第二课时等差数列的性质与应用 课件---高二数学人教A版（2019）选择性必修第二册.pptx

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1、第二课时等差数列的性质与应用第二课时等差数列的性质与应用学习目标学习目标1 1.能能根根据据等等差差数数列列的的定定义义推推出出等等差差数数列列的的性性质质,并并能能运运用用这这些些性性质质简简化化运运算算.提升学生的数学抽象和逻辑推理素养提升学生的数学抽象和逻辑推理素养.2.2.能在具体的问题情境中能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系发现数列的等差关系,并解决相应的问题并解决相应的问题.提升学提升学生的数学建模和数学运算素养生的数学建模和数学运算素养.知识梳理知识梳理自主探究自主探究师生互动师生互动合作探究合作探究知识梳理知识梳理自主探究自主探究 问题问题1 1 在等差数列在等差数列aa

2、n n 中中,任意两项任意两项a an n与与a am m有怎样的关系有怎样的关系?能否用它们求公能否用它们求公差差?(?(其中其中n m,m,nn m,m,nN N*).).知识探究知识探究1.1.等差数列通项公式的推广及几何意义等差数列通项公式的推广及几何意义(1)a(1)an n=a=am m+(n-m)d(m,n+(n-m)d(m,nN N*).).做一做做一做1 1 在等差数列在等差数列aan n 中中,若若a a2 2=4,a=4,a4 4=2,=2,则则a a6 6=.答案答案:0 0 问题问题2 2 若数列若数列aan n,b,bn n 分别是公差为分别是公差为d,dd,d的等

3、差数列的等差数列,则数列则数列papan n+qb+qbn n(p,q(p,q为常数为常数)是等差数列吗是等差数列吗?提示提示:由由(pa(pan+1n+1+qb+qbn+1n+1)-(pa)-(pan n+qb+qbn n)=p(a)=p(an+1n+1-a-an n)+q(b)+q(bn+1n+1-b-bn n)=pd+qd)=pd+qd可知可知,数列数列papan n+qb+qbn n(p,q(p,q为常数为常数)是公差为是公差为pd+qdpd+qd的等差数列的等差数列.2.2.若若aan n,b,bn n 分别是公差为分别是公差为d,dd,d的等差数列的等差数列,则有则有数列数列结论结

4、论c+ac+an n 公差为公差为d d的等差数列的等差数列(c(c为任一常数为任一常数)cacan n 公差为公差为cdcd的等差数列的等差数列(c(c为任一常数为任一常数)aan n+a+an+kn+k 公差为公差为2d2d的等差数列的等差数列(k(k为常数为常数,k,kN N*)papan n+qb+qbn n 公差为公差为pd+qdpd+qd的的等差数列等差数列(p,qp,q为常数为常数)思考思考1 1 等差数列去掉前面若干项后等差数列去掉前面若干项后,剩下的项是否还构成等差数列剩下的项是否还构成等差数列?提示提示:是是.改变了首项改变了首项,公差不变公差不变.思考思考2 2 等差数列

5、中的奇数项、偶数项是否分别构成等差数列等差数列中的奇数项、偶数项是否分别构成等差数列?提示提示:是是.公差为原来的公差为原来的2 2倍倍.C C解析解析:aa3n3n 为等差数列为等差数列,公差为原来的公差为原来的3 3倍倍.故选故选C.C.问问题题3 3 若若数数列列 a an n 是是等等差差数数列列,公公差差为为d d,m m+n n=p p+q q(m m,n n,p p,q qN N*),则则a am m,a an n,a,ap p,a,aq q这四项之间有什么样的关系这四项之间有什么样的关系?提提示示:由由等等差差数数列列的的定定义义可可知知,a am m=a a1 1+(m m-

6、1 1)d d,a an n=a a1 1+(n n-1 1)d d,a ap p=a a1 1+(p p-1 1)d d,a aq q=a a1 1+(q q-1 1)d d,容容易易发发现现a am m+a an n=2 2a a1 1+(m m+n n-2 2)d d,a ap p+a aq q=2 2a a1 1+(p p+q q-2 2)d d,因因为为m m+n n=p+q,p+q,故有故有a am m+a+an n=a=ap p+a+aq q.3.3.等差数列等差数列“下标和下标和”的性质的性质在等差数列在等差数列aan n 中中,若若m+n=p+q(m,n,p,qm+n=p+q

7、(m,n,p,qN N*),),则则 .特别的特别的,若若m+n=2p(m,n,pm+n=2p(m,n,pN N*),),则有则有 .4.4.等差数列的项的对称性等差数列的项的对称性在在有有穷穷等等差差数数列列中中,与与首首末末两两项项“等等距距离离”的的两两项项之之和和等等于于首首项项与与末末项项的的和和,即即a a1 1+a+an n=a=a2 2+a+an-1n-1=a=a3 3+a+an-2n-2=.a am m+a+an n=a=ap p+a+aq qa am m+a+an n=2a=2ap p解析解析:(1)(1)因为因为2a2a7 7=a=a8 8+5=a+5=a6 6+a+a8

8、 8,因此因此,a,a6 6=5.=5.故选故选A.A.做一做做一做3 3(1)(1)(2021(2021四川成都高三月考四川成都高三月考)在等差数列在等差数列aan n 中中,2a,2a7 7=a=a8 8+5,+5,则则a a6 6等于等于()A.5A.5B.10B.10C.55C.55D.60D.60答案答案:(1)A(1)A解析解析:(2)(2)由由a a2 2+a+a8 8=a=a4 4+a+a6 6,得得a a6 6=-1.=-1.(2)(2)在等差数列在等差数列aan n 中中,若若a a2 2+a+a8 8=-3,a=-3,a4 4=-2,=-2,则则a a6 6=.答案答案:

9、(2)-1(2)-1师生互动师生互动合作探究合作探究 例例1 1(1)(1)在等差数列在等差数列aan n 中中,a,a2 2+a+a6 6+a+a1010=1,=1,求求a a4 4+a+a8 8的值的值;探究点一探究点一等差数列的性质等差数列的性质解解:(2)(2)法一法一设等差数列的公差为设等差数列的公差为d,d,则则a a3 3+a+a7 7=a=a1 1+2d+a+2d+a1 1+6d=2a+6d=2a1 1+8d=37,+8d=37,所以所以a a2 2+a+a4 4+a+a6 6+a+a8 8=4a=4a1 1+16d=2(2a+16d=2(2a1 1+8d)=74.+8d)=7

10、4.法二法二由等差数列的性质可知由等差数列的性质可知,a a3 3+a+a7 7=a=a4 4+a+a6 6=a=a2 2+a+a8 8,所以所以a a2 2+a+a4 4+a+a6 6+a+a8 8=2(a=2(a3 3+a+a7 7)=237=74.)=237=74.(2)(2)在等差数列在等差数列aan n 中中,a,a3 3+a+a7 7=37,=37,求求a a2 2+a+a4 4+a+a6 6+a+a8 8的值的值.方法总结方法总结等差数列运算的两条常用思路等差数列运算的两条常用思路(1)(1)基本方法基本方法:根据已知条件根据已知条件,列出关于列出关于a a1 1,d,d的方程的

11、方程(组组),),确定确定a a1 1,d,d,然后求其然后求其他量他量.(2 2)巧巧用用性性质质法法:观观察察等等差差数数列列中中项项的的序序号号,若若满满足足m m+n n=p p+q q=2 2r r(m m,n n,p p,q q,r rN N*),),则则a am m+a+an n=a=ap p+a+aq q=2a=2ar r.针对训练针对训练 (1)(1)在等差数列在等差数列aan n 中中,a,a1 1+a+a8 8+a+a1515=72,=72,则则a a2 2+a+a1414的值为的值为()A.6A.6B.12B.12C.24C.24D.48D.48解析解析:(1)(1)由

12、等差数列的性质知由等差数列的性质知,2a,2a8 8=a=a1 1+a+a1515=a=a2 2+a+a1414,由由a a1 1+a+a8 8+a+a1515=72,=72,所以所以a a8 8=24,=24,即即a a2 2+a+a1414=2a=2a8 8=48.=48.故选故选D.D.(2)(2)周髀算经周髀算经中有这样一个问题中有这样一个问题,从冬至之日起从冬至之日起,小寒、大寒、立春、雨水、惊小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列列,若冬至、立春、春

13、分的日影子长的和是若冬至、立春、春分的日影子长的和是 37.5 37.5尺尺,芒种的日影子长为芒种的日影子长为4.54.5尺尺,则冬则冬至的日影子长为至的日影子长为()A.4A.4 B.8.5 B.8.5 C.12.5 C.12.5D.15.5D.15.5探究点二探究点二等差数列的综合应用等差数列的综合应用(1)(1)判断数列判断数列ccn n 是否为等差数列是否为等差数列,并说明理由并说明理由;(2 2)如如果果a a1 1+a a3 3+a a2 25 5=1 13 30 0,a a2 2+a a4 4+a a2 26 6=1 11 17 7,试试求求数数列列 a an n 的的公公差差d

14、 d及及通通项项公式公式.解解:(2)(2)因为因为a a1 1+a+a3 3+a+a2525=130,=130,a a2 2+a+a4 4+a+a2626=117,=117,所以两式相减得所以两式相减得13d=-13,13d=-13,所以所以d=-1.d=-1.因为因为a a1 1+a+a3 3+a+a2525=130,=130,所以所以13a13a1313=130=130a a1313=10=10a a1 1+12d=a+12d=a1 1-12=10,-12=10,所以所以a a1 1=22,=22,所以所以a an n=22+(n-1)(-1)=23-n.=22+(n-1)(-1)=23

15、-n.方法总结方法总结解决等差数列综合问题的方法策略解决等差数列综合问题的方法策略(1)(1)结合等差数列的性质或利用等差中项结合等差数列的性质或利用等差中项.(2)(2)利用通项公式利用通项公式,得到一个以首项得到一个以首项a a1 1和公差和公差d d为未知数的方程或不等式为未知数的方程或不等式.(3)(3)利用函数或不等式的有关方法解决利用函数或不等式的有关方法解决.针对训练针对训练 已知已知aan n 是等差数列是等差数列,且且a a1 1+a+a2 2+a+a3 3=12,a=12,a8 8=16.=16.(1)(1)求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式;针对训练针对训练 已

16、知已知aan n 是等差数列是等差数列,且且a a1 1+a+a2 2+a+a3 3=12,a=12,a8 8=16.=16.(2)(2)若若从从数数列列aan n 中中,依依次次取取出出第第2 2项项,第第4 4项项,第第6 6项项,第第2n2n项项,按按原原来来顺顺序序组成一个新数列组成一个新数列bbn n,试求出试求出bbn n 的通项公式的通项公式.解解:(2)a(2)a2 2=4,a=4,a4 4=8,a=8,a8 8=16,=16,a a2n2n=22n=4n.=22n=4n.当当n1n1时时,a,a2n2n-a-a2(n-1)2(n-1)=4n-4(n-1)=4.=4n-4(n-

17、1)=4.所以所以bbn n 是以是以4 4为首项为首项,4,4为公差的等差数列为公差的等差数列.所以所以b bn n=b=b1 1+(n-1)d=4+4(n-1)=4n.+(n-1)d=4+4(n-1)=4n.例例3 3 某某公公司司经经销销一一种种数数码码产产品品,第第1 1年年获获利利200200万万元元,从从第第2 2年年起起由由于于市市场场竞竞争争等等方方面面的的原原因因,利利润润每每年年比比上上一一年年减减少少2020万万元元,按按照照这这一一规规律律如如果果公公司司不不开开发新产品发新产品,也不调整经营策略也不调整经营策略,从哪一年起从哪一年起,该公司经销这一产品将亏损该公司经销

18、这一产品将亏损?探究点三探究点三等差数列的实际应用等差数列的实际应用解解:由由题题意意可可知知,设设第第1 1年年获获利利为为a a1 1,第第n n年年获获利利为为a an n,则则a an n-a an n-1 1=-2 20 0(n n2 2,n nN N*),),每年获利构成等差数列每年获利构成等差数列aan n,且首项且首项a a1 1=200,=200,公差公差d=-20,d=-20,所以所以a an n=a=a1 1+(n-1)d=200+(n-1)(-20)=-20n+220.+(n-1)d=200+(n-1)(-20)=-20n+220.若若a an n0,0,则该公司经销这

19、一产品将亏损则该公司经销这一产品将亏损,由由a an n=-20n+2200,=-20n+22011,n11,即从第即从第1212年起年起,该公司经销这一产品将亏损该公司经销这一产品将亏损.方法总结方法总结(1 1)在在实实际际问问题题中中,若若涉涉及及一一组组与与顺顺序序有有关关的的数数的的问问题题,可可考考虑虑利利用用数数列列方方法法解解决决,若若这这组组数数依依次次成成直直线线上上升升或或下下降降,则则可可考考虑虑利利用用等等差差数数列列方方法法解决解决.(2)(2)在利用数列方法解决实际问题时在利用数列方法解决实际问题时,一定要分清首项、项数等关键量一定要分清首项、项数等关键量.针针对

20、对训训练练 某某市市出出租租车车的的计计价价标标准准为为1 1.2 2元元/k km m,起起步步价价为为1 10 0元元,即即最最初初的的4 km(4 km(不含不含4 km)4 km)计费计费1010元元,如果某人乘坐该市的出租车去往如果某人乘坐该市的出租车去往14 km14 km处的目的处的目的地地,且一路畅通且一路畅通,等候时间为等候时间为0,0,那么需要支付多少车费那么需要支付多少车费?解解:根据题意根据题意,当该市出租车的行程大于或等于当该市出租车的行程大于或等于4 km4 km时时,每增加每增加1 km,1 km,乘客乘客需要支付需要支付1.21.2元元.所以可以建立一个等差数列

21、所以可以建立一个等差数列aan n 来计算车费来计算车费.令令a a1 1=11.2,=11.2,表示表示4 km4 km处的车费处的车费,公差公差d=1.2,d=1.2,那么当出租车行至那么当出租车行至14 km14 km处时处时,n=11,n=11,此时需要支付车费此时需要支付车费a a1111=11.2+(11-1)1.2=23.2(=11.2+(11-1)1.2=23.2(元元).).即需要支付车费即需要支付车费23.223.2元元.备用例题备用例题 例例1 1 在两个等差数列在两个等差数列2,5,8,2,5,8,197,197与与2,7,12,2,7,12,197,197中中,求它们

22、的相同项构成数列求它们的相同项构成数列的通项公式及相同项的个数的通项公式及相同项的个数.例例2 2 在在通通常常情情况况下下,从从地地面面到到1 10 0 k km m高高空空,高高度度每每增增加加1 1 k km m,气气温温就就下下降降某某一一个个固固定定数数值值.如如果果1 1 k km m 高高度度的的气气温温是是8 8.5 5 ,5 5 k km m高高度度的的气气温温是是-1 17 7.5 5 ,求求2 km,4 km,8 km2 km,4 km,8 km高度的气温高度的气温.解解:用用aan n 表示自下而上各高度气温组成的等差数列表示自下而上各高度气温组成的等差数列,则则a a

23、1 1=8.5,a=8.5,a5 5=-17.5,=-17.5,由由a a5 5=a=a1 1+4d=8.5+4d=-17.5,+4d=8.5+4d=-17.5,解得解得d=-6.5,d=-6.5,所以所以a an n=15-6.5n.=15-6.5n.所以所以a a2 2=2,a=2,a4 4=-11,a=-11,a8 8=-37,=-37,即即2 km,4 km,8 km2 km,4 km,8 km高度的气温分别为高度的气温分别为2 2,-11,-11,-37,-37.学海拾贝学海拾贝等差数列的函数特性等差数列的函数特性单调性单调性若数列若数列aan n 是等差数列是等差数列,首项为首项为

24、a a1 1,公差为公差为d,d,则则 a an n=a=a1 1+(n-1)d=nd+(a+(n-1)d=nd+(a1 1-d).-d).当当d=0d=0时时,a,an n=a=a1 1,a,an n是是n n的常数函数的常数函数.当当d d0 0时时,a,an n是是n n的一次函数的一次函数.此时点此时点(n,a(n,an n)落落在直线在直线y=dx+(ay=dx+(a1 1-d)(d-d)(d0)0)上上,这些点的横坐标每增加这些点的横坐标每增加1,1,函数值增加函数值增加d.d.当当d0d0时时,数列数列aan n 是递增数列是递增数列;当当d0d0时时,数列数列aan n 是递减

25、数列是递减数列.当当d=0d=0时时,数列数列aan n 是常数列是常数列.从函数角度研究等差数列可培养逻辑推理与数学运算的核心素养从函数角度研究等差数列可培养逻辑推理与数学运算的核心素养.典例探究典例探究:已知在数列已知在数列aan n 中中,a,a1 1=32,a=32,a1717=-32,=-32,通项公式是项数通项公式是项数n n的一次函数的一次函数.(1)(1)求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式;解解:(1)(1)由题意知由题意知,数列数列aan n 为等差数列为等差数列,可设可设a an n=an+b,=an+b,则则a a1 1=a+b=32,=a+b=32,a a17

26、17=17a+b=-32.=17a+b=-32.由由得得a=-4,b=36.a=-4,b=36.故故a an n=-4n+36(n=-4n+36(nN N*).).解解:(2)(2)令令-4n+36=-88,-4n+36=-88,得得n=31.n=31.故故-88-88是数列是数列aan n 中的项中的项.典例探究典例探究:已知在数列已知在数列aan n 中中,a,a1 1=32,a=32,a1717=-32,=-32,通项公式是项数通项公式是项数n n的一次函数的一次函数.(2)-88(2)-88是不是数列是不是数列aan n 中的项中的项?(3)(3)该数列从第几项起开始为负该数列从第几项

27、起开始为负?解解:(3)(3)令令-4n+360,-4n+369.n9.故数列故数列aan n 从第从第1010项起为负项起为负.当堂检测当堂检测D D1.1.设设S Sn n为等差数列为等差数列aan n 的前的前n n项和项和,且且2+a2+a5 5=a=a6 6+a+a3 3,则则a a4 4等于等于()A.28A.28B.14B.14C.7C.7D.2D.2解解析析:由由等等差差数数列列 a an n 的的性性质质可可得得a a4 4+a a5 5=a a6 6+a a3 3,又又2 2+a a5 5=a a6 6+a a3 3,则则a a4 4=2 2.故故选选D.D.2.2.(20

28、22(2022浙江镇海中学高二期中浙江镇海中学高二期中)在等差数列在等差数列aan n 中中,a,a1 1+a+a3 3+a+a5 5+a+a7 7=120,=120,则则a a2 2+a+a4 4+a+a6 6的值为的值为()A.30A.30B.60B.60C.90C.90D.120D.120C C解析解析:由等差数列的性质可知由等差数列的性质可知a a1 1+a+a3 3+a+a5 5+a+a7 7=4a=4a4 4=120,=120,所以所以a a4 4=30,=30,所以所以a a2 2+a+a4 4+a a6 6=3a=3a4 4=90.=90.故选故选C.C.3.3.已已知知数数列

29、列aan n 是是等等差差数数列列,若若a a4 4+a+a7 7+a+a1010=17,a=17,a4 4+a+a5 5+a+a6 6+a+a1212+a+a1313+a+a1414=77=77且且a ak k=13,=13,则则k=k=.答案答案:1818答案答案:2 24.4.某某城城市市20112011年年有有人人口口200200万万,该该年年医医疗疗费费用用投投入入1010亿亿元元,此此后后1010年年该该城城市市每每年年新新增增人人口口1010万万,医医疗疗费费用用投投入入每每年年新新增增m m亿亿元元,已已知知20212021年年该该城城市市医医疗疗费用人均投入费用人均投入1 0

30、001 000元元,则则m m的值为的值为.解析解析:从从20112011年起该城市的人口组成一个首项为年起该城市的人口组成一个首项为200,200,公差为公差为1010的等差数列的等差数列,到到20212021年年,该城市的人口为该城市的人口为200+(11-1)10=300(200+(11-1)10=300(万万),),故故20212021年的医疗费用投入为年的医疗费用投入为30010300104 41 000=3101 000=3109 9(元元),),即即3030亿元亿元,由于从由于从20112011年到年到20212021年医疗费用投入组成一个首项为年医疗费用投入组成一个首项为10,10,公差为公差为m m的等差数的等差数列列,所以所以10+(11-1)m=30,10+(11-1)m=30,解得解得m=2.m=2.