大学物理力学与热学 (4).pdf

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1、1.3 1.3 动量动量动量动量 MomentumMomentum1 冲量与动量定理冲量与动量定理1.冲量冲量(Impulse)：力对的时间积累：力对的时间积累恒力恒力)(12ttFI=vvtF=v单位：单位：Ns几何意义冲量的大小为几何意义冲量的大小为Fx t 图线下的面积图线下的面积定义：变力的冲量直角坐标系定义：变力的冲量直角坐标系(二维二维)中中=21dttxxtFI=21dttyytFIxyII iI j=+=+r rtFdr=21ttIrdttFt1t202.动量定理动量定理tpFddvv=ptFrrdd=微分形式微分形式=2121ddppttptFrrrr12pprr=积分形式积

2、分形式12ppIvvv=冲量冲量合力质点在一段时间内动量的增量等于在该时间内所受合力的冲量。合力质点在一段时间内动量的增量等于在该时间内所受合力的冲量。1)冲量是矢量冲量是矢量.合力合力冲量的方向与物体动量增量的方向一致。冲量的方向与物体动量增量的方向一致。2pv1pvIv2)动量定理表明：物体动量的变化与冲量相联系。是由于力的持续作用，物体动量发生了变化。动量定理表明：物体动量的变化与冲量相联系。是由于力的持续作用，物体动量发生了变化。3)直角系中直角系中xxttxxpptFI1221d=yyttyypptFI1221d=21dtttFIvr12ppvv=讨论讨论t/msF/N3.平均冲力平

3、均冲力Average ForcesFvtIF=vv=21dtttFIvr一维一维FFtOtitf定义：平均冲力定义：平均冲力例：一篮球质量例：一篮球质量 0.58kg，从，从 2.0m高度自由下落，到达地面后，以同样速率反弹，接触时间仅高度自由下落，到达地面后，以同样速率反弹，接触时间仅 0.019s，求：篮球对地平均冲力？解：篮球到达地面的速率,，求：篮球对地平均冲力？解：篮球到达地面的速率,3.628.922=ghv(m/s)tmFF=v2或或（N）v忽略重力忽略重力)(vvmmp =vm2=y2108.3019.03.658.02=jF108.32=v（N）篮球对地平均冲力篮球对地平均冲

4、力F v忽略重力是合理的么？忽略重力是合理的么？例：棒球重例：棒球重0.5kg，以，以72公里公里/小时的速度飞向击球手，击球手击球后，球以小时的速度飞向击球手，击球手击球后，球以144公里公里/小时的速度与原方向成小时的速度与原方向成60夹角飞出。如球与棒的接触时间为夹角飞出。如球与棒的接触时间为0.1秒，试估计棒球受到的平均冲力。解：秒，试估计棒球受到的平均冲力。解：v1v2xtptIF=vvvvvv=mp)(12xxxmpvv=60)(12yyympvv=)60cos(12vv =m=60sin2vm=0=17.32tpF=vvjv1.032.17=jv2.173=(N)pv ymmjp

5、32.17=v(kgm/s)例：一质量例：一质量 m=1.010-2kg 的小球，从的小球，从 h1=0.256m 的高处由静止下落到水平桌面上，反跳后的最大高度的高处由静止下落到水平桌面上，反跳后的最大高度 h2=0.196m。设小球与桌面的接触时间为。设小球与桌面的接触时间为，求：小球对桌面的冲量？若接触时间为，求：小球对桌面的冲量？若接触时间为(1)=0.01s，(2)=0.002s,试求小球对桌面平均冲力的大小。解一：试求小球对桌面平均冲力的大小。解一：mv1h1h2mgNmv2vvm 112gh=v222gh=vy(N mg)=mv2(mv1)I=N=mg+jghghmmgI)22(

6、21+=+=r小球和桌面碰撞时对桌面的冲量小球和桌面碰撞时对桌面的冲量)22(21ghghm+设小球受到的平均冲力大小为设小球受到的平均冲力大小为N。=0.01sI=4.310-2 Ns=0.002sI=4.210-2 Ns小球自重（小球自重（0.1N)可忽略可忽略N=4.3(N)N=21.1(N)是小球重力的是小球重力的40多倍是小球重力的多倍是小球重力的200多倍。多倍。)22(21ghghmmgNI+=+=h1h2mgNy12(22)mghghNmg+=+=+解二：将动量定理应用于整个过程解二：将动量定理应用于整个过程h1h2mgNy设下落时间为设下落时间为 t1,上升时间为上升时间为

7、t2,ght112=ght222=N mg(t1+t2)=0I=N=mg(t1+t2)22(21ghghmg+=+=)22(21ghghmmg+=+=例：绳子跨过定滑轮，两端拴有质量为例：绳子跨过定滑轮，两端拴有质量为 m 和和 M 的物体，的物体，M m,M静止在地面，当静止在地面，当 m自由下落自由下落 h 后，绳子被拉紧，后，绳子被拉紧，M 刚好离开地面，求绳子刚拉紧时，刚好离开地面，求绳子刚拉紧时，m 和和 M 速度的值及速度的值及 M 能上升的最大高度。能上升的最大高度。Mmh解：（解：（1）m自由下落自由下落 h 后速度后速度gh20=vm:tgmTmmpm+=+=)(0vvvvv

8、vvytmgTmmm =+)(0vvM:tgMTMpM+=+=)(vvvvvtMgTMM=)(vTmgmv0mvm pTMgMvM pTmgm v0m vm pTMgM vM p忽略重力忽略重力，化简两式，化简两式tTmmm=+0vvtTMM=vvm=vM=vghMmmMmm20+=+=+=+=vv解得：解得：tmgTmmm =+)(0vvtMgTMM =)(vTmgTMgyT mg=m(a)T Mg=M agmMmMa+=+=2)个质点组成的系统个质点组成的系统ijkFr rkijfr rm1m21Fr2Fr12fv21fv2112ffvv=二、质点系的牛顿第二定律二、质点系的牛顿第二定律t

9、pfFdd1121vvv=+=+tpfFdd2212vvv=+=+)(dd2121pptFFvvvv+=+=+)(dd=iiptFvvtpFddvv=iippvr系统的动量系统的动量N 个粒子组成的系统，外力，内力（即粒子之间的相互作用），则对第个粒子组成的系统，外力，内力（即粒子之间的相互作用），则对第 i 粒子粒子tpfFijiijiddrrr=+=+对所有粒子求和对所有粒子求和tptpfFNiiNiiNijiijNiidddd1111=+=+rrrrFvfvFv=0prtpFddrv=1221dpptFIttrrrr=ijipviFvijfvjifv对于质点系对于质点系例：将一长为例：将

10、一长为 l、线密度为线密度为 的柔软绳子竖直悬起，令其一端着地。释放绳子，使之由静止自由下落。则绳子未落地的长度为的柔软绳子竖直悬起，令其一端着地。释放绳子，使之由静止自由下落。则绳子未落地的长度为y 时,对地面压力的大小时,对地面压力的大小N。解：建坐标，地面为原点,整根绳子为研究对象。解：建坐标，地面为原点,整根绳子为研究对象0yl ytpglNdd=tmd)(dv=tyd)(dv=)dddd(tytyvv+=+=)(2yg=v)(2ygglN+=+=vygylgglN +=)(2)(3ylgN=GN3 动量守恒定律动量守恒定律(Conservation of Momentum)质点系所受

11、合外力为零，总动量不随时间改变质点系所受合外力为零，总动量不随时间改变。忢栴検忢栴検1=NiipPrr1.合外力为零，或外力与内力相比小很多合外力为零，或外力与内力相比小很多.2.合外力沿某一方向为零合外力沿某一方向为零.3.只适用于惯性系只适用于惯性系.4.比牛顿定律更普遍的最基本的定律比牛顿定律更普遍的最基本的定律.constpii=PtFIrrr=dvvVvXx例：水平光滑平面上有一小车，长度为例：水平光滑平面上有一小车，长度为 l，质量为，质量为M。车上站有一人，质量为。车上站有一人，质量为 m。人、车原来都静止。若人从车的一端走到另外一端，问人和车各移动了多少距离？。人、车原来都静止

12、。若人从车的一端走到另外一端，问人和车各移动了多少距离？解：人与车在水平方向受外力为零，水平方向动量守恒解：人与车在水平方向受外力为零，水平方向动量守恒VMmvv=vvvvMmV=VVvvvvv=vvv车地人地人对车车地人地人对车vvvvvvMmMMm+=+=+=+=vvVvXxMmM+v+vv人对车的速度为人对车的速度为tltd0=人对车人对车vtMmMtd0+=+=vtxtd0=vlmMM+=+=lmMmxlX+=+=火 箭 推 进火 箭 推 进例：火箭在远离星球引力的星际空间加速飞行，不受任何外力作用。设某一时刻火箭例：火箭在远离星球引力的星际空间加速飞行，不受任何外力作用。设某一时刻火

13、箭(包括箭体及携带的燃料包括箭体及携带的燃料)的质量为的质量为 M，喷出气体相对火箭的速率为，喷出气体相对火箭的速率为 u,且保持不变，求：火箭在任一时刻的速度。且保持不变，求：火箭在任一时刻的速度。VMv,tVVmMrrd,d+uvt+dtdm解：初态动量解：初态动量xp0=MV末态动量火箭末态动量火箭p1=(Mdm)(V+dV)气体气体p2=dm(V+dV u)箭地气箭气地箭地气箭气地VVVvvv+=+=p0=p1+p2MV=(Mdm)(V+dV)+dm(V+dV u)MV=MVVdm+MdV dmdV+Vdm+dmdV udmMdV=udmdm=dMMdV=udMMV=(Mdm)(V+d

14、V)+dm(V+dV u)VMv,tVVmMrrd,d+uvt+dtdmxM dV=u dMMMuVdd=MMVVMMuV00d1d设设 t=0 时，火箭速度为时，火箭速度为V0,质量为质量为 M0MMuVV00ln+=+=u越大，速率越高质量比越大，速率越高质量比M0/M 越大，速率越高越大，速率越高VMr,tVVmMrrd,d+uvt+dtdmx计算火箭获得的推力计算火箭获得的推力tMuFdd=考虑考虑 dm火箭对它的推力火箭对它的推力tpFdd=tVuVVmd)d(d+=+=tmudd=火箭获得的推力火箭获得的推力FF MMuVV00ln+=+=多级火箭多级火箭设整个火箭与第1级火箭燃料

15、燃尽时的质量比为设整个火箭与第1级火箭燃料燃尽时的质量比为N1第1级火箭脱落后，火箭组与第2级火箭燃料燃尽时的质量比为第1级火箭脱落后，火箭组与第2级火箭燃料燃尽时的质量比为N2 ,且且V0=0。11lnNuV=则1级火箭脱落时，火箭组的速率为第2级火箭脱落时，火箭组的速率为则1级火箭脱落时，火箭组的速率为第2级火箭脱落时，火箭组的速率为212lnNuVV+=21lnlnNuNu+=)ln(21NNu=第第 n 级火箭脱落时，火箭组的速率为级火箭脱落时，火箭组的速率为)ln(21nnNNNuVL=(N11,N21,Nn1)xyzmiirvO 4 4 4 质心4 质心(Center of Mas

16、s)对于对于N 个粒子组成的系统，定义其质量中心个粒子组成的系统，定义其质量中心mrmmrmrNiiiNiiNiii=111crrrmxmxNiii=1cmymyNiii=1cmzmzNiii=1c1.质心的定义质心的定义crvmr=cr对于质量分布连续的系统对于质量分布连续的系统mrdrmmxx=dcmmyy=dcmmzz=dcdmrvxyzOmrmrNiii=1crrmr=crmrdrVmdd=Smdd=lmdd=求质心位置时，常常借助密度对于体分布求质心位置时，常常借助密度对于体分布对于面分布对于线分布对于面分布对于线分布质量均匀分布的物体，如果其形状具有对称性，质心位于其几何中心质量均

17、匀分布的物体，如果其形状具有对称性，质心位于其几何中心以下说法正确的是：以下说法正确的是：A）质心是质点系中的一个特殊质点）质心是质点系中的一个特殊质点B）质心一定在质点系所占据的空间内）质心一定在质点系所占据的空间内C）质心是描述质点系运动时常用的特殊点）质心是描述质点系运动时常用的特殊点D）对于一个质点系，其质心位置不变练习题正确答案：）对于一个质点系，其质心位置不变练习题正确答案：C例：三角形的每个顶点有一质量例：三角形的每个顶点有一质量 m，求质心。，求质心。mmxmxx321c+=3311cymmyy=xyO(x1，y1)x2321xx+=解：根据质心定义解：根据质心定义C讨论讨论质

18、心的坐标值与坐标系的选择相关质心的坐标值与坐标系的选择相关若质点间的相对位置不变，那么质心相对于各个质点的位置与坐标系的选择无关若质点间的相对位置不变，那么质心相对于各个质点的位置与坐标系的选择无关例：求半径为例：求半径为 R 的均匀半圆形铁丝的质心。的均匀半圆形铁丝的质心。(Semicircular Hoop)Oxymmxx=dcmmyy=dc解：解：dmmmxx=dclmdd=Rm=mRR=0dcos=0mmyy=dcmRR=0dsinmR22=RRy=2cC dR=R2.质心系2.质心系0 1=mrmNiiirc rrriirrr=01=Niiirmr0 1=Niiim vr质心在其中静

19、止的平动参照系。质心在其中静止的平动参照系。yxxyzmiirvir vCOOcrvz质心系可能不是惯性系，但质心系特殊，动量守恒，而且质心系可能不是惯性系，但质心系特殊，动量守恒，而且总动量为零总动量为零。c vvvrrr=ii质心系中质点质心系中质点 mi的速度质心系也被称为零动量参照系。的速度质心系也被称为零动量参照系。0 1=Niiim vryxxyzmiirvir vCOOcrvz3.质心运动定理3.质心运动定理=Niipp1rrtpFddrr=camFrr=trmtrmddd)(dccrr=mrmrNiii=1crr质点系的动量等于它的总质量与质心速度的乘积。质点系的动量等于它的总

20、质量与质心速度的乘积。trmtrmNiiiNiiidddd11=rrcvrrmp=camFrr=质心运动定理：质点系的质量与质心加速度的乘积等于质点系所受外力的矢量和。内力对于质心的运动状态没有影响质心的加速度与把全部质量集中到质心处的质点的加速度相同。质心运动定理：质点系的质量与质心加速度的乘积等于质点系所受外力的矢量和。内力对于质心的运动状态没有影响质心的加速度与把全部质量集中到质心处的质点的加速度相同。camFrr=地月系中心运行轨道地月系中心运行轨道月球运行轨道月球运行轨道地球运行轨道地球运行轨道OEOMCRE地 月 系 统地 月 系 统例：一枚炮弹发射的初速度为例：一枚炮弹发射的初速

21、度为v0,发射角为发射角为，在它飞行的最高点炸裂为质量均为，在它飞行的最高点炸裂为质量均为 m 的两块。一部分炸裂后竖直下落，另一部分继续向前飞行。求这两部分的着地点。（忽略空气阻力）的两块。一部分炸裂后竖直下落，另一部分继续向前飞行。求这两部分的着地点。（忽略空气阻力）解：解：gx 2sin20cv=gx22sin201 v=212211cmmxmxmx+=+=221cxxx+=+=gx22sin3202 v=xyx1xCx2O冲量动量定理动量守恒定律冲量动量定理动量守恒定律系统受到的合外力为零系统受到的合外力为零质点系质点系质心质心cvrrmp=camFrr=mrmrNiii=1crr质心系质心系=21ttIrtFdr12ppIrrr=零动量参照系零动量参照系小 结小 结