新课标人教A高中数学选修45第四讲《数学归纳法》课件.ppt

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1、数学归纳法2021/8/8 星期日1对于一些与无限多个正整数相关的命题对于一些与无限多个正整数相关的命题,如果不易用如果不易用以前学习过的方法证明以前学习过的方法证明,用数学归纳法可能会收到较用数学归纳法可能会收到较好的效果好的效果.2021/8/8 星期日2什么是数学归纳法什么是数学归纳法?一般地一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所的所有正整数有正整数n都成立时都成立时,可以用以下两个步骤可以用以下两个步骤:(1)证明当证明当n=n0时命题成立时命题成立;(2)假设当假设当n=k 时命题成立时命题成立,证明证明n=k+1时命题也成立时命题也成立

2、.在完成了这两个步骤后在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立的所有正整数都成立.这种证明方法称为这种证明方法称为数学归纳法数学归纳法.2021/8/8 星期日3用数学归纳法证明时用数学归纳法证明时,要分两个步骤要分两个步骤,两者缺一不可两者缺一不可.(1)证明了第一步证明了第一步,就获得了递推的基础就获得了递推的基础,但仅靠这一步还不但仅靠这一步还不能说明结论的正确性能说明结论的正确性.在这一步中在这一步中,只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了了,没有必要验证命题对几个正整数成立没有必要验证命题

3、对几个正整数成立.(2)证明了第二步证明了第二步,就获得了推理的依据就获得了推理的依据.仅有第二步而没有仅有第二步而没有第一步第一步,则失去了递推的基础则失去了递推的基础;而只有第一步而没有第二步而只有第一步而没有第二步,就可能得出不正确的结论就可能得出不正确的结论,因为单靠第一步因为单靠第一步,我们无法递推下我们无法递推下去去,所以我们无法判断命题对所以我们无法判断命题对n0+1,n0+2,是否正确是否正确.在第二步中在第二步中,n=k命题成立命题成立,可以作为条件加以运用可以作为条件加以运用,而而n=k+1时的情况则有待利用命题的已知条件时的情况则有待利用命题的已知条件,公理公理,定理定理

4、,定义加以定义加以证明证明.完成一完成一,二步后二步后,最后对命题做一个总的结论最后对命题做一个总的结论.2021/8/8 星期日4一一.用数学归纳法证明等式问题用数学归纳法证明等式问题2021/8/8 星期日52021/8/8 星期日6特别提示特别提示:数学归纳法证题的关键是数学归纳法证题的关键是“一凑假设一凑假设,二凑结论二凑结论”,在证在证题的过程中题的过程中,归纳推理一定要起到条件的作用归纳推理一定要起到条件的作用,即证明即证明n=k+1成立时必须用到归纳递推这一条件成立时必须用到归纳递推这一条件.2021/8/8 星期日7课堂练习课堂练习:CB2021/8/8 星期日8BC2021/

5、8/8 星期日9BD2021/8/8 星期日10B2021/8/8 星期日11二二.用数学归纳法证明几何问题用数学归纳法证明几何问题特别提示特别提示:用数学归纳法证几何问题用数学归纳法证几何问题,应特别注意语言叙述正确应特别注意语言叙述正确,清清楚楚,一定要讲清从一定要讲清从n=k到到n=k+1时时,新增加量是多少新增加量是多少.一般一般地地,证明第二步常用的方法是加一法证明第二步常用的方法是加一法,即在原来的基础上即在原来的基础上,再增加一个再增加一个,也可以从也可以从k+1个中分出一个来个中分出一个来,剩下的剩下的k个利个利用假设用假设.2021/8/8 星期日122021/8/8 星期日132021/8/8 星期日142021/8/8 星期日152021/8/8 星期日16补充练习：补充练习：2021/8/8 星期日172021/8/8 星期日18二二.用数学归纳法证明不等式问题用数学归纳法证明不等式问题2021/8/8 星期日192021/8/8 星期日202021/8/8 星期日212021/8/8 星期日222021/8/8 星期日232021/8/8 星期日242021/8/8 星期日252021/8/8 星期日26