计量经济学第3章-多元线性回归模型教学文案.ppt

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1、计量经济学第3章-多元线性回归模型 基本要求基本要求 1)理解多元线性回归模型的矩阵表示；理解多元线性回归模型的矩阵表示；2)了解多元线性回归模型的基本假设、多元线性回了解多元线性回归模型的基本假设、多元线性回归模型的普通最小二乘参数估计量与样本回归线的性质、归模型的普通最小二乘参数估计量与样本回归线的性质、多元线性回归模型随机误差项方差的估计；多元线性回归模型随机误差项方差的估计；3)学会对多元线性回归模型进行拟合优度检验，对学会对多元线性回归模型进行拟合优度检验，对多元线性回归模型的参数进行区间估计，掌握变量的显多元线性回归模型的参数进行区间估计，掌握变量的显著性检验和方程的显著性检验；著

2、性检验和方程的显著性检验；4)学会进行多元线性回归模型被解释变量的总体均值学会进行多元线性回归模型被解释变量的总体均值和个别值预测；和个别值预测；5)学会利用学会利用Eviews软件进行多元线性回归模型的参软件进行多元线性回归模型的参数估计、检验和预测。数估计、检验和预测。第三章第三章 多元线性回归模型多元线性回归模型第三章第三章 经典单方程计量经济学模型：多经典单方程计量经济学模型：多元线性回归模型元线性回归模型 多元线性回归模型多元线性回归模型 多元线性回归模型的参数估计多元线性回归模型的参数估计多元线性回归模型的统计检验多元线性回归模型的统计检验多元线性回归模型的预测多元线性回归模型的预

3、测第一节第一节 多元线性回归模型多元线性回归模型 一、一、多元线性回归模型多元线性回归模型 二、二、多元线性回归模型的基本假定多元线性回归模型的基本假定 一、多元线性回归模型一、多元线性回归模型 多元线性回归模型多元线性回归模型:表现在线性回归模型中的解释变量有多个。一般表现形式一般表现形式：i=1,2,n其中:k为解释变量的数目，j称为回归系数回归系数（regression coefficient）。也也被被称称为为总总体体回回归归函函数数的的随随机机表表达达形形式式。它它 的的非随机表达式非随机表达式为为:表示：表示：各变量各变量X X值固定时值固定时Y Y的平均响应的平均响应。习惯上习惯

4、上：把常数项（或截距项）常数项（或截距项）看成为一虚变量虚变量的系数，该虚变量的样本观测值始终取1。于是：模型中解释变量的数目为（模型中解释变量的数目为（k+1）总体回归模型n个随机方程的矩阵表达式矩阵表达式为:其中其中 j也被称为偏回归系数偏回归系数，表示在其他解释变量保持不变的情况下，X j每变化1个单位时，Y的均值E(Y)的变化;或者说j给出了X j的单位变化对Y均值的“直接”或“净”（不含其他变量）影响。用来估计总体回归函数的样本回归函数样本回归函数为：其其随机表示式随机表示式:ei称为残差残差或剩余项剩余项(residuals)，可看成是总体回归函数中随机扰动项 i的近似替代。样本回

5、归函数样本回归函数的矩阵表达矩阵表达:或或其中其中：二、多元线性回归模型的基本假定二、多元线性回归模型的基本假定 假设1，解释变量是非随机的或固定的，且各X之间互不相关（无多重共线性）。假设2，随机误差项具有零均值、同方差及不序列相关性。假设3，解释变量与随机项不相关 假设4，随机项满足正态分布 上述假设的上述假设的矩阵符号表示矩阵符号表示：假设1，n(k+1)维矩阵X是非随机的，且X的秩=k+1，即X满秩。假设2，回忆回忆线性代数线性代数中关于满秩、线性中关于满秩、线性无关无关!对角线说明了扰动项的同方差性！对对角线说明了扰动项的同方差性！对角线之外说明了扰动项的序列无关性！角线之外说明了扰

6、动项的序列无关性！假设4，向量 有一多维正态分布，即 假设3，E(X)=0，即 假设5，回归模型的设定是正确的。第二节第二节 多元线性回归模型的多元线性回归模型的 参数估计参数估计 任务任务 方法方法 模型结构参数模型结构参数、的估计的估计 随机随机误误差差项项的方差的方差的估的估计计 普通最小二乘法普通最小二乘法 一、参数的普通最小二乘估计一、参数的普通最小二乘估计二、参数的普通最小二乘估计量的性质二、参数的普通最小二乘估计量的性质三、普通最小二乘样本回归函数性质三、普通最小二乘样本回归函数性质五、样本容量问题五、样本容量问题四、随机误差项的方差的普通最小二乘估计四、随机误差项的方差的普通最

7、小二乘估计内容内容 估计方法：估计方法：3大类方法：大类方法：OLS、ML（最大似然法）（最大似然法）或者或者MM（矩估计法）（矩估计法）在经典模型中多应用在经典模型中多应用OLS在非经典模型中多应用在非经典模型中多应用ML或者或者MM在本节中，在本节中，ML与与MM为选学内容为选学内容多元线性回归模型参数估计的任务：多元线性回归模型参数估计的任务：1，求结构参数的估计量，求结构参数的估计量2，求得随机干扰项的方差估计，求得随机干扰项的方差估计一、普通最小二乘估计一、普通最小二乘估计对于随机抽取的n组观测值如果样本函数样本函数的参数估计值已经得到，则有：i=1,2n 根据最最小二乘原小二乘原理

8、理，参数估计值应该是右列方程组的解 其中最小化问题的一阶条件。最小化问题的一阶条件。于是得到关于待估参数估计值的正规方程组正规方程组：解该（k+1）个方程组成的线性代数方程组，即可得到(k+1)个待估参数的估计值$,jj=012L。k正规方程组正规方程组的矩阵形式矩阵形式即由于XX满秩，故有 正规方程组正规方程组 的另一种写法对于正规方程组正规方程组 于是 或(*)或（*）是多元线性回归模型正规方程组正规方程组的另一种写法。(*)(*)二、参数估计量的性质二、参数估计量的性质 在满足基本假设的情况下，其结构参数 的普通最小二乘估计具有：线性性线性性、无偏性无偏性、有效性有效性。同时，随着样本容

9、量增加，参数估计量具有：渐近无偏性、渐近有效性、一致性渐近无偏性、渐近有效性、一致性。1、线性性、线性性 其中,C=(XX)-1 X 为一仅与固定的X有关的行向量。可见，参数估计量是被解释变量Y的线性组合。2、无偏性、无偏性 等于等于0，因为解，因为解释变量与随机扰释变量与随机扰动项不相关。动项不相关。这里利用了假设:E(X)=0 3、有效性（最小方差性）有效性（最小方差性）的方差的方差-协协方差矩方差矩阵为阵为（3-16）其中利用了 和三、普通最小二乘样本回归函数性质三、普通最小二乘样本回归函数性质 1样样本回本回归线归线通通过样过样本均本均值值点，即点（点，即点（，）满满足足。样本回归函数

10、样本回归函数。3残差和残差和为为零，即零，即。2被解被解释变释变量的估量的估计计的均的均值值等于被解等于被解释变释变量的均量的均值值，即，即。4各解各解释变释变量与残差的乘量与残差的乘积积之和之和为为零，即零，即。5被解被解释变释变量的估量的估计计与残差的乘与残差的乘积积之和之和为为零，即零，即。四、随机误差项的方差的普通最小二乘估计四、随机误差项的方差的普通最小二乘估计多元线性回归模型的随机误差项的方差的普通最小二乘估计量为多元线性回归模型的随机误差项的方差的普通最小二乘估计量为 （3-18）是一个无偏估计量。是一个无偏估计量。容易看出，多元线性回归模型的随机误差项的方差的普通最小二乘估容易

11、看出，多元线性回归模型的随机误差项的方差的普通最小二乘估计量，与一元线性回归模型的随机误差项的方差的普通最小二乘估计量一致。计量，与一元线性回归模型的随机误差项的方差的普通最小二乘估计量一致。因为在一元线性回归模型中因为在一元线性回归模型中k=1。所以，残差平方和可用矩阵表示为所以，残差平方和可用矩阵表示为（3-19）五、样本容量问题五、样本容量问题 样本容量越大，样本观测数据对经济活动的反映越全面，从样本样本容量越大，样本观测数据对经济活动的反映越全面，从样本观测数据中发现规律的可能性就越大，计量经济研究的结果就越可靠。观测数据中发现规律的可能性就越大，计量经济研究的结果就越可靠。参数估参数

12、估计计的最小的最小样样本容量要求是本容量要求是例如，模型的例如，模型的检验检验要求有足要求有足够够大的大的样样本容量，本容量，z 检验检验在在 n 30 时不能使用，时不能使用，因为因为n 30时构造不出用于检验的服从标准正态分布的统计量；时构造不出用于检验的服从标准正态分布的统计量；t 检验在检验在时时才比才比较较有效，因有效，因为为时时 t 分布才比分布才比较稳较稳定。定。一般一般经验认为经验认为，当，当或者至少或者至少时时，才能，才能满满足基本要求。足基本要求。第三节第三节 多元线性回归模型的统计检验多元线性回归模型的统计检验 一、一、拟合优度检验拟合优度检验 二、二、方程的显著性检验方

13、程的显著性检验(F(F检验检验)三、三、变量的显著性检验（变量的显著性检验（t t检验）检验）四、四、参数的置信区间参数的置信区间 多元线性回归模型的参数估计出来后，即求出样本回归函数后，还需进一步对该样本回归函数进行统计检验，以判定估计的可靠程度。一、拟合优度检验一、拟合优度检验1、可决系数与调整的可决系数、可决系数与调整的可决系数 总离差平方和的分解总离差平方和的分解残差离差分解离差分解所以，在多元线性回归模型中，依然有所以，在多元线性回归模型中，依然有（3-20）即即（3-21）可决系数可决系数该统计量越接近于1，模型的拟合优度越高。问题：问题：在应用过程中发现，如果在模型中增加一个解释

14、变量，R2往往增大（Why?)因为残差平方和往往随着解释变量个数的增加而减少。这就给人一个错觉一个错觉：要使得模型拟合得好，只要增加要使得模型拟合得好，只要增加解释变量即可解释变量即可。但是，现实情况往往是，由增加解释变量个数引起的R2的增大与拟合好坏无关，因此在，因此在多元回归模型之间比较拟合优度，多元回归模型之间比较拟合优度，R2 就不是一个合适就不是一个合适的指标，必须加以的指标，必须加以调整调整。调整的可决系数调整的可决系数（adjusted coefficient of determination）在样本容量一定的情况下，增加解释变量必定使得自在样本容量一定的情况下，增加解释变量必定

15、使得自由度减少由度减少，所以调整的思路是:将残差平方和与总离差平将残差平方和与总离差平方和分别除以各自的自由度，以剔除变量个数对拟合优度方和分别除以各自的自由度，以剔除变量个数对拟合优度的影响的影响:其中：n-k-1为残差平方和的自由度，n-1为总体平方和的自由度。显然，如果增加的解释变量没有解释能力，则对残差平残差平方和方和RSS的减小的减小没有多大的帮助，却增加了待估参数的个数，从而使得 有较大幅度的下降。没有绝对的标准，要看具体的情况而定。模型的拟合优度并没有绝对的标准，要看具体的情况而定。模型的拟合优度并不是判断模型质量的唯一标准，有时甚至为了追求模型的经不是判断模型质量的唯一标准，有

16、时甚至为了追求模型的经济意义，可以牺牲一点拟合优度。济意义，可以牺牲一点拟合优度。*赤池信息准则和施瓦茨准则赤池信息准则和施瓦茨准则 为了比较所含解释变量个数不同的多元回归模型的拟合优度，常用的标准还有:赤池信息准则赤池信息准则（Akaike information criterion,AIC）施瓦茨准则施瓦茨准则（Schwarz criterion，SC）这两准则均要求这两准则均要求仅当所增加的解释变量能够仅当所增加的解释变量能够减少减少AICAIC值或值或SCSC值时才在原模型中增加该解释变量值时才在原模型中增加该解释变量。二、方程的显著性检验二、方程的显著性检验(F(F检验检验)方程的显

17、著性检验，旨在对模型中被解释变量与解方程的显著性检验，旨在对模型中被解释变量与解释变量之间的线性关系在总体上是否显著成立作出推断。释变量之间的线性关系在总体上是否显著成立作出推断。1、方程显著性的、方程显著性的F检验检验 即检验模型 Yi=0+1X1i+2X2i+kXki+i i=1,2,n中的参数 是否显著不为0。方程的显著性检验所应用的方法仍是数理统计学中的方程的显著性检验所应用的方法仍是数理统计学中的假设检验假设检验。可提出如下原假设与备择假设：H0：1=2=k=0 H1：j (j=1,2,.k)不全为0 F F检验的思想检验的思想来自于总离差平方和的分解式：TSS=ESS+RSS 如果

18、这个比值较大，则X的联合体对Y的解释程度高，可认为总体存在线性关系，反之总体上可能不存在线性关系。因此因此,可通过该比值的大小对总体线性关系可通过该比值的大小对总体线性关系进行推断进行推断。根据数理统计学中的知识，在原假设H0成立的条件下，统计量 服从自由度为(k,n-k-1)的F分布。给定显著性水平，查表可得到临界值F(k,n-k-1)，由样本求出统计量F的数值，通过 F F(k,n-k-1)或 FF(k,n-k-1)来拒绝或接受原假设H0，以判定原方程总体上总体上的线性关系是否显著成立。2、关于拟合优度检验与方程显著性检验关系的讨论关于拟合优度检验与方程显著性检验关系的讨论 拟合优度检验和

19、方程总体线性的显著性检验是从不同原理出拟合优度检验和方程总体线性的显著性检验是从不同原理出发的两类检验，发的两类检验，前者前者是从已经得到估计的模型出发，检验它是从已经得到估计的模型出发，检验它对样本观测值的拟合程度，对样本观测值的拟合程度，后者后者是从样本观测值出发检验模是从样本观测值出发检验模型总体线性关系的显著性。型总体线性关系的显著性。二者又是关联的，模型对样本观测值的拟合程度高，模型总二者又是关联的，模型对样本观测值的拟合程度高，模型总体线性关系的显著性就强。体线性关系的显著性就强。因此，找到两个用作检验标准的因此，找到两个用作检验标准的统计量之间的数量关系统计量之间的数量关系，在，

20、在实际应用中互为验证，是有实际意义的。实际应用中互为验证，是有实际意义的。由可推出：与或这两个统计量之间的关系：这两个统计量之间的关系：三、变量的显著性检验（三、变量的显著性检验（t t检验）检验）方程的总体线性总体线性关系显著 每个解释变量每个解释变量对被解释变量的影响都是显著的。因此，必须对每个解释变量进行显著性检验，以决定是否作为解释变量被保留在模型中。如果某个变量对被解释变量的影响并不显著，就应该将它剔除，以建立更为简单的模型。这一检验是由对变量的这一检验是由对变量的 t 检验完成的。检验完成的。1、t统计量统计量 由于 以cjj表示矩阵(XX)-1 主对角线上的第j+1个元素，于是参

21、数估计量的方差为：其中2为随机误差项的方差，在实际计算时，用它的估计量代替:因此，可构造如下t统计量 因为因为 服从如下正态分布服从如下正态分布 2、t检验检验 设计原假设与备择假设：H1：j0 给定显著性水平，查表可得到临界值t/2(n-k-1)，由样本求出统计量t的数值，通过|t|t/2(n-k-1)或|t|t/2(n-k-1)来拒绝或接受原假设H0，从而判定对应的解释变判定对应的解释变量是否应包括在模型中。量是否应包括在模型中。H0：j=0 （j=0,1,2k）双尾双尾注意：注意：一元线性回归中，一元线性回归中，t t检验与检验与F F检验一致检验一致 一方面一方面，t检验与F检验都是对

22、相同的原假设H0：1=0=0 进行检验;另一方面另一方面，两个统计量之间有如下关系：在实际中，各个变量的在实际中，各个变量的t值相差较大，有的在很高的显值相差较大，有的在很高的显著性水平下影响显著，有的则在不太高的显著性水平著性水平下影响显著，有的则在不太高的显著性水平下影响显著，是否都认为通过显著性检验？下影响显著，是否都认为通过显著性检验？没有绝对的显著性水平。关键仍然是考察变量在经济没有绝对的显著性水平。关键仍然是考察变量在经济关系上是否对解释变量有影响关系上是否对解释变量有影响，显著性检验起到验证，显著性检验起到验证的作用；同时还要看显著性水平不太高的变量在模型的作用；同时还要看显著性

23、水平不太高的变量在模型中及模型应用中的作用，不要简单的剔除变量。中及模型应用中的作用，不要简单的剔除变量。四、参数的置信区间四、参数的置信区间 参参数数的的置置信信区区间间用来考察：在在一一次次抽抽样样中中所所估计的参数值离参数的真实值有多估计的参数值离参数的真实值有多“近近”。在变量的显著性检验中已经知道：在变量的显著性检验中已经知道：容易推出容易推出：在(1-)的置信水平下j的置信区间是 其中，t/2为显著性水平为、自由度为n-k-1的临界值。如何才能缩小置信区间？如何才能缩小置信区间？增大样本容量增大样本容量n n，因为在同样的样本容量下，n越大，t分布表中的临界值越小，同时，增大样本容

24、量，还可使样本参数估计量的标准差减小；提高模型的拟合优度提高模型的拟合优度，因为样本参数估计量的标准差与残差平方和呈正比，模型优度越高，残差平方和应越小，置信区间的就越窄。在实际应用中，我们希望置信度越高越好，置信区在实际应用中，我们希望置信度越高越好，置信区间越小越好。间越小越好。提高样本观测值的分散度提高样本观测值的分散度,一般情况下，样本观测值越分散，的分母的|XX|的值越大，越小，致使区间缩小。值得注意的是：值得注意的是：置信度的高低与置信区间的大小存在此消彼涨的置信度的高低与置信区间的大小存在此消彼涨的关系。置信度越高，在其他情况不变时，临界值关系。置信度越高，在其他情况不变时，临界

25、值越大，置信区间越大。如果要求缩小置信区间，越大，置信区间越大。如果要求缩小置信区间，在其他情况不变时，就必须降低对置信度的要求。在其他情况不变时，就必须降低对置信度的要求。第四节第四节 多元线性回归模型的多元线性回归模型的 预测预测被解释变量的总体均值的点预测被解释变量的总体均值的点预测被解释变量的总体均值的区间预测被解释变量的总体均值的区间预测被解释变量的个别值的区间预测被解释变量的个别值的区间预测(Why?)将已知或事先将已知或事先测测定的定的样样本本观观察数据以外的解察数据以外的解释变释变量的量的观观察察值记为值记为，对应对应的被解的被解释变释变量的量的观观察察值记为值记为由由样样本回

26、本回归归函数函数，对应对应于解于解释变释变量量，被解，被解释变释变量量的的预测值为预测值为（3-33）作作为为被解被解释变释变量的量的总总体均体均值值的点的点预测预测 这这是被解是被解释变释变量的量的总总体均体均值值的一个无偏估的一个无偏估计计 一、总体均值一、总体均值的点预测的点预测表表3-1 某商品的销售量、价格、售后服务支出数据某商品的销售量、价格、售后服务支出数据序号序号销销售量售量Y （千个）（千个）价格价格X1（元（元/个）个）售后服售后服务务支出支出X2（万元）（万元）12345678910111213141516171819202122121133130126131147148

27、159160156155157179189180183202200201203258234150014901480147014601450144014301420141014001390138013701360135013401330132013101300129012151310111413151312111015151312141211101512例例3-63-6假设已获得假设已获得了某商品的了某商品的销售量、价销售量、价格、售后服格、售后服务支出数据务支出数据如表如表3-1所示，所示，求价格为求价格为1250元元/个、售后服个、售后服务支出为务支出为16万万元时销售量的元时销售量的预测值

28、。预测值。263.603（千个）（千个）也可以表示也可以表示为为的的线线性性组组合，合，服从正服从正态态分布。分布。由于由于所以所以二、总体均值二、总体均值的预测置信区间的预测置信区间用用的无偏估的无偏估计计量量替代替代，有，有对对于于给给定的定的显显著性水平著性水平 其中其中由此可得，由此可得，总总体均体均值值的置信度的置信度为为的的预测预测置信区置信区间为间为 （3-34）表表3-1 某商品的销售量、价格、售后服务支出数据某商品的销售量、价格、售后服务支出数据序号序号销销售量售量Y （千个）（千个）价格价格X1（元（元/个）个）售后服售后服务务支出支出X2（万元）（万元）123456789

29、10111213141516171819202122121133130126131147148159160156155157179189180183202200201203258234150014901480147014601450144014301420141014001390138013701360135013401330132013101300129012151310111413151312111015151312141211101512例例3-73-7假设已获得假设已获得了某商品的了某商品的销售量、价销售量、价格、售后服格、售后服务支出数据务支出数据如表如表3-1所示，所示，求价格为求

30、价格为1250元元/个、售后服个、售后服务支出为务支出为16万万元时销售量的元时销售量的均值的置信度均值的置信度为为95%的预测的预测置信区间。置信区间。已知已知 所以所以三、个别值三、个别值的预测置信区间的预测置信区间用用的无偏估的无偏估计计量量替代替代，有，有其中其中对对于于给给定的定的显显著性水平著性水平由此可得，个由此可得，个别值别值的置信度的置信度为为的的预测预测置信区置信区间为间为（3-35）表表3-1 某商品的销售量、价格、售后服务支出数据某商品的销售量、价格、售后服务支出数据序号序号销销售量售量Y （千个）（千个）价格价格X1（元（元/个）个）售后服售后服务务支出支出X2（万元

31、）（万元）12345678910111213141516171819202122121133130126131147148159160156155157179189180183202200201203258234150014901480147014601450144014301420141014001390138013701360135013401330132013101300129012151310111413151312111015151312141211101512例例3-83-8假设已获得假设已获得了某商品的了某商品的销售量、价销售量、价格、售后服格、售后服务支出数据务支出数据如表如表3-1所示，所示，求价格为求价格为1250元元/个、售后服个、售后服务支出为务支出为16万万元时销售量的元时销售量的均值的置信度均值的置信度为为95%的预测的预测置信区间。置信区间。第五节 案例分析此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢