常微分方程(王高雄)第三版 3.3.ppt

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1、3.3 解解对初初值的的连续性和可微性定理性和可微性定理 常微分方程常微分方程 Ordinary Differential Equations第三章第三章考察考察的解的解 对初值的一对初值的一些基本性质些基本性质解对初值的连续性解对初值的连续性 解对初值和参数的连续性解对初值和参数的连续性 解对初值的可微性解对初值的可微性 内容内容内容内容:yxG图例分析图例分析图例分析图例分析(见右见右见右见右)解可看成是关于解可看成是关于的三元函数的三元函数满足满足 解对初值的对称性解对初值的对称性:前提前提前提前提解存在唯一解存在唯一例例:初值问题的解不单依赖于自变量初值问题的解不单依赖于自变量 ,同时

2、也依赖于初值同时也依赖于初值 .初值变动初值变动,相应的初值问题的解也将随之变动相应的初值问题的解也将随之变动.Q:Q:Q:Q:当初值发生变化时当初值发生变化时当初值发生变化时当初值发生变化时,对应的解是如何变化的对应的解是如何变化的对应的解是如何变化的对应的解是如何变化的?当初始值微小变动时当初始值微小变动时当初始值微小变动时当初始值微小变动时,方程的解变化是否也是很小？方程的解变化是否也是很小？方程的解变化是否也是很小？方程的解变化是否也是很小？证明证明则由解的唯一性知,即此解也可写成:且显然有:解对初值的对称性解对初值的对称性:前提前提前提前提解存在唯一解存在唯一,)()1.3(100

3、xyxy值的解存在区间内任取一满足在=一、解对初值的连续性一、解对初值的连续性定义定义设初值问题设初值问题1.1.解对初值的连续依赖性解对初值的连续依赖性初值问题初值问题引理引理引理引理 如果函数如果函数如果函数如果函数 于某域于某域于某域于某域G G G G内内内内连续连续，且，且，且，且关于关于 y y 满足利普满足利普希茨条件希茨条件（利普希茨常数为（利普希茨常数为（利普希茨常数为（利普希茨常数为L L L L），则对方程），则对方程），则对方程），则对方程 的任的任的任的任意两个解意两个解意两个解意两个解 及及及及 ,在它们的公共存在区间内成立着不在它们的公共存在区间内成立着不在它们的

4、公共存在区间内成立着不在它们的公共存在区间内成立着不等式等式等式等式 .其中其中其中其中 为所考虑为所考虑为所考虑为所考虑区间内的某一值。区间内的某一值。区间内的某一值。区间内的某一值。2 2 2 2 定理定理定理定理1(1(1(1(解对初值的连续依赖性定理解对初值的连续依赖性定理解对初值的连续依赖性定理解对初值的连续依赖性定理)条件条件条件条件:I.I.I.I.在在在在G G内连续且关于内连续且关于内连续且关于内连续且关于 满足局部满足局部满足局部满足局部L L L Lips.ips.ips.ips.条件条件条件条件;II.II.II.II.是是是是(1)(1)(1)(1)满足满足满足满足

5、的解的解的解的解,定义定义定义定义 区间为区间为区间为区间为 a,ba,b.结论结论结论结论:对对对对 ,使得当使得当使得当使得当时时时时,方程方程方程方程(1)(1)(1)(1)过点过点过点过点 的解的解的解的解 在在在在 a,ba,b 上也有上也有上也有上也有定义定义定义定义,且且且且 方程方程方程方程0思路分析：思路分析：思路分析：思路分析：记积分曲线段记积分曲线段记积分曲线段记积分曲线段S S：显然显然显然显然S S是是是是xyxy平面上的有界闭集平面上的有界闭集平面上的有界闭集平面上的有界闭集.第一步第一步第一步第一步:找区域找区域找区域找区域D D,使使使使 ,且且且且 在在在在D

6、 D上满足上满足上满足上满足L Lips.ips.条件条件条件条件.yxG(见下图见下图见下图见下图)由已知条件由已知条件由已知条件由已知条件,对对对对 ,存在以它为中心的圆存在以它为中心的圆存在以它为中心的圆存在以它为中心的圆 ,使使使使 在其内在其内在其内在其内满足满足满足满足L L L Lips.ips.ips.ips.条件条件条件条件,利普希茨常数为利普希茨常数为利普希茨常数为利普希茨常数为 .根据有限根据有限根据有限根据有限覆盖定理覆盖定理覆盖定理覆盖定理,存在存在存在存在N N,当当当当 时时时时,有有有有 对对对对 ,记记记记则以则以则以则以 为半径的圆为半径的圆为半径的圆为半径

7、的圆,当其圆心从当其圆心从当其圆心从当其圆心从S S的的的的左端点沿左端点沿左端点沿左端点沿S S 运动到右端点时运动到右端点时运动到右端点时运动到右端点时,扫过扫过扫过扫过的区域即为符合条件的要找区域的区域即为符合条件的要找区域的区域即为符合条件的要找区域的区域即为符合条件的要找区域D Dba00第二步第二步第二步第二步:证明证明证明证明 在在在在 a,ba,b 上有定义上有定义上有定义上有定义.注：注：饱和解饱和解反证反证(引理引理)对对连续连续令令从而，从而，可再延拓。可再延拓。第三步第三步第三步第三步:证明证明证明证明根据上面定理及方程的解关于自变量的连续性根据上面定理及方程的解关于自

8、变量的连续性根据上面定理及方程的解关于自变量的连续性根据上面定理及方程的解关于自变量的连续性,显然有显然有显然有显然有:3 3 3 3 定理定理定理定理2 2 2 2 (解对初值的连续性定理解对初值的连续性定理解对初值的连续性定理解对初值的连续性定理)条件条件条件条件:在在在在G G内连续且关于内连续且关于内连续且关于内连续且关于 满足局部满足局部满足局部满足局部L L L Lips.ips.ips.ips.条件条件条件条件;方程方程方程方程结论结论结论结论:在它的存在范围内是连续的在它的存在范围内是连续的在它的存在范围内是连续的在它的存在范围内是连续的.,作为作为作为作为 的函数的函数的函数

9、的函数二、解对初值的可微性二、解对初值的可微性1 1 1 1 解对初值和参数的连续依赖定理解对初值和参数的连续依赖定理解对初值和参数的连续依赖定理解对初值和参数的连续依赖定理,),()1.3(),(,),(,),(000000000bxabxayxyxxyGyxLipschitzyGGyxf=其中义上有定在区间的解通过点方程条件局部满足内一致地关于且在连续在区域设lllljll为为2 2 2 2 解对初值和参数的连续性定理解对初值和参数的连续性定理解对初值和参数的连续性定理解对初值和参数的连续性定理3 3 3 3 解对初值可微性定理解对初值可微性定理解对初值可微性定理解对初值可微性定理.,),()1.3(,),(0000在范围内是连续可微的的函数在它们的存作为的解则方程内连续都在区域以及若函数yxxyxxyGyfyxfj=证明证明因此因此,解对初值的连续性定理成立解对初值的连续性定理成立,即即即即和和于是于是设设即即是初值问题是初值问题的解的解,则则的解的解,不难求得不难求得根据解对初值和参数的连续性定理根据解对初值和参数的连续性定理初值问题初值问题结论：结论：例例1 解解由公式得由公式得