利用空间向量解决立体几何平行与垂直.ppt

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1、3.2立体几何中的向量方法 （1）方向向量与法向量（2）平行关系（3）垂直关系（4）夹角问题（5）距离问题（6）综合问题（1）方向向量与法向量1、空间中点的位置的确定、空间中点的位置的确定：点的位置向量点的位置向量lAP2、空间中直线位置的确定：、空间中直线位置的确定：直线的向量式直线的向量式方程方程PO 除此之外除此之外,还可以用垂直于平面的直线的还可以用垂直于平面的直线的方向向量方向向量(这个这个平面的法向量平面的法向量)表示空间中平面表示空间中平面的位置的位置.3、平面的确定：、平面的确定：A平面的法向量：平面的法向量：如果表示向量如果表示向量 的有向线段所在的有向线段所在直线垂直于平面

2、直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面，则称这个向量垂直于平面 ,记作记作 ，如果，如果 ，那，那 么么 向向 量量 叫做叫做平面平面 的的法向量法向量.给定一点给定一点A和一个向量和一个向量 ,那么那么过点过点A,以向量以向量 为法向量的平面是为法向量的平面是完全确定的完全确定的.几点注意：几点注意：1.法向量一定是非零向量法向量一定是非零向量;2.一个平面的所有法向量都互一个平面的所有法向量都互相平行相平行;3.向量向量 是平面的法向量，向是平面的法向量，向量量 是与平面平行或在平面是与平面平行或在平面内，则有内，则有loxyzABCO1A1B1C1例1.如图所示,正方体的棱长为1(1)

3、直线OA的一个方向向量坐标为_(2)平面OABC 的一个法向量坐标为_(3)平面平面OAA1O1 的一个法向量坐标为的一个法向量坐标为_(0,0,1)(1,0,0)oxyzABCO1A1B1C1例1.如图所示,正方体的棱长为1平面AB1C 的一个法向量坐标为_(-1,-1,1)(1,1,-1)三、简单应用三、简单应用练习练习1：设直线设直线l，m的方向向量分别的方向向量分别为为 ，根据下列条件判断，根据下列条件判断l，m的位置关系：的位置关系：因为方向向量与法向量可以确定因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的用直线的方向向量方向向量

4、与平面的与平面的法向量法向量表表示空间直线、平面间的示空间直线、平面间的平行、垂直、平行、垂直、夹角、距离夹角、距离等位置关系等位置关系.用向量方法解决几何问题3.23.2立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法（2 2）平行关系）平行关系ml一一.平行关系：平行关系：例例1 四棱锥四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方是正方形形,PD底面底面ABCD，PD=DC=6,E是是PB的的中点，中点，DF:FB=CG:GP=1:2.求证：求证：AE/FG.ABCDP PG GXYZF FE EA(6,0,0),F(2,2,0),E(3,3,3),G(0,4,2),AE/FG 证证 ：如图所

5、示：如图所示,建立建立空间直角坐标系空间直角坐标系./AEAE与与FGFG不共线不共线几何法呢？几何法呢？例例2 如图如图,在正方形在正方形ABCD-A1B1C1D1中中,M,N分别是分别是C1C、B1C1的中点的中点,求证求证:MN平面平面A1BDDNMABCD!B!C!A!分析分析:证明线面问题证明线面问题,可利用三可利用三种方法种方法:一是证明一是证明 与平面与平面A1BD的法向量垂直的法向量垂直;二是在平二是在平面面A1BD内找一向量与内找一向量与 平行平行;三是证明三是证明 可以用平可以用平面面A1BD中的两不共线向量线中的两不共线向量线性表示性表示.DNMABCD!B!C!A!:建

6、立如图所示的空间直角坐标系建立如图所示的空间直角坐标系.xzy设正方体的棱长为设正方体的棱长为1,则可求得则可求得M(0,1,1/2),N(1/2,1,1),D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0).于是于是 设平面设平面A1BD的法向量是的法向量是则则 得得取取x=1,得得y=-1,z=-1,方法方法:证明证明 与平面与平面A1BD的法向量垂直的法向量垂直;XYZ三、练习:1 1，在正方体，在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，P P在在A A1 1B B1 1上，上，Q Q在在BCBC上，且上，且A A1 1P=QBP=QB，M M

7、、N N分别为分别为AB1AB1、PQPQ的中点。求证：的中点。求证：MN/MN/平面平面ABCDABCD。DBCAA1QPNMD1C1B1zyxo证明：建立如图所证明：建立如图所示的空间直角坐标示的空间直角坐标系系o-xyz设正方形边长为设正方形边长为2，又设又设A1P=BQ=2x则则P(2，2x，2)、Q(2-2x，2，0)故故N(2-x,1+x,1),而而M(2,1,1)所以向量所以向量 (-x,x,0)，又平面，又平面AC的法的法向量为向量为 (0,0,1)，又又M不在平面不在平面AC 内，所以内，所以MN平面平面AC 2、四棱锥四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正是正方形，

8、方形，PD底面底面ABCD，PD=DC,E是是PC的的中点，中点，(1)求证：求证：PA/平面平面EDB.ABCDP PE EXYZG解解1 立体几何法立体几何法ABCDP PE EXYZG解解2：如图所示建立空间直角坐标系，点：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设为坐标原点，设DC=1(1)证明：连结证明：连结AC,AC交交BD于点于点G,连结连结EGABCDP PE EXYZ解解3：如图所示建立空间直角坐标系，点：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设为坐标原点，设DC=1(1)证明：证明：设平面设平面EDB的法向量为的法向量为3.23.2立体几何中的向量方法立体几何中的

9、向量方法（3 3）垂直关系）垂直关系lmlABC例例1 1：棱长为棱长为a a 的正方体的正方体 中中,E,E、F F分别是棱分别是棱AB,OAAB,OA上的动点，且上的动点，且AF=BE,AF=BE,求证：求证：OCBAOAB CEFZxy 解：如图所示建立空间解：如图所示建立空间直角坐标系，设直角坐标系，设AF=BE=b.AF=BE=b.A1xD1B1ADBCC1yzEF是是BB1,1,，CD中点，求证：中点，求证：D1F 例例2 2 正方体正方体中，中，E、F分分别别平面平面ADE.证明：设正方体棱长为证明：设正方体棱长为1，为单位为单位正交正交 基底，建立如图所示坐标系基底，建立如图所

10、示坐标系D-xyz，所以所以A1xD1B1ADBCC1yzEF是是BB1,1,，CD中点，求证：中点，求证：D1F 例例2 2 正方体正方体中，中，E、F分分别别平面平面ADE.证明证明2：,E,E是是AA1 1中点，中点，例例3 3 正方体正方体平面平面C1 1BD.证明：证明：E求证：求证：平面平面EBD设正方体棱长为设正方体棱长为2,建立如图所示坐标系建立如图所示坐标系平面平面C1BD的一个法向量是的一个法向量是E(0,0,1)D(0,2,0)B(2,0,0)设平面设平面EBD的一个法向量是的一个法向量是平面平面C1 1BD.平面平面EBD 练习：练习：如图所示，如图所示，PA 矩形矩形

11、ABCD所所在平面，在平面，M,N分别是分别是AB,PC的中点。的中点。（1）求证：）求证：MN CD （2）若平面）若平面PDC与平面与平面ABCD成成45度度的角，求证：的角，求证：MN 平面平面PDC.（3）当）当AD:AP为何值时为何值时,MN 面面PDC并证明。并证明。练习练习：如图所示，如图所示，PA 矩形矩形ABCD所在所在平面，平面，M,N分别是分别是AB,PC的中点。的中点。（1）求证：）求证：MN CD设设AB=2a,AD=2b,AP=2c,则则M(a,0,0),C(2a,2b,0),D(0,2b,0),P(0,0,2c)N(a,b,c)练习练习：如图，如图，PA 矩形矩形

12、ABCD所在平面，所在平面，M,N分别是分别是AB,PC的中点。的中点。(2)若平面若平面PDC与平面与平面ABCD成成45度度的角，求证：的角，求证：MN 平面平面PDC.易证：易证：PDA=450,PA=AD,设设AB=2a,PA=AD=2b,则则M(a,0,0),C(2a,2b,0),D(0,2b,0),P(0,0,2b)N(a,b,b)练习练习：如图所示，如图所示，PA 矩形矩形ABCD所在平所在平面，面，M,N分别是分别是AB,PC的中点。的中点。(3)当当AD:AP为何值时，为何值时，MN 面面PDC,并证明。并证明。设设AD:AP=时时，MN 面面PDC,设设AB=2a,AD=2b,AP=2c,则则b=c,