高等数学高等数学高等数学 (10).pdf

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1、书书书第?章?函数的极限与连续高等数学以函数为主要研究对象?极限是研究函数性态的基本方法和工具?函数的连续性是函数的一种重要性态?本章将介绍函数?极限和函数连续性等基本概念?以及它们的一些性质?初等函数?常量与变量在观察某种自然现象或进行某项科学实验的过程中?常涉及一些事物的数量变化情况?例如?一物体作匀速直线运动?那么时间与位移都是变量?而速度则为常量?又如?一密闭容器内的气体在加热过程中?若考虑容器内气体的体积?分子数?绝对温度?以及压力?其中体积?与分子数?两个量在整个过程中保持不变?而绝对温度?与压力?则不断变化?一般地?我们把在某个过程中保持一定数值的量称为常量?把可以取不同数值的量

2、称为变量?应当注意?一个量究竟是常量还是变量是由该过程的具体条件来确定的?同一个量在这个过程中是常量?而在另一个过程中却有可能是变量?例如速度?在匀速运动中是常量?而在匀加速运动中是变量?区间与邻域?区间一个变量能取得的全部数值的集合?称为这个变量的变化范围或变域?今后我们常遇到的变域是区间?所谓变量?的区间就是介于两实数?与?之间的一切实数?在数轴上就是从?到?的线段?与?称为区域的端点?当?时?称为左端点?称为右端点?闭区间?满足不等式?的所有实数?的集合?称为以?为端点的闭区间?记为?见图?即?图?开区间?满足不等式?的所有实数?的集合?称为以?为端点的开区间?记为?见图?即?图?半开区

3、间?满足不等式?或?的所有实数?的集合?称为以?为端点的半开区间?记为?或?分别见图?和图?即?图?图?以上这些区间都称为有限区间?有限区间右端点?与左端点?的差?称为区间的长度?此外还有所谓的无限区间?引进记号?读作正无穷大?及?读作负无穷大?则无限的半开或开区间表示如下?它们在数轴上表现为长度为无限的半直线?如图?所示?图?全体实数的集合?也记为?邻域设?是一个正数?对于数轴上一点?我们把以?点为中心?长度为?的开区间?称为点?的?邻域?见图?可用不等式?表示?正数?称为这个邻域的半径?若在点?的邻域内去掉?点?其余部分称为点?的去心邻域?可用不等式?表示?图?应 用 数 学?函数概念在讨

4、论函数的概念之前?我们先来看几个实际生活中的例子?例?某会员制商店对会员购物提供优惠?会员可按商品价格的?购买商品?但每年需交纳会员费?元?问?若某人只在此商店购物?至少需购多少钱的商品?按商品价格计算?才能真正受惠?一年内实际受惠多少钱?解?假设按商品价格计算此人一年内购买?元的商品?获得商品优惠?即在商品上少付的钱?但因交纳了?元会员费?因此实际获得的优惠?是?按此公式可以计算出受惠的钱数?见表?表?商品钱数?元?受惠钱数?元?从表?中可以看出至少需要购?元商品才能真正受惠?例?火车站收取行李费的规定如下?当行李不超过?时?按基本运费?元?收费?当超过?时?超重部分按?元?收费?则运费?与

5、重量?之间的关系为?例?某气象站用自动温度记录仪记下一昼夜气温?如图?所示?图?由上面例子看到?各例中各有两个变量且两变量之间都有一定的对应关系?这种对应关系?正是函数概念的实质?定义?设?和?是某过程中的两个变量?是一个给定的数集?如果对于?中的每一个数?变量?按照某种对应法则总有确定的数值和它对应?则称?是?的函数?记为?数集?称为这个函数的定义域?称为自变量?称为因变量?因变量?所对应的数值范围称为函数的值域?当?时?对应的函数值记为?由定义可看出?确定函数有两个要素?定义域和对应法则?函数?中表示对应关系的记号?也可改用其他字母?比如函数?等?在实际问题中?函数的定义域是根据问题的实际

6、意义确定的?如例?中?例?中?例?中?三个例子中?分别表示商品钱数?行李重量及时间?在数学中?有时不考虑函数的实际意义?这时我们约定?函数的定义域就是自变量所能取的使函数解析式有意义的一切实数?例如函数?槡?的定义域是闭区间?函数?槡?的定义域是开区间?如果自变量在定义域内任取一个数值时?对应的函数值都只有一个?这种函数称为单值函数?否则称为多值函数?以后若无特别说明?本书的函数都是指单值函数?例?求下列函数的定义域?第?章?函数的极限与连续?槡?槡?解?根据对数真数必须为正数?有?槡?即?解之?得?所以定义域为?或记为?函数是一个分式且分母开平方?所以有?解之?得?所以定义域?例?下列各对函

7、数是否相同?为什么?槡?解?不相同?因为定义域不同?的定义域为?而?的定义域为?不相同?因为对应关系不同?当?时?而?例?函数?的定义域?值域?它的图形如图?所示?例?函数?称为符号函数?它的定义域?值域?它的图形如图?所示?图?图?从例?和例?可以看到?有时一个函数要用几个式子表示?这种在自变量的不同变化范围中?对应法则用不同式子来表示的函数?通常称为分段函数?函数的几种特性?单调性如果函数?在区间?内随?的增大而增大?即对于?内的任意两点?和?当?时?有?则称函数?在?内是单调增加的?区间?称为函?应 用 数 学数?的单调增加区间?单调增加函数的图像沿横轴正向而上升?如图?所示?如果函数?

8、在区间?内随?的增大而减小?即对于?内的任意两点?和?当?时?有?则称函数在区间?内是单调减少的?区间?称为单调减少区间?单调减少函数的图像沿横轴正向而下降?如图?所示?图?图?奇偶性如果函数?的定义域关于原点对称?且对任意?都有?则称?为奇函数?如果?的定义域关于原点对称?且对任意?都有?则称?为偶函数?奇函数的图像关于原点对称?如图?所示?偶函数的图像关于?轴对称?如图?所示?图?图?例如?函数?是偶函数?函数?是奇函数?周期性对于函数?如果存在一个正数?使得对于定义域内的一切?有?则称?为周期函数?周期函数的周期通常是指满足上述条件的最小正数?一个以?为周期的函数?它的图像在定义域内每隔

9、长度为?的相邻区间上?有相同的形状?如图?所示?图?如果函数?是以?为周期的周期函数?则函数?也是以?为周期的周期函数?函数?是以?为周期的周期函数?第?章?函数的极限与连续三角函数为常见的周期函数?有界性对于函数?如果存在一个正数?使得对于定义区间?内的一切?值?对应的函数值均有?则称?在区间?内有界?如果这样的正数不存在?则称?在区间?内无界?例如?是有界函数?而函数?在?内则是无界函数?基本初等函数我们将已学过的幂函数?指数函数?对数函数?三角函数和反三角函数统称为基本初等函数?它们的定义域?值域?图像和特性如表?所示?表?函?数定义域与值域图?像特?性幂函数?奇函数?单调增加?偶函数?

10、在?内单调减少?在?内单调增加?奇函数?单调增加?奇函数?单调减少?单调增加?应 用 数 学续表函?数定义域与值域图?像特?性指数函数?单调增加?单调减少对数函数?单调增加?单调减少三角函数?奇函数?周期?有界?在?内单调增加?在?内单调减少?偶函数?周期?有界?在?内单调减少?在?内单调增加?奇函数?周期?在?内单调增加?第?章?函数的极限与连续续表函?数定义域与值域图?像特?性三角函数?奇函数?周期?在?内单调减少反三角函数?奇 函 数?单 调 增 加?有界?单调减少?有界?奇 函 数?单 调 增 加?有界?单调减少?有界?复合函数先看一个例子?一个质量为?的质点以速度?作直线运动?其动能

11、为速度的函数?如果又知质点作匀加速运动?则?为时间?的函数?为加速度?因而?通过?成为时间?的?应 用 数 学函数?即?把这个函数称为由?和?复合而成的函数?称为中间变量?定义?设有两个函数?及?且?的值域是?的定义域的子集?那么?通过?的作用也是?的函数?称?是由?与?复合而成的复合函数?其中?称为中间变量?例?设?求?解?设?则将?代到?中去?就得到?同理可得?例?写出下列复合函数的复合过程和定义域?槡?解?槡?由?槡?与?复合而成?它的定义域是?由?与?复合而成?确定它的定义域时?应求解不等式?解得?即定义域为?注意?不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数?例如?就不能复合?因为?的定

12、义域?中任何?值对应的?值都大于或等于?它们都不能使?有意义?两个以上的函数经过复合也可以构成一个函数?例如?槡?则?槡?这里的?均为中间变量?初等函数由基本初等函数和常数经过有限次四则运算和有限次的复合步骤所构成的?并能用一个式子表示的函数叫作初等函数?例?中的两个函数?以及?等都是初等函数?建立函数关系举例在解决实际问题时?通常要建立问题中的函数关系?然后再进行计算?下面通过一些实例?说明建立函数关系的过程?例?将直径为?的圆木料锯成截面为矩形的木材?见图?列出矩形截面的两条边长之间的函数关系?解?设矩形的一条边长为?另一条边长为?由勾股定理得?即?槡?由于?只能取正值?所以有?槡?这就是

13、所求的函数关系?其定义域为?例?在机械中常用一种曲柄连杆机构?如图?所示?当主动轮匀速转动时?连杆?带动滑块?作往复直线运动?设主动轮半径为?转动的角速度为?连杆长度为?第?章?函数的极限与连续求滑块?的运动规律?图?图?解?设运动开始后?经过时间?秒时?滑块?离点?的距离为?求滑块?的运动规律就是建立?和?之间的函数关系?假设主动轮开始旋转时?点?正好在?连线上?经过时间?后主动轮转了角?弧度?那么?由于?而?槡?槡?所以?槡?这就是滑块?的运动规律?习题?点?的邻域和去心邻域是如何定义的?其几何意义是什么?下列函数是否相同?为什么?槡?槡?求下列函数的定义域?槡?作出函数?的图像?并求?判

14、断下列函数的奇偶性?应 用 数 学?试证两个偶函数的乘积是偶函数?两个奇函数的乘积为偶函数?一个奇函数与一个偶函数的乘积为奇函数?证明函数?在其定义域内单调上升?指出下列函数的最小正周期?写出下列各函数的复合过程?槡?设?求?有一边长为?的正方形铁片?从它的?个角截去相等的小方块?然后折起各边做成一个无盖的盒子?求它的容积与截去小方块的边长之间的函数关系式?并指明定义域?见题图?设生产与销售某产品的总收入?是产量?的二次函数?经统计得知?当产量?时?总收入?试确定总收入?与产量?之间的函数关系?脉冲发生器产生一个三角波?其波形如题图?所示?写出函数关系?题图?题图?函数的极限函数概念刻画了变量

15、之间的关系?而极限概念着重刻画变量的变化趋势?并且极限也是学习微积分的基础和工具?数列的极限考察下列数列当?无限增大时的变化趋势?为清楚起见?把三个数列的前几项分别在数轴上表示出来?如图?图?和图?所示?第?章?函数的极限与连续图?图?图?由图?可以看出?当?无限增大时?数列?的点逐渐密集在?的右侧?即数列?无限接近于?由图?可以看出?当?无限增大时?数列?的点逐渐密集在?的附近?即数列无限接近于?很显然?当?无限增大时?第三个数列?无限接近于?归纳这三种情形?可知当?无限增大时?都分别无限接近于一个确定的常数?一般地?有下面定义?定义?如果当?无限增大时?数列?无限接近于一个确定的常数?则称

16、?为数列?的极限?记为?或?当?时其中的?读作?趋于?以上?个数列的极限可以分别记为?例?观察下列数列的变化趋势?写出它们的极限?解?借助于数轴容易看出?从前面列举的例子可以推得下面的结论?应 用 数 学?为常数?注意?并不是任何数列都是有极限的?例如?数列?当?无限增大时?也无限增大?不能无限接近于一个确定的常数?所以这个数列没有极限?又如?数列?当?无限增大时?在?与?两个数上来回跳动?不能无限接近于一个确定的常数?所以这个数列也没有极限?对于上述没有极限的数列?也说数列的极限不存在?函数的极限下面就自变量不同的变化情况给出函数极限的定义?当?时?函数?的极限考察函数?的图像?如图?所示?

17、从图?可以看出?当?无限增大?记为?时?函数?的值越来越接近于常数?而当?无限减小?记为?时?函数的值越来越接近于常数?对于函数的这种变化趋势?给出下面的定义?定义?对于函数?如果当?无限增大?或减小?时?其函数值?无限接近于一个确定的常数?则称?为当?或?时?的极限?记为?或?也可记为?当?时?或?当?时?所以?上面两种情形就可以记为?考察函数?的图像?如图?所示?图?图?由图?可以看出?当?的绝对值无限增大时?的值无限接近于零?对于这种变化趋势?给出下面的定义?第?章?函数的极限与连续定义?设函数?在区间?内有定义?如果当?无限增大时?对应的函数?的值无限接近于某一常数?则称?为函数?当?

18、时的极限?记为?或?当?时根据上述定义可知?当?时?的极限是?可记为?定理?的充分必要条件是?例?求?和?解?因为?不存在?所以由定理?知?不存在?因为?而?由定理?知?不存在?当?时?函数?的极限考察函数?和函数?如图?和图?所示?当?时函数值的变化情况?图?图?由上面两图可以看到?当?从?的左右两侧同时趋近于?时?的值越来越接近于?对于函数?尽管它在?处没有定义?但当?从?的左右两侧趋近于?时?它的函数值越来越接近于常数?对于函数的这种变化趋势?有下面的定义?定义?设函数?在?点的某邻域内有定义?可除外?如果当?无限趋近于?但?时?函数值?无限接近于一个确定的常数?则称?为函数?当?时的极

19、限?记为?或?当?时?应 用 数 学上面的极限分别记为?和?由?的定义及函数的图像?容易得到下面极限式成立?为常数?例?讨论下列极限是否存在?解?设?当?时?无限增大?不趋向于一个确定的常数?因此?不存在?如图?所示?图?图?设?这个函数在?处无定义?其函数值始终在?和?之间来回摆动?如图?所示?当?越来越接近于?时?函数值?的摆动愈来愈频繁?因此函数值不可能有一个确定的变化趋势?也就是说?不存在?当?时?的左极限与右极限上面讨论的极限?是?从?的左右两侧同时趋近于?时函数值的变化趋势?但有时需要考虑?只从?的左侧趋近于?记为?或?只从?的右侧趋近于?记为?时函数值的变化趋势?下面再给出当?或

20、?时函数极限的定义?定义?如果当?或?时?函数?无限接近于一个确定的常数?则称?为函数?当?时的左极限?或右极限?记为?或?左极限和右极限统称为单侧极限?定理?的充分必要条件是?例?设函数?第?章?函数的极限与连续试分别讨论当?和?时?的极限?图?解?函数?的图像如图?所示?从图容易看出?因为?由定理?知?不存在?因为?由定理?知?存在?习题?观察下列数列的变化趋势?写出它们的极限?观察并写出下列函数的极限?设函数?画出它的图像?求当?时?函数的左右极限?从而说明在?时函数的极限是否存在?设?画出它的图像?并求当?时?的左右极限?从而说明在?时?的极限是否存在?证明函数?在?时极限不存在?无穷

21、小量和无穷大量?无穷小定义?如果当?或?时?函数?的极限为零?则称函数?为?应 用 数 学?或?时的无穷小量?简称无穷小?例如?当?时?函数?等都是无穷小?当?时?函数?槡?等也都是无穷小?当?时?函数?等也都是无穷小?注意?不能把无穷小与绝对值很小的常数混为一谈?无穷小是以零为极限的函数?而绝对值很小的常数?不管它有多么小?如?其极限仍是这个常数本身?零是可以作为无穷小的唯一的常数?因为零的极限仍是零?此外?无穷小还必须与自变量的某一变化过程?如?等?相联系?一个函数在自变量的某一变化过程中为无穷小?在另一个变化过程中不一定还是无穷小?例如函数?当?时为无穷小?而当?时就不是无穷小?无穷小的

22、性质无穷小具有下列基本性质?性质?有限个无穷小的代数和为无穷小?性质?有界函数与无穷小的乘积为无穷小?推论?常数与无穷小的乘积为无穷小?性质?有限个无穷小的乘积为无穷小?例?求?解?函数?及?都是当?时的无穷小?由性质?得?例?求?解?当?时?函数?的极限不存在?对函数变形得?而当?时?为无穷小?为有界函数?由性质?有?无穷小的比较由无穷小的性质知?两个无穷小的和?差?积仍为无穷小?现在来讨论两个无穷小量的商?设?则当?时?这三个函数都是无穷小?而?仍是无穷小?但?及?都不是无穷小?因此?两个无穷小的商不一定是无穷小?我们看到?当?时?比?趋于零的速度快?而?和?趋于零的速度相差不多?为了描述

23、这种现象?下面引入无穷小的阶的概念?定义?设当?时?和?都是无穷小?若?则称?是?的高阶无穷小?记为?若?为非零常数?则称?和?是同阶无穷小?特别地?若?第?章?函数的极限与连续?则称?和?是等价无穷小?记为?关于等价无穷小?有一个有用的性质?那就是?设?且?存在?则?上述性质表明?在求极限时?分子分母的无穷小因子可用其等价无穷小代换?使计算简化?这种方法称为等价无穷小代换法?无穷大定义?如果当?或?时?的值无限增大?则称函数?当?或?时为无穷大量?简称无穷大?记为?或?应该注意的是?符号?并不表示?有极限?只表示?有无限变大的趋势?例如?当?时?都是无穷大?当?时?槡?等也都是无穷大?无穷大

24、与无穷小之间有一种简单的关系?定理?如果函数?在自变量的某一过程中为无穷大?则在同一过程中?为无穷小?反之?在自变量的某一过程中?如果?为无穷小?则在同一过程中?为无穷大?习题?下列函数在自变量怎样变化时是无穷小和无穷大?下列函数中?哪些是无穷大?哪些是无穷小?当?时?当?及?当?时?当?时?利用无穷小?计算下列极限?槡?槡?比较下列两个无穷小的阶数?当?时?与?当?时?与?应 用 数 学?极限的运算?极限的基本性质下面直接给出极限的一些重要性质?定理?函数极限与无穷小的关系定理?的充分必要条件是?其中?即?为?时的无穷小?上面定理中?也可以为?由此可知?研究任何函数?变量?的极限可转化成研究

25、无穷小的问题?定理?极限的唯一性定理?具有极限的函数?其极限是唯一的?很显然?这个定理是符合极限定义的?定理?具有极限的数列是有界的?这个定理的条件是充分的?但不是必要的?即有界数列不一定有极限?例如数列?是一个有界数列?但这个数列没有极限?定理?局部保号性定理?如果?并且?或?则必存在?图?的某一去心邻域?当?在该邻域时有?或?这个定理的几何解释如图?所示?只要?充分接近?就能保证?的图像位于?轴上方?即?的情形类似?极限的四则运算如果?则?为常数?以上每个等式中的?均指?的同一种趋向?或?时的极限?例?计算?解?由极限运算法则得?一般地有?第?章?函数的极限与连续例?计算?解?由例?知?当

26、?时?分母的极限为零?故不能直接用极限的运算法则?但由极限定义知?当?时的极限与函数在?点有无定义没有关系?因而可以先化简再求极限?以下解法是错误的?例?计算?解?当?时?和?的极限都不存在?因此也不能直接用运算法则?我们先将函数进行恒等变形?得当?时?所以?像例?例?那样?先通过对分子?分母进行因式分解或其他恒等变形?如分子或分母有理化?三角恒等变形等?消去致零因子?再求极限?这种方法在求一些?型极限时常常用到?例?求?槡?解?槡?槡?槡?例?求?解?例?计算?解?时?分子?分母极限都不存在?我们先用?同除分子?分母?然后再求极限?一般地有?应 用 数 学?这里?为正整数?例?计算?解?因为

27、分子分母的最高次数都是?所以根据上例的结论得?例?计算?解?当?时?上式是无限项之和?而极限的运算法则只适用于有限项之和?这时必须先对函数式作适当变形再求极限?习题?求下列极限?求下列极限?槡槡槡?槡?第?章?函数的极限与连续?两个重要极限计算一个函数的极限?除了可利用极限的定义和运算法则外?还经常要用到这一节讨论的两个重要极限?在给出这两个重要极限之前?先引入判断极限存在的两个重要准则?极限存在准则准则?夹逼准则?设函数?在?的某邻域?可以除外?内满足条件?且有极限?则有?上述准则?当?也成立?准则?单调有界数列必有极限?两个重要极限?函数?的图像如图?所示?从图像上很容易看到?当?时?函数

28、?无限接近于?即?下面我们用准则?对这个极限进行证明?证明?如图?所示?设?为单位圆?对于圆心角?有?及?当?时?即?图?图?设?则有?扇形?即?应 用 数 学即?由于?和?均为偶函数?上列不等式对于?仍然成立?令?由准则?得?利用这一极限公式?可以求一些三角函数式的极限?例?计算?解?例?计算?为非零常数?解?令?当?时?所以?即?一般地?若?则?例?计算?解?例?计算?解?例?计算?解?令?则?当?时?于是?第?章?函数的极限与连续?先看数列极限?设?现将数列?的前几项列于表?中?表?由表?可见?当?逐渐增大时?也在逐渐增大?但增大的速度逐渐趋缓?且不超过?因此?该数列是一个单调有界数列?

29、由准则?知?一定存在极限?记此极限为?即?研究表明?是一个无理数?仅列出前几项的?若把?换成连续变量?则?取实数值趋向于?或?时?的极限也存在?并且也等于?即?也可以写为?例?计算?解?一般地?若?则有?例?计算?解?应 用 数 学?例?计算?解?当?时?所以?习题?计算下列极限?槡?计算下列极限?函数的连续性自然界中有许多现象?例如气温的变化?生物的生长等都和时间有关?它们有一个共同的特性?就是当时间的改变量很小时?这些量的改变量也都很小?反映在函数关系上?就是函数的连续性?下面先引入增量?或改变量?的概念?再引入连续性的定义?设变量?从它的一个初值?变到终值?终值与初值的差?称为变量?的增

30、量?或改变量?记为?即?增量?可以是正的?也可以是负的?在?为正的情况下?从?变到?是增大的?当?为负时?变量?是减小的?对函数?当自变量?从?变到?时?对应的函数有增量?第?章?函数的极限与连续?连续函数的概念考察如图?图?所示的两个函数的图像?图?图?在图?中?曲线?在点?及其邻域内没有断开?此时?保持?不变?让?对应的曲线上的点?即?但对图?表示的曲线?显然在?处断开了?此时?保持?不变?让?对应的曲线上点?但?不能趋向于?定义?设函数?在点?的某邻域内有定义?如果在?处?当自变量的增量?趋于零时?对应的函数增量?也趋于零?即?则称函数?在点?连续?点?称为函数?的连续点?函数的不连续点

31、也叫间断点?图?中的点?是间断点?在定义?中?如果令?则?时?时?于是以上连续的定义也可叙述为?定义?设函数?在点?的某一邻域内有定义?如果函数?当?时极限存在?且等于它在?点的函数值?即?则称函数?在点?连续?点?称为函数的连续点?如果?则称函数?在?点处左连续?如果?则称函数?在?点处右连续?如果函数?在?内每一点都连续?则称函数?在?内连续?区间?称为连续区间?如果函数?在?内连续?且有?即函数在左端点处右连续?函数在右端点处左连续?则称?在闭区间?上连续?某个区间上连续函数的图像是这个区间上一条连续不间断的曲线?例?证明函数?在其定义域内连续?证明?设?为其定义域?内任意一点?当?在?

32、处有增量?时?对应函数增量为?应 用 数 学?当?时?而?根据无穷小的性质有?所以?在点?连续?由点?的任意性?可知?在其定义域内连续?同理可证?在其定义域?内也是连续的?例?证明?在其定义域内连续?证明?在?内任取一点?由前面极限知识知?由定义?知?函数?在点?连续?因为?是?内任意一点?所以得?在其定义域内连续?函数的间断点分析定义?可知函数?在点?连续?必须同时满足以下三个条件?函数在点?及其附近有定义?存在?如果这三个条件中至少有一条不满足?则?在?间断?间断点通常分为两大类?设?是函数?的间断点?在?处左右极限都存在?则?为?的第一类间断点?凡不是第一类间断点的都称为第二类间断点?图

33、?图?和图?的间断点都是第一类间断点?而图?的间断点是第二类间断点?图?图?图?图?例?讨论函数?第?章?函数的极限与连续在?处的间断点类型?解?在?处有定义?所以?是?的第二类间断点?初等函数的连续性如果函数?在一个区间的每一点处都是连续的?则称?在该区间上连续?类似于例?可以逐一证明?基本初等函数在其定义域内都是连续的?其次?两个连续函数经过加?减?乘?除运算后仍然连续?相除时要求分母不为零?此外?可以证明两个连续函数的复合函数仍然是连续函数?例如?和?是连续函数?则它们的复合函数?和?也是连续函数?于是?由初等函数的定义?我们可以得到下面的重要结论?定理?如果一个初等函数在某个区间内有定

34、义?则它在该区间内是连续的?由定理?得到求极限的一个重要且简单的方法?这就是?若?是初等函数?且?属于?的定义区间?则?而?故上式又可写为?这表明?对于连续函数?而言?函数符号?与极限符号?可以交换?这在求极限时是很有用的?例?求?解?因为?是初等函数?属于其定义区间?所以?例?求?解?上述结果可写为?当?时?例?求?槡?解?槡?槡?槡?槡?槡?槡?槡?槡?应 用 数 学?闭区间上连续函数的性质定理?最大值最小值定理?闭区间上连续的函数必能取得最大值和最小值?即若?在?上连续?则在?上至少存在一点?和一点?对于?区间上任一点?均满足?图?称?为?在?上的最小值?为?在?上的最大值?这一点从图?

35、中很容易看出?需要说明的是?这个定理的两个条件?闭区间?连续函数?是必需的?如果这两个条件中有一个条件不满足?此定理就不一定成立?如图?和图?所示?相应函数均无最大值和最小值?图?图?定理?介值定理?设函数?在闭区间?上连续?且?则对于任一介于?与?之间的常数?至少有一点?满足?即闭区间上的连续函数可以取得介于区间端点函数值之间的一切值?其几何意义是?连续曲线?与直线?在?与?之间?至少有一个交点?如图?所示?定理?零点存在定理?设?在闭区间?上连续?且?则至少存在一点?满足?从图?看?此定理是很明显的?图?图?第?章?函数的极限与连续这个定理常用来判断方程是否有根?例?证明方程?在区间?至少

36、有一个根?证明?设函数?则?显然在?上连续?并且端点的函散值为?由零点存在定理可知在?内至少存在一点?使得?即?这说明方程?在?内至少有一个根?习题?用连续性定义证明?在?内连续?讨论函数?在?处是否连续?并作出其图?求函数?的连续区间?求下列函数的间断点?研究下列函数的连续性?若有间断点?指出间断点的类型?在下列函数中?取什么值时函数连续?求下列函数的极限?槡?槡?槡?应 用 数 学?提示?令?证明方程?在区间?内至少有一个实根?学习指导?基本要求?理解函数?复合函数的概念?了解函数的单调性?周期性与奇偶性?了解反函数的概念?理解数列的极限?函数的极限?左极限?右极限的概念?知道函数在某点处

37、存在极限的充分必要条件?理解无穷小量的定义和无穷小量的运算法则?知道无穷小量的比较?高阶无穷小量?低阶无穷小量?等价无穷小量等?会用等价无穷小量替换求极限?了解无穷大量的定义及无穷大量与无穷小量的关系?熟练运用极限四则运算法则和两个重要极限等计算数列?函数的极限?理解函数连续的概念?能区分间断点的类型?知道函数连续的运算法则?知道初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质?最值定理?介值定理?根的存在定理等?会判定分段函数在分段点处的连续性?常见题型与解题指导?求函数的定义域?求函数值与函数表达式?讨论函数的性质与复合函数的复合?分解?求数列或函数的极限?求数列的极限?函数的极限是本章重点之一?

38、在求极限过程中?一定要注意方法的应用?以防出错?本章求极限的方法主要有?利用函数的连续性求极限?利用四则运算法则求极限?利用两个重要极限求极限?利用无穷小替换定理求极限?利用分子?分母消去极限为零的公因子?求?形式的极限?利用分子?分母同除以自变量的最高次幂?求?形式的极限?利用连续函数的函数符号与极限符号可交换次序的特性求极限?利用?无穷小与有界函数之积仍为无穷小量?求极限?求极限时?常用的数列极限?函数极限的结论有?若?为初等函数?且在?的某邻域内有定义?则?第?章?函数的极限与连续?方框?代表任意形式的同一变量?方框?代表任意形式的同一变量?对于当?时?型?其规律如下?无穷小量的比较?设

39、在自变量?的变化过程中?与?均是无穷小量?若?的常数?称?与?是同阶无穷小量?若?称?与?是等价无穷小量?记为?若?称?是?的高阶无穷小量?记为?求分段函数在分界点处的极限?通过计算函数分段点处的左右极限来完成?讨论函数的连续性问题?函数?在点?处连续必须满足以下三个条件?函数?在?及近旁有定义?存在?求函数的间断点及判定其类型?用根的存在性定理证明一些简单命题?学习建议?本章重点是函数的概念及性质?复合函数的概念?函数定义域的确定?极限的概念?函数连续的概念?极限四则运算法则?两个重要极限?求极限的方法?特别是求极限的方法?灵活多样?因此要掌握这部分知识?建议读者自己去总结经验体会?多做练习

40、?本章概念较多?且互相联系?例如?有界?单调?发散?无穷大?极限?无穷小?连续等?只有明确它们之间的联系?才能对它们有深刻的理解?因此读者要注意弄清它们之间的实质性关系?要深刻理解在一点处连续概念?即极限值等于该点的函数值才连续?千万不要求到极限存在就下连续的结论?特别注意判断分段函数在分段点的连续性?应 用 数 学复习题?填空题?函数?槡?的定义域为?函数?在区间上单调增加?在区间上单调减少?函数?的周期为?若?则?槡?的复合过程为?若?则?与?的关系为?在自变量的同一变化过程中?若?为非零无穷小?则?为?则?选择正确答案?当?时?为非零无穷小?为无穷大?则?必为无穷大?在?处左右极限存在是?在?点连续的?充分条件?必要条件?充要条件?以上三个均不正确?下列函数中为奇函数的是?若?为一常数?则下列说法正确的是?在?点有定义?在?点连续?下列函数中?极限为?的是?第?章?函数的极限与连续?求下列极限?槡?槡?槡?设函数?求?和?并由此说明?处极限是否存在?讨论下列函数的连续性?若有间断点?说明间断点类型?证明方程?至少有一根介于?和?之间?设某企业对其产品制定了如下的销售策略?购买?以下?包括?价格为?元?购买量小于等于?时?其中超过?的部分?价格为?元?购买量超过?的部分?价格为?元?试写出购买量?的费用函数?应 用 数 学