多元统计分析第3章 假设检验.ppt

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1、第三章第三章 多元正态分布多元正态分布均值向量和协差阵的检验均值向量和协差阵的检验p引言引言p多元正态分布均值向量的检验多元正态分布均值向量的检验p多元正态分布协差阵的检验多元正态分布协差阵的检验p假设检验与置信区域假设检验与置信区域pR codesR codes第一节第一节 引言引言 p在单一变量的统计分析中，已经给出了正在单一变量的统计分析中，已经给出了正态总体态总体N(,2)的均值的均值 和方差和方差 2 2的各种检验的各种检验p对于多变量的正态总体对于多变量的正态总体Np(,)，各种实际各种实际问题同样要求对问题同样要求对 和和进行统计推断。进行统计推断。考察全国各省、自治区和直辖市的

2、社会经济发考察全国各省、自治区和直辖市的社会经济发展状况，与全国平均水平相比较有无显著性差展状况，与全国平均水平相比较有无显著性差异异 假设检验的基本步骤假设检验的基本步骤1.1.提出待检验的假设提出待检验的假设H H0 0和和H H1 1；2.2.给出检验的统计量及其服从的分布；给出检验的统计量及其服从的分布；3.3.给定检验水平，查统计量的分布表，确定相应给定检验水平，查统计量的分布表，确定相应的临界值，从而得到否定域；的临界值，从而得到否定域；4.4.根据样本观测值计算出统计量的值，看是否落根据样本观测值计算出统计量的值，看是否落入否定域中，以便对待判假设做出决策（拒绝入否定域中，以便对

3、待判假设做出决策（拒绝或接受）。或接受）。p关键在于对不同的检验给出相应的关键在于对不同的检验给出相应的统计量统计量及其及其分布分布p注意事项：给出结论但不给出该结论所包含的注意事项：给出结论但不给出该结论所包含的风险是极端不负责任的风险是极端不负责任的p单一变量检验的回顾及单一变量检验的回顾及HotellingT2分布分布p一个正态总体均值向量的检验一个正态总体均值向量的检验p两个正态总体均值向量的检验两个正态总体均值向量的检验p多个正态总体均值向量的检验多个正态总体均值向量的检验第二节第二节 均值向量的检验均值向量的检验单一变量检验的回顾单一变量检验的回顾-2已知已知p在单一变量的检验问题

4、中，设在单一变量的检验问题中，设 来自总来自总体体N(,2)的样本，检验假设的样本，检验假设p 2已知时，用已知时，用统计量统计量p当假设成立时，该统计量服从标准正态分布，从当假设成立时，该统计量服从标准正态分布，从而否定域为而否定域为 ，为为 的的 上分位点上分位点 一个正态总体一个正态总体均值向量均值向量的检验的检验-已知已知 一个正态总体一个正态总体均值向量均值向量的检验的检验-已知已知单一变量检验的回顾单一变量检验的回顾-2 2未知未知Hotelling T2 分布分布一个正态总体一个正态总体均值向量均值向量的检验的检验-未知未知Hotelling T2 分布分布F分布分布一个正态总体

5、一个正态总体均值向量均值向量的检验的检验-未知未知p例例：对对某地区某地区农农村村的的6名名2周周岁岁男男婴婴的的身高、胸身高、胸围围、上半臂、上半臂围围进进行行测测量，得量，得如下如下样样本数据本数据p该该地区地区城市城市2周周岁岁男男婴婴的的这这三个指三个指标标的均的均值值0=(90,58,16)，在多，在多元正元正态态性假定下性假定下检验该检验该地区地区农农村男村男婴婴是否与城市男是否与城市男婴婴有相同的有相同的均均值值p假假设检验问题设检验问题：H0：=0，H1：0表：某地区农村男婴的体格测量数据编编 号号身高身高(cm)胸围胸围(cm)上半臂围上半臂围(cm)17860.616.52

6、7658.112.539263.214.548159.014.058160.815.568459.514.0查查表得表得F0.01(3,3)=29.5，于是，于是故故在在显显著性水平著性水平=0.01下，拒下，拒绝绝原假原假设设H0，即，即认为农认为农村与城村与城市的市的2周周岁岁男男婴婴上述三个指上述三个指标标的均的均值值有有显显著差异著差异(p=0.002)。R codesR codeschild=read.table(file=children.dat)child=read.table(file=children.dat)data=as.matrix(child)data=as.matr

7、ix(child)mu0=as.matrix(c(90,58,16),ncol=1)mu0=as.matrix(c(90,58,16),ncol=1)x.bar=as.matrix(colMeans(data),ncol=1)x.bar=as.matrix(colMeans(data),ncol=1)#data-mean#data-meandata.sweep=sweep(data,2,colMeans(data)data.sweep=sweep(data,2,colMeans(data)n=6;p=3;n=6;p=3;S=t(data)%*%data-n*x.bar%*%t(x.bar)S=

8、t(data)%*%data-n*x.bar%*%t(x.bar)T2=(n-1)*n*t(x.bar-mu0)%*%solve(S)%*%(x.bar-mu0)T2=(n-1)*n*t(x.bar-mu0)%*%solve(S)%*%(x.bar-mu0)p.value=1-pf(n-p)/(n-1)/p*T2,p,n-p)p.value=1-pf(n-p)/(n-1)/p*T2,p,n-p)两个两个正态总体均值向量的检验正态总体均值向量的检验两个正态总体均值向量的检验两个正态总体均值向量的检验两个正态总体均值向量的检验两个正态总体均值向量的检验两个正态总体均值向量的检验两个正态总体均值向量

9、的检验两个正态总体均值向量的检验两个正态总体均值向量的检验两个正态总体均值向量的检验两个正态总体均值向量的检验多个正态总体均值向量的检验多个正态总体均值向量的检验多个正态总体均值向量的检验多个正态总体均值向量的检验多个正态总体均值向量的检验多个正态总体均值向量的检验多个正态总体均值向量的检验多个正态总体均值向量的检验多个正态总体均值向量的检验多个正态总体均值向量的检验多个正态总体均值向量的检验多个正态总体均值向量的检验多个正态总体均值向量的检验多个正态总体均值向量的检验多个正态总体均值向量的检验多个正态总体均值向量的检验第三节第三节 协差阵的检验协差阵的检验p一个正态总体协差阵的检验一个正态总

10、体协差阵的检验p多个正态总体协差阵相等的检验多个正态总体协差阵相等的检验一个一个正态总体协差阵的检验正态总体协差阵的检验p构造思想：似然比检验构造思想：似然比检验p服从分布：服从分布：分布分布一个一个正态总体协差阵的检验正态总体协差阵的检验一个一个正态总体协差阵的检验正态总体协差阵的检验多个多个正态总体协差阵是否相等的检验正态总体协差阵是否相等的检验多个多个正态总体协差阵是否相等的检验正态总体协差阵是否相等的检验多个多个正态总体协差阵是否相等的检验正态总体协差阵是否相等的检验至少有一对至少有一对第四节第四节 置信区域置信区域p置信区间与假设检验置信区间与假设检验p置信区域与假设检验置信区域与假

11、设检验p一个正态总体均值向量的置信区域一个正态总体均值向量的置信区域一个正态一个正态总体总体均值向量均值向量的的置信区域置信区域-未知未知p的置信度的置信度为为1的置信区域的置信区域为为当当p=1时时，它是一个区，它是一个区间间；当当p=2时时，它是一个，它是一个椭圆椭圆，可在坐，可在坐标标平面上画出平面上画出当当p=3时时，它是一个，它是一个椭椭球；球；当当p3时时，它是一个超，它是一个超椭椭球；它球；它们们均以均以 为为中心。中心。p置信区域与假置信区域与假设检验设检验:0包含在上述置信区域内，包含在上述置信区域内，当且当且仅仅当原假当原假设设 H0：=0在在显显著性水平著性水平下被下被接

12、受。接受。p可以通可以通过过构造置信区域的方法来构造置信区域的方法来进进行假行假设检验设检验一个正态总体一个正态总体均值向量均值向量的的置信区域置信区域-未知未知p例例 为评为评估某估某职业职业培培训训中心的教学效果，随机抽取中心的教学效果，随机抽取8名受名受训训者，者，进进行甲和乙两个行甲和乙两个项项目的目的测试测试，其数据列于，其数据列于下下表。假定表。假定X=(X1,X2)服从二元正服从二元正态态分布。分布。n=8,p=2，取，取1=0.90，F0.10(2,6)=3.46，于是，于是，T20.10=8.073。表：两个项目的测试成绩编编 号号12345678甲项成绩甲项成绩X16280

13、668475805479乙项成绩乙项成绩X27077758787916184的的0.90置信区域置信区域为为 这这是一个是一个椭圆椭圆区域区域.1和和2的的0.90联联合合T2置信区置信区间为间为 61.84183.16，68.80289.20这这两个区两个区间间分分别别正是正是椭圆椭圆在在1轴轴和和2轴轴上的投影上的投影置信椭圆和联合置信区间（注：图中矩形为修正的联合置信区间，如邦弗伦尼(Bonferroni)利用置信区域进行假设检验利用置信区域进行假设检验p如果在如果在=0.10下下对对假假设设 H0：=0，H1：0 进进行行检验检验，其中，其中=(1,2)，0=(01,02),容易利用容

14、易利用置信置信椭圆椭圆得出得出检验检验的的结结果。果。p若被若被检验值检验值0位于置信位于置信椭圆椭圆外，外，则则拒拒绝绝；反之，；反之，则则接受。接受。p当当0位于位于椭圆椭圆外外、矩形内的位置（如矩形内的位置（如A点）点）时时，检验结检验结果果虽虽拒拒绝绝H0，但在，但在=0.10下分下分别检验别检验H01：1=01，H11：101 和和 H02：2=02，H12：202则检验结则检验结果都将接受原假果都将接受原假设设；p当当0位于位于椭圆椭圆内内、矩形外的位置（如矩形外的位置（如B点）点）时时，检验结检验结果果虽虽接受接受H0，但，但H01：1=01和和H02：2=02都将会被拒都将会被

15、拒绝绝R codespTest the mean#Code for computing one sample Hotelling T-squared testsweat-read.table(file=datasets/sweat.dat,header=F,col.names=c(subject,x1,x2,x3)xbar-colMeans(sweat,2:4)xvar-var(sweat,2:4)#Compute Hotelling statistic p-nrow(xvar);n-nrow(sweat)nullmean-c(4,50,10);d-xbar-nullmean;t2-n*t(d

16、)%*%solve(xvar)%*%d;t2mod-(n-p)*t2/(p*(n-1)pval-1-pf(t2mod,p,n-p)cat(Hotelling T-squared statistic,t2,fill=T)cat(p-value,pval,fill=T)R codespHotellings T2 test:#alternative using the function in the ISCP package library(ICSNP)HotellingsT2(X=sweat,-1,mu=nullmean)#Hotellings one sample T2-test#data:sweat,-1#T.2=2.9045,df1=3,df2=17,p-value=0.06493#alternative hypothesis:true location is not equal to c(4,50,10)#Note that the T.2 given here is not the#Note that the T.2 given here is not the Hotellings T2 statistic,but the F-statistic.Hotellings T2 statistic,but the F-statistic.