利息理论(金融数学).ppt

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1、利息理论利息理论 Interest Theory 讲授：讲授：南京财经大学南京财经大学 曾卫曾卫使用教材：使用教材：21世纪保险精算系列教材金融数学金融数学孟生旺孟生旺中国人民大学出版社课程概述 利息理论是用数理分析的方法对利息及其相关问题进利息理论是用数理分析的方法对利息及其相关问题进行定量分析的理论。它是精算学的主要基础之一，也行定量分析的理论。它是精算学的主要基础之一，也是保险产品定价理论和金融产品定价理论的基础。是保险产品定价理论和金融产品定价理论的基础。利息理论利息理论是金融学、保险等专业的一门基础课，是金融学、保险等专业的一门基础课，它要探讨的主要内容是与利率和利息有关的理论及应它

2、要探讨的主要内容是与利率和利息有关的理论及应用问题。本课程由理论部分和应用部分两部分组成。用问题。本课程由理论部分和应用部分两部分组成。理论部分理论部分介绍了利息理论的主要内容，包括利率、贴介绍了利息理论的主要内容，包括利率、贴现率、利息力、贴现函数和累积函数等利息的度量工现率、利息力、贴现函数和累积函数等利息的度量工具，并讨论了各种年金的计算等；具，并讨论了各种年金的计算等；应用部分应用部分探讨了利探讨了利息理论在投资分析和财务管理等领域的具体应用，包息理论在投资分析和财务管理等领域的具体应用，包括收益率、债务偿还、证券价值、括收益率、债务偿还、证券价值、衍生工具衍生工具、利率风、利率风险、

3、利率期限结构等内容。这门课程所涉及的内容以险、利率期限结构等内容。这门课程所涉及的内容以及所提供的方法具有极为广泛的适用性，其应用范围及所提供的方法具有极为广泛的适用性，其应用范围已远远超出了保险精算领域，在投资分析、资产定价、已远远超出了保险精算领域，在投资分析、资产定价、财务管理、理财规划等方面都有很大的应用价值。财务管理、理财规划等方面都有很大的应用价值。课程简介利息理论（又称复利数学），它是以经济理论为基础，应用简单的数学工具给出有关利息和年金的计算方法。美国耶鲁大学著名经济理论家欧文费雪（Irving Fisher）在1930年出版的利息理论（The Theory of Intere

4、st，1930）标志着利息理论学科的诞生。费雪（I.Fisher）在其利息理论中对利息的概念刻划得淋漓尽致。“任何物品都是不同程度的耐用品，耐用品能在未来某个时段内提供一连串的服务，而其全部价值的折现之和，构成这物品的现值”，这个观点解释了人们为什么会悉心照顾一桶十年后才开的红酒、为什么要盖一所能用上两百年的房子。随着社会经济的发展，利息理论已经渗透到保险精算、财务分析、证券投资、资产定价、金融风险管理等各个领域。课程简介中华人民共和国保险法（2009年修订）第八十五条规定：“保险公司应当聘用经国务院保险监督管理机构认可的精算专业人员，建立精算报告制度。保险公司应当聘用专业人员，建立合规报告制

5、度。”中国保险监督管理委员会1999年组织了中国首次精算师资格考试，当年有43人获得中国精算师资格。中国精算师考试科中国精算师考试科中国精算师考试科中国精算师考试科目目目目共有19门课（其中准精算师有9门课，精算师10门课）。北美精算学会北美精算学会北美精算学会北美精算学会（SocietyofActuaries,SOASocietyofActuaries,SOA）的精算师资格考试课程是为寿险精算人员所设计的。其考试分为两部分，准精算师课程和精算师课程。2000年学会开始实行新的考试制度，一共包括8门课程。利息理论是中国中国中国中国准精算师和北美精算学会准精算师准精算师和北美精算学会准精算师准精

6、算师和北美精算学会准精算师准精算师和北美精算学会准精算师的必考科目，也是许多财经类大学保险精算专业研究生入学考试的必考科目。中国精算师资格考试中国精算师资格考试准精算师考试准精算师考试科目科目科目代码科目代码科目科目学分学分考试时间考试时间备注备注A1A1数学数学数学数学3 3小时小时A2A2金融数学金融数学金融数学金融数学3 3小时小时A3A3精算模型精算模型精算模型精算模型3 3小时小时A4A4经济学经济学经济学经济学3 3小时小时A5A5寿险精算寿险精算寿险精算寿险精算3 3小时小时A6A6非寿险精算非寿险精算非寿险精算非寿险精算3 3小时小时A7A7会计与财务会计与财务会计与财务会计与

7、财务3 3小时小时A8A8精算管理精算管理精算管理精算管理3 3小时小时中国精算师资格考试中国精算师资格考试(金融数学金融数学)考试形式考试形式考试形式考试形式:选择题选择题 考试要求考试要求考试要求考试要求:本科目要求考生具有较好的数学知识背景。通过学习本科目本科目要求考生具有较好的数学知识背景。通过学习本科目,考生应该熟练掌握利息理论、利率期限结构与随机利率模型、金融衍生工考生应该熟练掌握利息理论、利率期限结构与随机利率模型、金融衍生工具定价理论、投资组合理论的主要内容，在了解基本概念、基本理论的基具定价理论、投资组合理论的主要内容，在了解基本概念、基本理论的基础上，掌握上述几部分内容涉及

8、的方法和技巧。础上，掌握上述几部分内容涉及的方法和技巧。考试内容考试内容考试内容考试内容(结构结构结构结构)：A A、利息理论利息理论 (分数比例约为分数比例约为30%)30%)1.1.利息的基本概念（分数比例约为利息的基本概念（分数比例约为4%4%）2.2.年金（分数比例约为年金（分数比例约为6%6%）3.3.收益率（分数比例约为收益率（分数比例约为6%6%）4.4.债务偿还（分数比例约为债务偿还（分数比例约为4%4%）5.5.债券及其定价理论（分数比例约为债券及其定价理论（分数比例约为10%10%）B B、利率期限结构与随机利率模型利率期限结构与随机利率模型(分数比例约为分数比例约为 16

9、%)16%)1.1.利率期限结构理论（分数比例约为利率期限结构理论（分数比例约为10%10%）2.2.随机利率模型（分数比例约为随机利率模型（分数比例约为6%6%）C C、金融衍生工具定价理论金融衍生工具定价理论(分数比例约为分数比例约为26%)26%)1.1.金融衍生工具介绍（分数比例约为金融衍生工具介绍（分数比例约为16%16%）2.2.金融衍生工具定价理论（分数比例约为金融衍生工具定价理论（分数比例约为10%10%）D D、投资理论投资理论(分数比例约为分数比例约为28%)28%)1.1.投资组合理论（分数比例约为投资组合理论（分数比例约为12%12%）2.2.资本资产定价（资本资产定价

10、（CAPMCAPM）与套利定价（）与套利定价（APTAPT）理论（分数比例约为）理论（分数比例约为16%16%）中国精算师资格考试中国精算师资格考试精算师考试科目精算师考试科目科目代码科目代码科目科目学分学分考试时间考试时间备注备注F3F3个人寿险与年金精算实务个人寿险与年金精算实务4 4小时小时F4F4员工福利计划员工福利计划4 4小时小时F5F5非寿险实务非寿险实务4 4小时小时F6F6非寿险定价非寿险定价4 4小时小时F7F7非寿险责任准备金评估非寿险责任准备金评估4 4小时小时F8F8投资学投资学4 4小时小时F9F9资产负债管理资产负债管理4 4小时小时F10F10健康保险健康保险4

11、 4小时小时世界主要国家的保险精算资格考试世界主要国家的保险精算资格考试北美精算学会北美精算学会北美精算学会北美精算学会代号代号课程课程Course 1Course 1精算数学基础精算数学基础Course 2Course 2利息理论利息理论利息理论利息理论、经济学和金融学、经济学和金融学Course 3Course 3随机精算模型随机精算模型Course 4Course 4精算建模方法精算建模方法Course 5Course 5基本精算原理的应用基本精算原理的应用Course 6 Course 6 金融与投资金融与投资Course 7Course 7应用精算建模应用精算建模Course 8Co

12、urse 8高级专门精算实务高级专门精算实务世界主要国家的保险精算资格考试世界主要国家的保险精算资格考试英国精算学会英国精算学会英国精算学会英国精算学会代号代号课程课程代号代号课程课程101101统计模型统计模型301301投资与资产管理投资与资产管理102102金融数学金融数学金融数学金融数学302302寿险精算实务寿险精算实务103103随机模型随机模型303303非寿险精算实务非寿险精算实务104104生存模型生存模型304304养老金精算实务养老金精算实务105105精算数学精算数学(寿险精算寿险精算)401401高级投资与资产管理高级投资与资产管理106106精算数学精算数学(非寿险

13、精算非寿险精算)402402高级寿险精算实务高级寿险精算实务107107经济学经济学(宏观与微观宏观与微观)403403高级非寿险精算实务高级非寿险精算实务108108财务报告分析财务报告分析404404高级养老金精算实务高级养老金精算实务109109金融经济学金融经济学201201交流能力交流能力(命题论文写作命题论文写作)利息理论在保险专业课程体系中的地位利息理论在保险专业课程体系中的地位保险专业课保险专业课保险专业课保险专业课 保险经营保险经营保险经营保险经营 保险精算保险精算保险精算保险精算 保险投资保险投资保险投资保险投资 风险管理风险管理风险管理风险管理 人身保险人身保险人身保险人

14、身保险 财产与责任财产与责任财产与责任财产与责任保险保险保险保险 保险营销保险营销保险营销保险营销 再保险再保险再保险再保险 利息理论利息理论利息理论利息理论 寿险精算寿险精算寿险精算寿险精算证券投资学证券投资学证券投资学证券投资学 金融金融金融金融衍生工具衍生工具衍生工具衍生工具 公司金融公司金融公司金融公司金融 风险管理风险管理风险管理风险管理 保险保险保险保险经营管理经营管理经营管理经营管理非寿险精算非寿险精算非寿险精算非寿险精算资产评估资产评估资产评估资产评估 保险投资学保险投资学保险投资学保险投资学 教学目的 在保险专业开设在保险专业开设利息理论利息理论这门课，其目的是为这门课，其目

15、的是为学习保险精算的其他几门专业课打下一个扎实的基学习保险精算的其他几门专业课打下一个扎实的基础，同时也为学习金融学、保险学的其他相关课程础，同时也为学习金融学、保险学的其他相关课程提供理论和方法支撑。学习这门课程，要求掌握它提供理论和方法支撑。学习这门课程，要求掌握它的基本理论、基本方法和基本技能。通过对本课程的基本理论、基本方法和基本技能。通过对本课程的学习，能够比较完整地掌握利息理论的基本理论的学习，能够比较完整地掌握利息理论的基本理论框架和基本方法体系，并将它们运用于现代保险、框架和基本方法体系，并将它们运用于现代保险、银行、投资分析、财务管理、理财规划等领域的实银行、投资分析、财务管

16、理、理财规划等领域的实务工作中去。务工作中去。教材和参考书目教教教教 材材材材：孟生旺：孟生旺：孟生旺：孟生旺：金融数学（第二版）金融数学（第二版）金融数学（第二版）金融数学（第二版），中国中国人民大学出版社，人民大学出版社，2009年。年。参考书目参考书目参考书目参考书目：1、美S.G.Kellison：利息理论，上海科学技术出版社，1995年版；2、刘占国：利息理论，南开大学出版社，2000年版；3、李晓林：利息理论，经济科学出版社，1999年版；4、孟孟孟孟生旺生旺生旺生旺 袁卫袁卫袁卫袁卫：利息理论及其应用利息理论及其应用，中国人民大，中国人民大学出版社，学出版社，2001年版；年版；

17、5、熊福生：利息理论，武汉大学出版社，2004年版；6、张连增：利息理论，南开大学出版社，2005年版；7 7、张运刚、张运刚：利息理论与应用利息理论与应用利息理论与应用利息理论与应用，西南财经大学出版社，西南财经大学出版社，西南财经大学出版社，西南财经大学出版社，2006200620062006年版年版年版年版。第1章 利息的度量利息的度量内容提要：利息是借款人借款人使用他人资金所需支付的代价，或贷款人贷款人出让资金所获得的报酬。对利息恰当的度量是利息理论应用于金融和保险领域的基础。度量利息与计算利息的方式（单利，复利，连续时间复利）有关；任何时刻资金的累积值依赖于其所经历的时间；不同时刻资

18、金价值是不能直接不同时刻资金价值是不能直接比较的，须按一定的计算（折现，累积）把不同时刻的资金比较的，须按一定的计算（折现，累积）把不同时刻的资金价值换算到同一时刻进行比较。价值换算到同一时刻进行比较。本章要解决以下问题：复利和单利有何区别？复利产生的利息是否总大于单利产生的利息？如果复利在一年内有多次利息结转，甚至按时间连续结转利息时，复利的利息会有何变化？贴现率和利率有何关系？实际利率与名义利率有何关系？实际贴现率和名义贴现率有何关系？关键词：累积函数；金额函数；单利；复利；实际利率；实际贴现率；名义利率；名义贴现率；利息力；贴现力；累积因子；贴现因子。第1章 利息的度量利息的度量教学要求

19、：本章的重点是围绕利息的度量和利息问题的求解这两大问题展开讨论。要求掌握有关利息的各种度量工具以及与此相联系的累积函数和贴现函数，能够熟练地运算与利息有关的一些问题，特别要求重点掌握与复利有关的计算问题。要求对利息的各种度量工具之间的相互关系比较熟悉。教学内容：1.1 累积函数与实际利率 1.2 单利 1.3 复利 1.4 累积函数的证明 1.5 贴现函数 1.6 贴现率 1.7 名义利率 1.8 名义贴现率 1.9 利息力 1.10 贴现力 1.11 利率概念辨析1.1 累积函数与实际利率关于利息的几个基本概念关于利息的几个基本概念本金（principal）：初始投资的资本金额。累积值（ac

20、cumulated value）：过一段时期后收到的总金额。利息（interest）累积值与本金之间的差额。1.1.1 累积函数(Accumulation function)累积函数累积函数a(t)及其性质及其性质累积函数累积函数:0时刻的1单位货币到t时刻时的累积值，记为a(t)。累积函数a(t)也称为t期累积因子，因为它是单位本金在t期末的累积值。性质：性质：(1)a(0)=1；(2)a(t)通常是时间t的递增函数；(3)如果按时间连续结转利息，a(t)是时间t的连续函数；如果间断结转利息，a(t)为间断函数（若在每期末结转利息，则是以结转利息时刻为间断点的阶梯函数）。(注注)：一般假设利

21、息是连续产生的。1.1 累积函数与实际利率1.1.1 累积函数金额函数（金额函数（Amount function）当原始投资不是1个单位的本金，而是 k 个单位时，则把 k个单位本金的原始投资在时刻 t 的累积值记为A(t),称为金额函数金额函数(也称为总额函数总额函数、总量函数总量函数)。金额函数：0时刻的k单位货币到t时刻时的累积值，记为A(t)。性质：(1)A(0)=k；(2)A(t)=ka(t),k 0,t 0；(3)如果按时间连续结转利息，A(t)为关于时间t的连续函数。金额函数和累积函数可以互相表示：A(t)=A(0)a(t)(1-2)1.1 累积函数与实际利率1.1.1 累积函数

22、利息（利息（interest）的数学定义）的数学定义金额函数 A(t)在时间段 t1,t2 内所获得的利息金额为 I(t1,t2)=A(t2)A(t1)从投资之日算起，在n个时期所获得的利息金额记为 I(n)=A(n)-A(0)A(0)(a(n)-1)，n 1 (1-3)其中A(s)-A(s-1)表示金额函数在时间段(s-1,s)上产生的利息。(注注)：利息金额 I(n)在整个时期内产生，但在最后时刻实现（支付、获取）。1.1 累积函数与实际利率1.1.2 实际利率（effective rate of interest）利息率的基本含义利息率的基本含义利息率的基本含义利息率的基本含义 利息率：

23、是一定时期内产生的利息与投入或贷出的本金之比是一定时期内产生的利息与投入或贷出的本金之比率，简称为利率。率，简称为利率。利息率的具体形式利息率的具体形式利息率的具体形式利息率的具体形式 年利率，用本金的表示；年利率，用本金的表示；月利率，用本金的月利率，用本金的表示；表示；日利率，用本金的日利率，用本金的0 0表示。表示。实际利率的概念实际利率的概念 某一度量期的实际利率是指该度量期末得到的利息金额与此度量期开始时投资的本金金额之比。实际利率常用字母i表示。实际利率与名义利率的根本区别实际利率与名义利率的根本区别 用实际利率表示的利息只在给定的时期期末支付一次；而名义利率计算的利息在一期内可能

24、进行多次支付。1.1 累积函数与实际利率1.1.2 实际利率实际利率实质是单位本金在给定的某一时期上产生的利息金额。累积函数累积函数a(ta(t)必然通过两点必然通过两点：(0(0，1)1)和和(1,1+i)(1,1+i)。实际利率的表示形式实际利率的表示形式单期（单阶段）实际利率计算公式：多期（多阶段）实际利率计算公式：第n个度量期（时间段(n-1,n)）实际利率相关的关系式：A(n)=A(0)(1+i1)(1+i2)(1+in)a(n)=(1+i1)(1+i2)(1+in)(注注)：若无特别说明，实际利率是指年利率，因此实际利率通实际利率通常用表示。常用表示。1.2 单利(simple i

25、nterest)1.2.1 单利的定义单利的概念：单利的概念：只有本金产生利息，投资期内任何时期已经产生的利息在后期不再计算利息。单利条件下的累积函数单利条件下的累积函数：a(t)=1+it (t=0,1,2,)(1-7)1.2.2 单利与实际利率的关系单利率为常数i时，实际利率it是时间t的单调减函数。1.2.3 常数单利率下的若干结论在常数单利率i下，累积函数 a(t)=1+it 金额函数 A(t)=A(0)a(t)=A(0)(1+it)=A(0)A(0)it 利息总额 I(t)=A(t)-A(0)=A(0)it (是时间t的单调增函数)每期利息额 A(0)i (常数)1.2 单利(sim

26、ple interest)单利的应用单利的应用:投资时间投资时间t 的确定的确定 （1）严格单利规则：“实际/实际”，即投资天数按两个日期之间的实际天数计算，每年按实际天数计算。（2）精确单利规则：“实际/365”，即投资天数按两个日期之间的实际天数计算，每年按365天计算。（3）银行家规则(bankers rule)：“实际/360”，投资天数按两个日期之间的实际天数计算，而每年按360天计算。（4）常规单利规则：“30/360”，在计算投资天数时，每月按30天计算，每年按360天计算。在此规则下，两个给定日期之间的天数可按下述公式计算：360(Y 2 Y 1)+30(M 2 M 1)+(D

27、 2 D 1)其中支取日为Y2年M2月D2日，存入日为Y1年M1月D1日。1.3 复利(compound interest)1.3.1 复利的定义复利的概念复利条件下的累积函数：a(t)=(1+i)t (t=0,1,2)1.3.1 常数复利率下的若干结论在常数复利率i下，累积函数 a(t)=(1+i)t 金额函数 A(t)=A(0)a(t)=A(0)(1+i)t 利息总额 I(t)=A(t)-A(0)=A(0)(1+i)t-11.3.2 复利与实际利率的关系 复利率为常数i时，实际利率it等于复利率。it=i1.3 复利(compound interest)例：例：例：例：如果本金为如果本金为

28、如果本金为如果本金为20002000元，年利率为元，年利率为元，年利率为元，年利率为5%5%，分别计算在单利和复，分别计算在单利和复，分别计算在单利和复，分别计算在单利和复利的计息方式下：利的计息方式下：利的计息方式下：利的计息方式下：（1 1）9 9个月后的累积值；（个月后的累积值；（个月后的累积值；（个月后的累积值；（2 2）2 2年零年零年零年零3 3个月后的累积值。个月后的累积值。个月后的累积值。个月后的累积值。解：解：解：解：单利计息方式下，单利计息方式下，单利计息方式下，单利计息方式下，（1 1）2000(1+0.050.75)=20752000(1+0.050.75)=2075（

29、元）（元）（元）（元）（2 2）2000(1+0.052.25)=22252000(1+0.052.25)=2225（元）（元）（元）（元）复利计息方式下，复利计息方式下，复利计息方式下，复利计息方式下，（1 1）2000(1+0.05)2000(1+0.05)0.750.75=2074.54=2074.54（元）（元）（元）（元）（2 2）2000(1+0.05)2000(1+0.05)2.252.25=2232.06=2232.06（元）（元）（元）（元）(注注注注)：无论是单利或复利，在使用其累积函数和金额函数无论是单利或复利，在使用其累积函数和金额函数无论是单利或复利，在使用其累积函数

30、和金额函数无论是单利或复利，在使用其累积函数和金额函数进行计算时，时间进行计算时，时间进行计算时，时间进行计算时，时间t t的单位要与利率的单位要与利率的单位要与利率的单位要与利率i i对应的时间单位一致。对应的时间单位一致。对应的时间单位一致。对应的时间单位一致。如果时期不足如果时期不足如果时期不足如果时期不足1 1年，则单利的累积值比较大；如果时期超过年，则单利的累积值比较大；如果时期超过年，则单利的累积值比较大；如果时期超过年，则单利的累积值比较大；如果时期超过1 1年，则复利的累积值比较大。年，则复利的累积值比较大。年，则复利的累积值比较大。年，则复利的累积值比较大。1.3 复利(co

31、mpound interest)1.3.31.3.3 复利与单利的区别复利与单利的区别基本意义的比较：基本意义的比较：单利下，只有本金生利息；复利下，本金和已生利息均能生息。实际利率与时间的关系：实际利率与时间的关系：在常数利率i下，单利条件下的实际利率it是时间t的单调减函数；复利条件下的实际利率it等于常数复利率，与时间无关。累积函数之间的关系：累积函数之间的关系：当t=0 or t=1时，1+it=(1+i)t；当 0t1 时，1+it(1+i)t；当 t1 时，1+it(1+i)t。1+it是t的线性函数，(1+i)t是t的凸函数。利息增长的特征：利息增长的特征：在同样长时期内，单利利

32、息增长的绝对金额为常数；复利利息增长的相对比率为常数。思考与讨论思考与讨论(1-1)(1-1)1.累积函数和金额函数各有什么作用？相互之间有什么联系累积函数和金额函数各有什么作用？相互之间有什么联系？2.某一段时期的实际利率是指这某一段时期的实际利率是指这段时期段时期末得到的利息金额与末得到的利息金额与期末累积值之比吗期末累积值之比吗？3.累积函数累积函数a(t)的曲线必然通过哪两点？的曲线必然通过哪两点？4.复利和单利有何区别？复利产生的利息是否总大于单利产复利和单利有何区别？复利产生的利息是否总大于单利产生的利息？生的利息？5.单利条件下的实际利率单利条件下的实际利率it相对于时间相对于时

33、间t表现出什么特征？表现出什么特征？复复利条件下的实际利率利条件下的实际利率it相对于时间相对于时间t表现出什么特征？表现出什么特征？1.4 累积函数的证明1.4.1 单利的累积函数单利的性质：单利的性质：单利利息具有可加性，i(t+s)=it+is (t0,s0)单利条件下单利条件下累积累积函数的性质：函数的性质：a(ts)=a(t)+a(s)-1单利条件下累积函数的变化率为常数，单利条件下的单利条件下的累积累积函数：函数：a(t)=1+it (t0)1.4.2 复利的累积函数复利条件下累积函数的复利条件下累积函数的性质：性质：复利累积函数具有可积性，(1+i)ts=(1+i)t(1+i)s

34、 (t0,s0)复复利条件下累积函数的单位变化率为常数，复利条件下的累积复利条件下的累积函数：函数：a(t)=(1+i)t (t0)1.5 贴现函数(discount function)现值现值（present value)present value)：未来的一笔资金在现在的价值。：未来的一笔资金在现在的价值。贴现过程和贴现函数的概念贴现过程和贴现函数的概念为了在t期末得到某个累积值，而在开始时投资的本金额称为该累积值的现值（折现值）。显然，显然，t期末的累积期末的累积值值A(t)的现值为的现值为A(0)。由期末累积值求其现值的过程称为贴现（折现）过程。累积和贴现（折现）是互逆的过程，a(t)

35、表示1单位的本金在t期末的累积值，而a-1(t)表示为了在t期末得到累积值1，而在开始时投资的本金额。累积函数a(t)的倒数a-1(t)称为t期贴现因子或贴现函数（折现函数）。特别地，把一期贴现因子a-1(1)简称为折现因子(贴现因子)，记为v。1.5 贴现函数(discount function)贴现函数的常见形式贴现函数的常见形式常数单利率下的贴现函数：(1-12)常数复利率下的贴现函数：(1-13)其中：t0;是贴现因子。()除非特别申明，今后一概用复利计算现值。贴现函数与累积函数的关系贴现函数与累积函数的关系 期初1元在 t 时期末的累积值为(1+i)t，而 t 时期末支付1元的现值为

36、vt=(1+i)-t。几个术语：几个术语：贴现因子贴现因子(discount factor)：v=(1+i)-1t年贴现因子年贴现因子(t-year discount factor)：vt累积因子累积因子(accumulation factor)：(1+i)t年累积因子年累积因子(t-year accumulation factor)：(1+i)t1.6 贴现率1.6.1 实际贴现率(effective rate of discount with compound interest)实际贴现率的定义实际贴现率的定义 一个度量期的实际贴现率为该度量期内取得的利息金额与期末的投资可收回金额（期末累

37、计值）之比，记为d。实际贴现率的表达式实际贴现率的表达式 (1-14)(注注)：实际利率大于实际贴现率(di)。贴现率是利率的增函数。利率与贴现率的比较利率与贴现率的比较利息是在期末收取的，而贴现值（贴现利息）是在期初收取（扣除）的；利率是利息与期初本金的比率，贴现率是贴现值与期末累积值的比率；利率说明了资本在期末获得利息的强度，贴现率说明了资本在期初获得利息的强度。用实际贴现率表示实际利率 (1-15)1.6 贴现率例：若现有面额为100元的零息债券在到期前一年的时刻价格为95元，同时，一年期储蓄的利率为5.25，如何进行投资选择?存款还是购买债券？解：从贴现的角度看，零息债券的贴现率：d(

38、100-95)/100=5%储蓄的贴现率：di/(1+i)=5.25/(1+5.25)=4.9885%因此投资债券合算。从利息的角度看，零息债券的利率：d=5%=1/20 i=d/(1-d)=1/19=5.26%储蓄的利率为 5.25 5.26因此投资债券合算。1.6 贴现率1.6.2 实际贴现率与实际利率的一些重要关系重要关系式：d=iv (1-16)d=1-v,v=1-d (1-17)d=iv=i(1-d)=i-id,i-d=id (1-20)用实际贴现率表示贴现函数和累积函数 a-1(t)=vt=(1-d)t (1-18)a(t)=vt=(1-d)-t (1-19)累积函数和贴现函数的有

39、关结论累积函数和贴现函数的有关结论1.6 贴现率1.6.3 单贴现率用单贴现率d表示贴现函数 a-1(t)=1-dt (0t1/d)(1-21)有关结论：有关结论：当单利利率等于单贴现率(i=d)时,根据单贴现率计算的现值小于根据单利利率计算的现值，即1-dt(1+it)-1。当实际贴现率等于实际利率(d=i)时,根据贴现率计算的现值小于根据利率计算的现值，即(1-d)t(1+i)-t。0t1时,1-dt(1-d)t；t1时,1-dt(1-d)t；t=0 or t=1时,1-dt=(1-d)t。利息度量问题的求解利息度量问题的基本变量利息度量问题的基本变量：(1)原始投资额或本金A(0)；(2

40、)投资时期n；(3)利率i（实际利率）；(4)投资期末的累积值A(n)。需要求解的相关问题：(1)投资本金问题或现值问题；(2)投资时期问题或时间问题；(3)利率问题；(4)累积值问题。价值等式（价值方程）：是连接利息度量问题的4个基本变量的重要关系式。是求解以上4个相关问题的基本工具。思考与讨论思考与讨论(1-2)(1-2)1.累积函数和累积函数和贴现贴现函数各有什么作用？相互之间有什么联系函数各有什么作用？相互之间有什么联系？2.根据根据复利利率计算的复利利率计算的现值现值是否总大于是否总大于根据根据单利单利利率利率计算的计算的现值现值？3.某一段时期的实际某一段时期的实际贴现贴现率是指这

41、率是指这段时期段时期末得到的利息金额末得到的利息金额与期末累积值之比吗与期末累积值之比吗？实际实际贴现贴现率与率与实际利率之间实际利率之间有什么联有什么联系？系？4.贴现贴现率与率与利率有利率有什么差别？什么差别？5.累积函数是否只能用累积函数是否只能用利率表示利率表示？贴现贴现函数是否只能用函数是否只能用贴现贴现率率表示表示？1.7 名义利率（nominal rate of interest）名义利率的定义名义利率的定义实际利率，是指在每个度量时期末结转一次利息的利率。名义利率是指在一个度量期内分多次结转利息的利率。定义名义利率的意义定义名义利率的意义定义名义利率的目的是为了给出在不足一年的

42、一个时间区间内的实际利率。名义利率度量了资本在一个小区间内获取利息的能力。名义利率必须和单位度量期内的结转次数（计息期个数，结转利息的时间区间的个数）相联系。年名义利率年名义利率=月实际利率月实际利率月实际利率月实际利率1212 =季度实际利率季度实际利率季度实际利率季度实际利率44 =半年实际利率半年实际利率半年实际利率半年实际利率221.7 名义利率（nominal rate of interest）名义利率的表述名义利率的表述季度的实际利率为3%：年名义利率为12%，每年结转4次利息；年名义利率为12%，每年复利4次；年名义利率为12%，每个季度结转一次利息；年名义利率为12%，每个季度

43、复利一次。相关术语利息结转期：interest conversion period；每月结转一次：convertible monthly；每季支付一次：payable quarterly；每半年复利一次：compound semiannually；1.7 名义利率（nominal rate of interest）等价的名义利率与实际利率的相互转换等价的名义利率与实际利率的相互转换 (1-22)(1-23)(注注)：(1)在年名义利率一定的条件下，每年结转利息的次数越多，年实际利率将越大。(2)在年实际利率一定的条件下，每年结转利息的次数越多，年名义利率将越小。(当当m i(n)因此，因此，当

44、当m1时，时，ii(1)i(m)；当当m1时，时，ii(1)i(m)。Excel 应用应用由每年复利 m 次的年名义利率 j 计算年实际利率，可以使用EXCEL命令 “EFFECT（j，m）”；由年实际利率 i 计算每年复利m次的年名义利率，可以使用EXCEL的命令 “NOMINAL（i,m）”。每年的利息结转次数小于每年的利息结转次数小于1时的名义利率时的名义利率在 n 个时期支付一次利息的名义利率（即每年结转1/n次利息）可以表示为 i(1/n)，其中 n 是大于1的正整数。名义利率 i(1/n)是指每 n 个时期支付一次利息，且每 n 个时期的实际利率为 i(1/n)n。例：2年期定期存

45、款的年利率为 3.06%，其含义为i(1/2)=3.06%2年期的实际利率为i(1/2)2=3.06%2=6.12%问题：问题：等价的1年期的实际利率i为多少？1+6.12%=(1+i)2 i=(1+6.12%)1/21=3.015%存款利率：名义利率和实际利率的比较存款利率：名义利率和实际利率的比较注：注：小于一一年时，年实际利率大于年名义利率；超过一年时，年实际利率小于年名义利率。活期活期活期活期定定定定 期期期期3 3个月个月个月个月6 6个月个月个月个月1 1年年年年2 2年年年年3 3年年年年5 5年年年年年名义利年名义利年名义利年名义利率率（%）0.500.503.103.103.

46、303.303.504.405.005.50年实际利年实际利年实际利年实际利率率（%）0.50120.50123.13623.13623.32723.32723.504.30724.76904.9789例：假设储蓄业务的年利率如下，如何比较这些利率？问题：1万元可以投资一年，请比较投资3个月的定期存款和投资一年期的定期存款，哪个合算？当3个月期的年利率为多少时，两种投资没有差异？分析：3个月的实际利率为1.8040.45，1年下来的累积值为 (1+0.45%)4=1.01812(万元)；1年期存款的实际利率为2.52,1年下来的累积值为 (1+2.52%)=1.0252(万元)。结论：直接投资

47、1年合算。如果要求投资3个月期的定期存款等价于投资1年期的定期存款，则应有 由此可得i(4)=2.4965%思考题思考题某人2006年1月1日在银行存入10000元，期限为1年，年利率为3%。1月末，银行的1年期存款利率上调了100个基点。请分析此人是否有必要对该笔存款转存？假设活期存款利率不变，为1%。1年按360天计算，每月按30天计算。假设情景：假设情景：2007年1月末需要使用这笔存款。注：注：定期存款若提前支取，按活期计息。一个基点为0.01%。利率调整幅度通常能被9整除。因为一年按360天计息。1年零年零30天后的累积值：天后的累积值：转存：不转存：1.81.8 名义贴现率名义贴现

48、率(nominal annual rate of discount)1.8.1 名义贴现率的定义名义贴现率的定义名义贴现率的定义实际贴现率，是指在每个度量时期初预收一次贴现值(贴现利息)的贴现率。名义贴现率是指在一个度量期内分多次预收贴现值的贴现率。定义名义贴现率的意义定义名义贴现率的意义定义名义贴现率的目的是为了度量在不足一年的一个时间区间内的实际贴现率。名义贴现率度量了资本在一个小区间内预收贴现利息的能力。名义贴现率必须和单位度量期内的贴现次数（贴现期个数，预收贴现值的时间区间的个数）相联系。年名义贴现率年名义贴现率年名义贴现率年名义贴现率=月实际贴现率月实际贴现率月实际贴现率月实际贴现率

49、1212 =季度实际贴现率季度实际贴现率季度实际贴现率季度实际贴现率44 =半年实际贴现率半年实际贴现率半年实际贴现率半年实际贴现率221.8 名义贴现率等价的名义贴现率与实际贴现率的相互转换等价的名义贴现率与实际贴现率的相互转换 (1-24)(1-25)(注注)：(1)在年名义贴现率一定的条件下，每年预收贴现值的次数越多，年实际贴现率将越小。(2)在年实际贴现率一定的条件下，每年预收贴现值的次数越多，年名义贴现率将越大。(当当mn时，时，d(m)1时，时，dd(1)d(m)；当当md(m)。1.8 名义贴现率1.8.2 名义利率与名义贴现率的关系一般关系：一般关系：(1-27)其中：m为一年

50、结转利息的次数；n为一年贴现的次数。特殊关系：特殊关系：m=1时，n=1时，m=n时，(1-28)i i(m(m)d d(m(m)，m=n=1时，i-d=id，1.8 名义贴现率重要结论 i(1)=i,d(1)=d。当 时，id 。当 时，i(m)d(n)。思考与讨论思考与讨论(1-3)(1-3)1.为什么要定义名义利率？为什么要定义名义利率？2.名义利率是否总大于同期的实际利率名义利率是否总大于同期的实际利率？3.在年名义贴现率一定的条件下，随着每年贴在年名义贴现率一定的条件下，随着每年贴现次数的增多，年实际贴现率将增大现次数的增多，年实际贴现率将增大吗吗？4.当名义利率与名义贴现率等价时，