张量 反对称张量反对称张量特殊张量，主方向与主分量91任意二阶张量任意二阶张量 T 均可分解为对称张量均可分解为对称张量 S 和反对称张量和反对称张量 A 之和：之和：特殊张量，主方向与主分量 加法分解加法分解93任意二阶对称张量任意二阶对称张量 S 均可分解为球形张量均

30、可分解为球形张量 P 和偏斜和偏斜张量张量 D 之和：之和：其中其中 特殊张量，主方向与主分量 偏斜张量偏斜张量 94笛卡尔系中以笛卡尔系中以erst为分量的三阶张量，又称为分量的三阶张量，又称排列张量排列张量特殊张量，主方向与主分量 置换张量置换张量 96所有分量均不因坐标转换而改变的张量。所有分量均不因坐标转换而改变的张量。例如：单位张量例如：单位张量I、球形张量、置换张量等。、球形张量、置换张量等。标量是零阶的各向同性张量，而矢量则不是各向标量是零阶的各向同性张量，而矢量则不是各向同性的。同性的。特殊张量，主方向与主分量 各向同性张量各向同性张量97u 主方向与主分量二阶张量可定义为一种

31、由矢量二阶张量可定义为一种由矢量 a 到矢量到矢量 b 的线的线性变换，即性变换，即一般说，矢量一般说，矢量 a 与与 b 并不同向。对于给定的任并不同向。对于给定的任意二阶张量意二阶张量 T 能否找到某个矢量能否找到某个矢量 ，它在线性变，它在线性变换后能保持方向不变，即换后能保持方向不变，即 或或特殊张量，主方向与主分量98其中其中是标量。上式是求是标量。上式是求 j 的线性齐次代数方程组，的线性齐次代数方程组，存在非零解的充分必要条件存在非零解的充分必要条件是系数行列式为零是系数行列式为零特殊张量，主方向与主分量99这是关于这是关于的特征方程；其中的特征方程；其中是是Tij的主对角分量之

32、和，称为张量的主对角分量之和，称为张量 T 的迹，记作的迹，记作trT是矩阵是矩阵Tij的二阶主子式之和。的二阶主子式之和。特殊张量，主方向与主分量100是矩阵的行列式，记作是矩阵的行列式，记作detT。特征方程的三个特征根称为张量特征方程的三个特征根称为张量T 的的主分量主分量。当。当T是实对称张量时，存在三个实特征根是实对称张量时，存在三个实特征根 特殊张量，主方向与主分量101由特征方程求特征根：由特征方程求特征根：由每个由每个(k)分别求特征方向：分别求特征方向：方向矢量方向矢量 j(k)特殊张量，主方向与主分量102由上述方法求得的三个单位矢量由上述方法求得的三个单位矢量(k)j(k

33、)ej 称为称为张量张量 T 的主方向。的主方向。注：若若(1),(2),(3)互不相等，则互不相等，则(1),(2),(3)互相垂直。互相垂直。对于二重根情况，例如对于二重根情况，例如(1)(2)，则垂直于，则垂直于(3)的任何方向都的任何方向都是主方向，可任选其中两个互相垂直方向是主方向，可任选其中两个互相垂直方向作为作为(1)和和(2)。对于三重根情况，例如对于三重根情况，例如(1)(2)(3)，则任何方向都是主方则任何方向都是主方向，可任选三个互相垂直的方向作为向，可任选三个互相垂直的方向作为(1),(2)和和(3)。特殊张量，主方向与主分量103u 主坐标系沿主方向沿主方向(1),(

34、2),(3)的正交坐标系称为张量的正交坐标系称为张量 T 的的主坐标系。在主坐标系中，有主坐标系。在主坐标系中，有当当T 为应力张量时，为应力张量时，(k)就是三个主应力就是三个主应力1,2和和3特殊张量，主方向与主分量104特征方程是一个与坐标选择无关的普遍方程，它特征方程是一个与坐标选择无关的普遍方程，它的三个系数的三个系数I1,I2和和I3分别称为张量分别称为张量T的第一、第二的第一、第二和第三不变量。和第三不变量。特征方程的根特征方程的根(k)也是三个不变量，相应的主方向也是三个不变量，相应的主方向(k)也与坐标无关。也与坐标无关。特殊张量，主方向与主分量u 不变量105目 录 引言

35、张量的基本概念，爱因斯坦求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商法则 常用特殊张量，主方向与主分量 张量函数及其微积分106张量函数及其微积分在空间所论域内在空间所论域内,每点定义的同阶张量每点定义的同阶张量,构构成了张量场。一般张量场中被考察的张量随位置成了张量场。一般张量场中被考察的张量随位置而变化。研究张量场因位置而变化的情况使我们而变化。研究张量场因位置而变化的情况使我们从张量代数的领域进入张量分析的领域。从张量代数的领域进入张量分析的领域。这里简要介绍这里简要介绍笛卡儿坐标系中的张量分析笛卡儿坐标系中的张量分析。107A:标量的矢量函数

36、标量的矢量函数张量函数张量函数一个张量一个张量 F 依赖于另一张量依赖于另一张量 T 而变化而变化矢量矢量 u是是 t 的函数，的函数，ui 也是也是 t 的函数，如的函数，如 ui可导，则可导，则矢量矢量 u 对对 t 的导数为的导数为:即即张量函数及其微积分108B:矢量的标量函数矢量的标量函数标量标量 f 是矢量是矢量 u 的函数即的函数即若若 f 可连续偏导可连续偏导,则则f 对对u的导数是一个矢量的导数是一个矢量张量函数及其微积分109矢量矢量u是矢量是矢量v的函数，即的函数，即若若ui的偏导连续，则的偏导连续，则u对对v的导数是一个二阶张量的导数是一个二阶张量张量函数及其微积分C:

37、矢量的矢量函数矢量的矢量函数110若若 f 对二阶张量对二阶张量 Tij 的偏导连续的偏导连续,则则若标量若标量 f 是二阶张量是二阶张量 Tij 的函数的函数,即即f 相对于相对于T 的导数是二阶张量的导数是二阶张量张量函数及其微积分D:二阶张量的标量函数二阶张量的标量函数111若若是定义在空间区域的张量，是定义在空间区域的张量，是一个张量场，则是一个张量场，则则则对坐标的一阶偏导数和二阶偏导数记为对坐标的一阶偏导数和二阶偏导数记为则则的导数和微分记为的导数和微分记为张量函数及其微积分E:张量场张量场112 Hamilton 算子算子的导数和微分可用的导数和微分可用Hamilton算子改写为

38、算子改写为右梯度同样定义同样定义左梯度张量函数及其微积分张张量的量的梯梯度度为比原张量高一阶的新张量为比原张量高一阶的新张量 梯梯 度度113张量函数及其微积分 散散 度度左散度 右散度 张张量的量的散散度度为比原张量低一阶的新张量为比原张量低一阶的新张量 114张量函数及其微积分 旋旋 度度左旋度 右旋度 张张量的量的旋旋度度为与原张量具有相同阶数的新张量为与原张量具有相同阶数的新张量 115张量函数及其微积分 高斯公式（散度定理）高斯公式（散度定理）式中，式中，V 表示空间的某一区域，表示空间的某一区域，S 是这一区域是这一区域的表面，的表面，n=ni ei 是是 S 的外法线单位矢量的外法线单位矢量,是是 V 中具有连续偏导的场函数。中具有连续偏导的场函数。116V 表示空间的某一区域，表示空间的某一区域，S 是这一区域的表面，是这一区域的表面，n=ni ei 是是 S 的外法线单位矢量的外法线单位矢量,是是 V 中任意阶的光滑张量场。中任意阶的光滑张量场。用用“”表示并积、点积、叉积等任何一种运算，则表示并积、点积、叉积等任何一种运算，则张量函数及其微积分 高斯公式高斯公式117118