质点的运动微分方程教学内容.ppt

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1、1理论力学电子教案理论力学电子教案质点的运动微分方程质点的运动微分方程质点的运点的运动微分方程微分方程2理论力学电子教案理论力学电子教案质点的运动微分方程质点的运动微分方程2.力学模型力学模型(1)质点质点：具有一定质量，而其形状和大小对所：具有一定质量，而其形状和大小对所研究的问题不起主要作用，可以忽略研究的问题不起主要作用，可以忽略不计的物体。不计的物体。例如：例如：研究卫星的轨道时，卫星研究卫星的轨道时，卫星 质点质点 研究卫星的姿态时研究卫星的姿态时 刚体；刚体；刚体作刚体作平动平动时时,刚体刚体 质点。质点。3理论力学电子教案理论力学电子教案质点的运动微分方程质点的运动微分方程(2)

2、质点系质点系：由有限或无限个有着一定联系的质点：由有限或无限个有着一定联系的质点组成的系统。组成的系统。非自由质点系：质点系中的质点的运动受到约束非自由质点系：质点系中的质点的运动受到约束的限制。质点系是力学中普遍的的限制。质点系是力学中普遍的抽象化模型；包括刚体、弹性体、抽象化模型；包括刚体、弹性体、流体。流体。自由质点系：质点系中各质点的运动不受约束的自由质点系：质点系中各质点的运动不受约束的限制。限制。刚体刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离不变的质点组成。又称为持距离不变的质点组成。又称为不变质点系不变质点系。4理论力学电子教案理论力学电子

3、教案质点的运动微分方程质点的运动微分方程3.动力学分类：动力学分类：质点动力学质点动力学质点系动力学质点系动力学质点动力学质点动力学是是质点系动力学质点系动力学的基础。的基础。4.动力学的基本问题：大体上可分为两类：动力学的基本问题：大体上可分为两类：综合性问题：综合性问题：已知部分力，部分运动求另一部分力、部分运动。已知部分力，部分运动求另一部分力、部分运动。已知主动力，求运动，再由运动求约束力。已知主动力，求运动，再由运动求约束力。第一类：已知物体的第一类：已知物体的运动运动情况，求作用情况，求作用力力；第二类：已知物体的受第二类：已知物体的受力力情况，求物体的情况，求物体的运动运动。5理

4、论力学电子教案理论力学电子教案质点的运动微分方程质点的运动微分方程11-1 动力学基本定律动力学基本定律 动力学基本定律是动力学的基础动力学基本定律是动力学的基础,但它们只能直但它们只能直接应用于质点。对于质点系接应用于质点。对于质点系,应该将它们分别应用于应该将它们分别应用于每一质点每一质点,然后导出质点系的运动规律。然后导出质点系的运动规律。质点是物体最简单、最基本的模型，是构成复质点是物体最简单、最基本的模型，是构成复杂物体系统的基础，杂物体系统的基础，质点动力学基本方程质点动力学基本方程给出了质给出了质点点受力与其运动变化受力与其运动变化的关系，质点动力学的基础是的关系，质点动力学的基

5、础是三个基本定律，这些定律是牛顿在总结前人研究成三个基本定律，这些定律是牛顿在总结前人研究成果基础上提出的，称为果基础上提出的，称为牛顿三定律牛顿三定律。1.动力学基本定律动力学基本定律6理论力学电子教案理论力学电子教案质点的运动微分方程质点的运动微分方程第一定律（惯性定律）第一定律（惯性定律）质点如不受外力作用，则将保持静止或作匀速质点如不受外力作用，则将保持静止或作匀速直线运动。直线运动。质点保持静止或作匀速直线运动，也就是保质点保持静止或作匀速直线运动，也就是保持其运动状态不变，这种性质称为惯性。故点的持其运动状态不变，这种性质称为惯性。故点的匀速直线运动，称为匀速直线运动，称为惯性运动

6、惯性运动。所以第一定律也。所以第一定律也称为惯性定律。称为惯性定律。当质点受到外力作用，而这些作用又不互相当质点受到外力作用，而这些作用又不互相抵消时，它的运动状态将按一定规律发生变化。抵消时，它的运动状态将按一定规律发生变化。第二定律就表明了这一变化规律。第二定律就表明了这一变化规律。7理论力学电子教案理论力学电子教案质点的运动微分方程质点的运动微分方程第二定律（力与加速度之间关系的定律）第二定律（力与加速度之间关系的定律）(11-1)质点受外力作用时，将产生加速度，加速度的质点受外力作用时，将产生加速度，加速度的方向与力的方向相同，大小与力的大小成正比。方向与力的方向相同，大小与力的大小成

7、正比。上式称为上式称为质点动力学基本方程质点动力学基本方程。从该式还可以看出，质点质量越大，其运动状态从该式还可以看出，质点质量越大，其运动状态越不容易改变，也就是质点的惯性越大，因此，越不容易改变，也就是质点的惯性越大，因此，质质量是质点惯性的度量量是质点惯性的度量。或简写为：或简写为：8理论力学电子教案理论力学电子教案质点的运动微分方程质点的运动微分方程第三定律（作用与反作用定律）第三定律（作用与反作用定律）由于作用与反作用，引起了机械运动在相互由于作用与反作用，引起了机械运动在相互作用的两质点（物体）间发生转移。力就是这种作用的两质点（物体）间发生转移。力就是这种机械运动转移的反映。机械

8、运动转移的反映。两个质点间相互作用的力，总是大小相等，方两个质点间相互作用的力，总是大小相等，方向相反，且沿着同一直线，分别作用在这两个质向相反，且沿着同一直线，分别作用在这两个质点上。点上。在静力学里，研究物体的平衡用到它。在动力在静力学里，研究物体的平衡用到它。在动力学里，这一定律依然成立。学里，这一定律依然成立。9理论力学电子教案理论力学电子教案质点的运动微分方程质点的运动微分方程 以牛顿三定律为基础的力学，称为以牛顿三定律为基础的力学，称为古典力学或古典力学或经典力学经典力学，在此范畴，质量、空间和时间是，在此范畴，质量、空间和时间是“绝对绝对”的，与运动没有关系，但近代物理已经证明，

9、质的，与运动没有关系，但近代物理已经证明，质量、时间和空间都与物体的运动速度有关，只是当量、时间和空间都与物体的运动速度有关，只是当物体的运动速度远小于光速时，物体的运动对质量、物体的运动速度远小于光速时，物体的运动对质量、时间和空间的影响是微不足道的。时间和空间的影响是微不足道的。2.惯性参考系惯性参考系 动力学基本定律在其中能正确成立的参考系称动力学基本定律在其中能正确成立的参考系称为惯性参考系为惯性参考系,简称简称惯性系惯性系。在一般问题中。在一般问题中,与地球与地球固接的参考系或相对于地面作惯性运动的参考系固接的参考系或相对于地面作惯性运动的参考系,可近似看成惯性系。可近似看成惯性系。

10、10理论力学电子教案理论力学电子教案质点的运动微分方程质点的运动微分方程 要使车子在水平直线轨道上匀速前进，为什么要使车子在水平直线轨道上匀速前进，为什么还需不断对它施加水平推力？这与惯性定律有无矛还需不断对它施加水平推力？这与惯性定律有无矛盾？盾？试比较下述几种情况下站在电梯中的人对电梯试比较下述几种情况下站在电梯中的人对电梯地板的压力大小：地板的压力大小：(a)电梯静止不动；电梯静止不动；(b)电梯电梯匀速上升；匀速上升；(c)电梯匀速下降；电梯匀速下降；(d)电梯加速上电梯加速上升；升；(e)电梯减速下降。电梯减速下降。思思 考考 题题 11-1思思 考考 题题 11-211理论力学电子

11、教案理论力学电子教案质点的运动微分方程质点的运动微分方程 以下说法是否正确？以下说法是否正确？(a)质点如有运动则它一定质点如有运动则它一定受力，其运动方向总是与所受力的方向一致；受力，其运动方向总是与所受力的方向一致；(b)质点运动时，如速度大则它所受的力也大，质点运动时，如速度大则它所受的力也大，速度小则所受的力也小，若速度为零则质点不受力；速度小则所受的力也小，若速度为零则质点不受力；(c)机车以某一力牵引车辆加速前进时，车辆给机车机车以某一力牵引车辆加速前进时，车辆给机车的反力必小于机车对列车的牵引力。的反力必小于机车对列车的牵引力。思思 考考 题题 11-3 若不计空气阻力，自由下落

12、的石块与向下仍（即若不计空气阻力，自由下落的石块与向下仍（即给以向下的初速）的石块，哪一个加速度较大？给以向下的初速）的石块，哪一个加速度较大？思思 考考 题题 11-412理论力学电子教案理论力学电子教案质点的运动微分方程质点的运动微分方程11-2 质点的运动微分方程质点的运动微分方程(11-2)(11-3)动力学基本方程动力学基本方程是矢量方程，为了便于计算，常是矢量方程，为了便于计算，常将它改写成投影式，并表示为微分形式的方程，称将它改写成投影式，并表示为微分形式的方程，称为为质点的运动微分方程质点的运动微分方程。13理论力学电子教案理论力学电子教案质点的运动微分方程质点的运动微分方程(

13、11-4)1.质点运动微分方程在直角坐标投影质点运动微分方程在直角坐标投影 设质量为设质量为m的质点的质点M，作平面曲线运动。取直，作平面曲线运动。取直角坐标系角坐标系Oxy，将质点受到的力与加速度在将质点受到的力与加速度在直角坐直角坐标轴上投影得：标轴上投影得：14理论力学电子教案理论力学电子教案质点的运动微分方程质点的运动微分方程式式(11-4)和和(11-5)是两种常用是两种常用的质点运动微分方程。可以求的质点运动微分方程。可以求 解质点动力学两类问题。解质点动力学两类问题。2.质点运动微分方程在自然轴上投影质点运动微分方程在自然轴上投影(11-5)动力学基本方程在自然轴系上的投影为：动

14、力学基本方程在自然轴系上的投影为：由运动学知由运动学知15理论力学电子教案理论力学电子教案质点的运动微分方程质点的运动微分方程5)求解未知量求解未知量。(1)第一类：已知质点的第一类：已知质点的运动运动，求作用在质点上的，求作用在质点上的力力（微分问题微分问题）解题步骤和要点：）解题步骤和要点：1)正确选择正确选择研究对象研究对象；（一般选择联系已知量和；（一般选择联系已知量和待求量的质点）。待求量的质点）。2)正确进行正确进行受力分析受力分析,画出受力图；画出受力图；(应在应在一般一般位置位置上进行分析上进行分析)。3)正确进行正确进行运动分析运动分析；（分析质点运动的特征量）；（分析质点运

15、动的特征量）。4)选择并列出适当形式的选择并列出适当形式的质点运动微分方程质点运动微分方程；（建立坐标系）。（建立坐标系）。16理论力学电子教案理论力学电子教案质点的运动微分方程质点的运动微分方程 5)求解未知量求解未知量。根据力的函数形式决定如何积分，。根据力的函数形式决定如何积分，并利用运动的初始条件，求出质点的运动。并利用运动的初始条件，求出质点的运动。(2)第二类：已知作用在质点上的第二类：已知作用在质点上的力力，求质点的，求质点的运动运动（积分问题积分问题）解题步骤如下：）解题步骤如下：1)正确选择正确选择研究对象研究对象。2)正确进行受力分析，画出正确进行受力分析，画出受力图受力图

16、。判断力是。判断力是什么性质的力（应放在什么性质的力（应放在一般位置一般位置上进行分析，上进行分析，对变力建立力的表达式）。对变力建立力的表达式）。3)正确进行正确进行运动分析运动分析。(除应分析质点的运动除应分析质点的运动特征外，还要确定出其运动初始条件）。特征外，还要确定出其运动初始条件）。4)选择并列出适当形式的选择并列出适当形式的质点运动微分方程质点运动微分方程。17理论力学电子教案理论力学电子教案质点的运动微分方程质点的运动微分方程 桥式起重机跑车用钢丝绳吊挂一质量桥式起重机跑车用钢丝绳吊挂一质量为为m的重物，沿水平横梁作匀速运动，速度为的重物，沿水平横梁作匀速运动，速度为v0，重，

17、重物中心至悬挂点距离为物中心至悬挂点距离为l。突然刹车，重物因惯性绕。突然刹车，重物因惯性绕悬挂点向前摆动，试求钢丝绳的最大拉力。悬挂点向前摆动，试求钢丝绳的最大拉力。解：解：1.选重物选重物(抽象为质点抽象为质点)为为研究对象研究对象2.受力分析受力分析3.运动分析运动分析，沿以悬挂点，沿以悬挂点为圆心为圆心,l 为半径的圆弧摆为半径的圆弧摆动。动。例题例题 11-118理论力学电子教案理论力学电子教案质点的运动微分方程质点的运动微分方程4.列出质点运动微分方程列出质点运动微分方程5.求解未知量求解未知量例题例题 11-1P=mg19理论力学电子教案理论力学电子教案质点的运动微分方程质点的运

18、动微分方程例题例题 11-1讨论讨论(1)减小绳子拉力途径：减小跑车速度或者增加绳减小绳子拉力途径：减小跑车速度或者增加绳子长度。子长度。(2)拉力拉力FTmax由两部分组成由两部分组成,一部分等于物体重量一部分等于物体重量,称为静拉力。一部分由加速度引起，称为附加称为静拉力。一部分由加速度引起，称为附加动拉力。全部拉力称为动拉力。动拉力。全部拉力称为动拉力。20理论力学电子教案理论力学电子教案质点的运动微分方程质点的运动微分方程例题例题 11-2 煤矿用填充机进行填充煤矿用填充机进行填充,为保证充填材料抛到为保证充填材料抛到距离为距离为s=5 m，H=1.5 m的顶板的顶板A处。试求处。试求

19、(1)充填充填材料需有多大的初速度材料需有多大的初速度v0？(2)初速初速 与水平的夹与水平的夹角角j j 0？不计空气阻力。不计空气阻力。21理论力学电子教案理论力学电子教案质点的运动微分方程质点的运动微分方程选择填充材料选择填充材料M为研究对象，画受力图，为研究对象，画受力图，M作作斜抛运动。斜抛运动。解：已知力为常量，属于第二类问题。解：已知力为常量，属于第二类问题。22理论力学电子教案理论力学电子教案质点的运动微分方程质点的运动微分方程列直角坐标形式的质点列直角坐标形式的质点运动微分方程并对其积运动微分方程并对其积分运算分运算23理论力学电子教案理论力学电子教案质点的运动微分方程质点的

20、运动微分方程代入最高点代入最高点A处值，得：处值，得：即即 将到达将到达A点时的时间点时的时间t，x=s，y=H 代入运动方程，得代入运动方程，得24理论力学电子教案理论力学电子教案质点的运动微分方程质点的运动微分方程抛射初速度大小与发射角抛射初速度大小与发射角j j0为：为：25理论力学电子教案理论力学电子教案质点的运动微分方程质点的运动微分方程 铅垂上抛的物体，铅垂上抛的物体，至少应具有多大的初速才可不再回至少应具有多大的初速才可不再回到地球。这一速度称为第二宇宙速到地球。这一速度称为第二宇宙速度。不计空气阻力。度。不计空气阻力。例题例题 11-3 解：取物体（视为质点解：取物体（视为质点

21、)为研究为研究对象，建立坐标，并作受力图。对象，建立坐标，并作受力图。M地球质量，地球质量，f万有引力常数万有引力常数26理论力学电子教案理论力学电子教案质点的运动微分方程质点的运动微分方程则在任意位置时的速度则在任意位置时的速度 即：即：例题例题 11-327理论力学电子教案理论力学电子教案质点的运动微分方程质点的运动微分方程 可见，可见，v随着随着x的增加而减小。若的增加而减小。若 则则在某一位置在某一位置 x=R+H 时速度将减小到零，物体回时速度将减小到零，物体回 落。若落。若 时，无论时，无论x多大（甚至为多大（甚至为），物），物体也不会回落。因此脱离地球引力而一去不返体也不会回落。

22、因此脱离地球引力而一去不返 时时（）的最小初速度（）的最小初速度（第二宇宙速度）（第二宇宙速度）例题例题 11-328理论力学电子教案理论力学电子教案质点的运动微分方程质点的运动微分方程 已知地球半径已知地球半径R=6370km,试求地面附近人造卫星环绕地球的速度。试求地面附近人造卫星环绕地球的速度。这一速度称为第一宇宙速度。不计空气这一速度称为第一宇宙速度。不计空气阻力。阻力。例题例题 11-4 解：取卫星（视为质点解：取卫星（视为质点)为研究对象，为研究对象，建立坐标，并作受力图。设人造卫星环建立坐标，并作受力图。设人造卫星环绕地球做匀速圆周运动，速度为绕地球做匀速圆周运动，速度为v。略。

23、略去空气阻力，它只受重力去空气阻力，它只受重力P。P=mg（第一宇宙速度）（第一宇宙速度）29理论力学电子教案理论力学电子教案质点的运动微分方程质点的运动微分方程 试解释人造卫星（或宇宙飞船）上的物体失重试解释人造卫星（或宇宙飞船）上的物体失重现象。现象。思考题思考题 11-4答：答：rRmgFNv30理论力学电子教案理论力学电子教案质点的运动微分方程质点的运动微分方程 牛顿第一定律和牛顿第二定律只适用于惯性牛顿第一定律和牛顿第二定律只适用于惯性参考系，对于非惯性参考系是不适用的参考系，对于非惯性参考系是不适用的。下面将建。下面将建立非惯性系中的质点动力学基本方程。但这里的时立非惯性系中的质点

24、动力学基本方程。但这里的时间、质量及空间尺度的度量都是绝对的，速度也远间、质量及空间尺度的度量都是绝对的，速度也远小于光速，研究对象仍为宏观物体的机械运动，因小于光速，研究对象仍为宏观物体的机械运动，因此仍属于古典力学（或称经典力学）范畴。此仍属于古典力学（或称经典力学）范畴。31理论力学电子教案理论力学电子教案质点的运动微分方程质点的运动微分方程 在非惯性系中，质点动力学的基在非惯性系中，质点动力学的基本方程不同于惯性系。本方程不同于惯性系。如图如图,设质点设质点M相对相对O x y z 运动，选取一惯性参考系运动，选取一惯性参考系Oxyz作为作为定参考系。则有定参考系。则有11-3非惯性系

25、中质点动力学的基本方程非惯性系中质点动力学的基本方程则则(11-6)32理论力学电子教案理论力学电子教案质点的运动微分方程质点的运动微分方程 上式称为非惯性系中的上式称为非惯性系中的质点动力学基本方程质点动力学基本方程,或称或称为为质点相对运动动力学基本方程质点相对运动动力学基本方程。其中。其中FIe称为称为牵连牵连惯性力惯性力，FIC称为称为科氏惯性力科氏惯性力，可以理解为非惯性参，可以理解为非惯性参考系中对于牛顿第二定律的修正项。它们具有力的考系中对于牛顿第二定律的修正项。它们具有力的量纲量纲,且与质量有关，因而称之为惯性力。且与质量有关，因而称之为惯性力。在动参考系中，上式可以写成微分方

26、程形式，即在动参考系中，上式可以写成微分方程形式，即(11-7)上式称为上式称为非惯性系中的质点运动微分方程非惯性系中的质点运动微分方程，或称为，或称为质点相对运动微分方程。应用该方程时，一般取适质点相对运动微分方程。应用该方程时，一般取适当的投影形式。当的投影形式。33理论力学电子教案理论力学电子教案质点的运动微分方程质点的运动微分方程几种特殊情况几种特殊情况(1)当动参考系相对定参考系做平移，当动参考系相对定参考系做平移，aC=0，FIC=0，则则(2)当动参考系相对定参考系做匀速直线运动，当动参考系相对定参考系做匀速直线运动，FIe=FIC=0，则，则 表明在这样的参考系，牛顿定律也适用

27、。故所有表明在这样的参考系，牛顿定律也适用。故所有相对于惯性参考系作匀速直线平移的参考系都是惯相对于惯性参考系作匀速直线平移的参考系都是惯性参考系。另可看出，参考系作惯性运动，质点的性参考系。另可看出，参考系作惯性运动，质点的相对运动不受牵连运动的影响。在惯性参考系中的相对运动不受牵连运动的影响。在惯性参考系中的任何力学现象，都无助于发觉该参考系本身的运动任何力学现象，都无助于发觉该参考系本身的运动情况，以上称为情况，以上称为相对性原理相对性原理。34理论力学电子教案理论力学电子教案质点的运动微分方程质点的运动微分方程 (3)当质点相对动参考系静止时，有当质点相对动参考系静止时，有ar=0,v

28、r=0,又又FIC=0,则则(4)当质点相对于动参考系作等速直线运动时，有当质点相对于动参考系作等速直线运动时，有ar=0，则，则上式称为上式称为质点相对静止的平衡方程质点相对静止的平衡方程，即当质点在非惯，即当质点在非惯性参考系中保持相对静止时，作用在质点上的力与质性参考系中保持相对静止时，作用在质点上的力与质点的牵连惯性力相互平衡。点的牵连惯性力相互平衡。上式称为上式称为质点的相对平衡方程质点的相对平衡方程。可见在非惯性参。可见在非惯性参考系中，质点相对静止和作等速直线运动时，其平考系中，质点相对静止和作等速直线运动时，其平衡条件是不同的。衡条件是不同的。35理论力学电子教案理论力学电子教

29、案质点的运动微分方程质点的运动微分方程 站在磅秤上的人，在他突然下蹲的瞬时，指针站在磅秤上的人，在他突然下蹲的瞬时，指针向读数大的一边偏，还是向读数小的一边偏？为什向读数大的一边偏，还是向读数小的一边偏？为什么？么？思考题思考题 11-5答：静止时，答：静止时，FN=P 突然下蹲时，突然下蹲时，aC方向向下，方向向下，-maC=FN-P，FN=P-maCP,所以指针向读数小的一边偏。所以指针向读数小的一边偏。若人突然站起来的瞬时，则指针向读数大的一若人突然站起来的瞬时，则指针向读数大的一边偏。边偏。36理论力学电子教案理论力学电子教案质点的运动微分方程质点的运动微分方程 汽车以大小不变的速度汽

30、车以大小不变的速度v通过图示路面上通过图示路面上A、B、C三点。试画出汽车（作为一个质点）通过各该点时三点。试画出汽车（作为一个质点）通过各该点时的受力图，并讨论汽车对路面的压力在上述三点处是的受力图，并讨论汽车对路面的压力在上述三点处是否相同？在哪一点处时压力最大？在哪一点处时压力否相同？在哪一点处时压力最大？在哪一点处时压力最小？最小？思考题思考题 11-637理论力学电子教案理论力学电子教案质点的运动微分方程质点的运动微分方程 煤矿用填充机进行填充煤矿用填充机进行填充,为保证充填材料抛到距为保证充填材料抛到距离为离为s=5 m，H=1.5 m的顶板的顶板A处。试求处。试求(1)充填材料充填材料需有多大的初速度需有多大的初速度v0？(2)初速初速 与水平的夹角与水平的夹角j j 0？设空气阻力设空气阻力F=kmv,m 为填充材料的质量，比例为填充材料的质量，比例系数系数k=0.05s-1。思考题思考题 11-738理论力学电子教案理论力学电子教案质点的运动微分方程质点的运动微分方程39理论力学电子教案理论力学电子教案质点的运动微分方程质点的运动微分方程此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢