利用空间向量解决立体几何问题.ppt

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1、利用空间向量解决立体几何问题数学专题二学习提纲学习提纲二、立体几何问题的类型及解法二、立体几何问题的类型及解法1、判断直线、平面间的位置关系；(1)直线与直线的位置关系;(2)直线与平面的位置关系;(3)平面与平面的位置关系;2、求解空间中的角度；3、求解空间中的距离。1、直线的方向向量；2、平面的法向量。一、引入两个重要空间向量一、引入两个重要空间向量1、直线的方向向量、直线的方向向量2、平面的法向量、平面的法向量空间中的两个重要向量lAP直线的方向向量直线的向量式方程 换句话说换句话说,直线上的非零向量叫做直线的直线上的非零向量叫做直线的方向向量方向向量直线的方向向量的理解把直线上任意两点

2、的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量直线的方向向量.如图,在空间直角坐标系中,由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方向向量是zxyAB2、平面的法向量、平面的法向量AlP平面平面 的向量式方程 换句话说换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面与平面垂直的非零向量叫做平面的的法向量法向量平面的法向量的理解v如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面,称这个向量垂直于平面,记作n,这时向量n叫做平面平面的法向量的法向量.noxyzABCO1A1B1C1例1.如图所示,正方体的棱长为1(1)直线OA的一个方向向量坐标为_(2)平面OABC 的一个法向量坐标为_(3)

3、平面AB1C 的一个法向量坐标为_(-1,-1,1)(0,0,1)(1,0,0)例例2(1)设设 分别是直线分别是直线 的方向向量的方向向量,根据下列根据下列条件判断条件判断 与与 的位置关系的位置关系:分析分析:直线方向向量与直线位置关系直线方向向量与直线位置关系,据此可判断两直线的位置关系据此可判断两直线的位置关系平行平行垂直垂直相交或异面相交或异面例例1(2)设设 分别是平面分别是平面 的法向量的法向量,根据下列条件根据下列条件判断判断 与与 的位置关系的位置关系:分析分析:平面法向量与两平面位置关系平面法向量与两平面位置关系,据此可判断两平面的位置关系据此可判断两平面的位置关系垂直垂直

4、平行平行相交相交(不垂直不垂直)例例2(2)设设 分别是平面分别是平面 的法向量的法向量,根据下列条件根据下列条件判断判断 与与 的位置关系的位置关系:分析分析:直线方向向量与平面法向量关系和直直线方向向量与平面法向量关系和直线与平面位置关系线与平面位置关系,据此可判断直线和平面的位置关系据此可判断直线和平面的位置关系例例2(3)设设 是平面是平面 的法向量的法向量,是直线是直线 的方向的方向向量向量,根据下列条件判断根据下列条件判断 与与 的位置关系的位置关系:垂直垂直相交相交(斜交斜交)例例4 已知平面已知平面 经过三点经过三点A(1,2,3)、B(2,0,-1)、C(3,-2,0),试求

5、平面试求平面 的一个法向量的一个法向量.解解:A(1,2,3)、B(2,0,-1)、C(3,-2,0)设平面设平面 的法向量是的法向量是依题意依题意,有有 ,即即 解得解得z=0且且x=2y,令令y=1,则则x=2平面平面 的一个法向量是的一个法向量是求平面的法向量的坐标的一般步骤:v第一步第一步(设设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z).v第二步(列):根据na=0且nb=0可列出方程组v第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y.v第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特殊越好),便得到平面法向量n的坐标.A AB BC CA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1D

6、DA1xD1B1ADBCC1yzEFCD中点，求证：中点，求证：D1F例例6.6.在正方体在正方体中，中，E、F分分别别是是BB1,1,，平面平面ADE 证明：设正方体棱长为证明：设正方体棱长为1，为单位正交为单位正交 基底，建立如图所示坐标系基底，建立如图所示坐标系D-xyz，则可得：则可得：所以所以巩固性训练1.设设 分别是直线分别是直线l1,l2的方向向量的方向向量,根据根据下列条件下列条件,判断判断l1,l2的位置关系的位置关系.平行平行垂直垂直平行平行垂直垂直平行平行相交相交2.设设 分别是平面分别是平面 的法向量的法向量,根根据下列条件据下列条件,判断判断 的位置关系的位置关系.3、设平面、设平面 的法向量为的法向量为(1,2,-2),平面平面 的的法向量为法向量为(-2,-4,k),若若 ，则，则k=；若；若 ,则则 k=.4、已知、已知 ，且，且 的方向向量为的方向向量为(2,m,1)，平面平面 的法向量为的法向量为(1,1/2,2),则则m=.5、若、若 的方向向量为的方向向量为(2,1,m),平面平面 的法向的法向量为量为(1,1/2,2),且且 ，则，则m=.