年高三数学一轮专题复习 2.6 指数与指数函数课件.ppt

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1、1.指数幂的概念（1）根式一般地,如果一个数的n次方等于a(n1且nN N*),那么这个数叫做a的n次方根.也就是,若xn=a，则x叫做 ,其中n1且nN N*.式子 叫做 ,这里n叫做 ,a叫做 .（2）根式的性质当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号 表示.2.6 2.6 指数与指数函数指数与指数函数要点梳理要点梳理a的n次方根根式根指数被开方数2021/8/8 星期日1 当n为偶数时,正数的n次方根有两个,它们互为相反数，这时，正数的正的n次方根用符号 表示，负的n次方根用符号 表示.正负两个n次方根可以合写为 .当n为奇数时，.当n为

2、偶数时，负数没有偶次方根.零的任何次方根都是零.2.有理指数幂（1）分数指数幂的表示：正数的正分数指数幂是a2021/8/8 星期日2 (a0,m,nN N*,n1).正数的负分数指数幂是 (a0,m,nN N*,n1).0的正分数指数幂是 ,0的负分数指数幂无意义.(2)有理指数幂的运算性质aras=(a0,r,sQ Q),(ar)s=(a0,r,sQ Q),(ab)r=(a0,b0,rQ Q.0ar+sarsarbr2021/8/8 星期日33.指数函数的图象与性质a10a0时,；x0时,；x10y10y1R R增函数2021/8/8 星期日41.已知 ，则化简 的结果是 （）A.B.C.

3、D.解析解析 基础自测基础自测C2021/8/8 星期日52.设指数函数f(x)=ax(a0且a1)，则下列等式不正确的是（）A.f(x+y)=f(x)f(y)B.f(xy)n)=fn(x)fn(y)C.D.f(nx)=fn(x)解析解析 f(x+y)=ax+y=f(x)f(y),f（nx）=anx=（ax）n=fn（x），A、C、D均正确,故选BB2021/8/8 星期日63.函数f(x)=ax-b的图象如图所示，其中a、b为常数，则下列 结论正确的是 ()A.a1,b0 B.a1,b0 C.0a0 D.0a1,b0 解析解析 由函数图象知函数为减函数，0a1.当x=0时，0f(x)=a-b

4、0.故0a1,b0.D2021/8/8 星期日74.关于函数f(x)=2x-2-x(xR，有下列三个结论：f(x)的值域为R R；f(x)是R R上的增函数；对任意xR R,有f(-x)+f(x)=0成立.其中全部正确的结论是 ()A.B.C.D.解析解析 由于y=2x与y=2-x的值域为（0，+），且分别为增 函数和减函数，f（x）=2x-2-x的值域为R R，且f(x)在R R上递增，又f(-x)=2-x-2x,f(-x)+f(x)=0.A A2021/8/8 星期日85.（2007山东理山东理，2）已知集合M=-1,1,则MN等于（）A.-1,1B.-1 C.0D.-1,0 解析解析 x

5、Z Z =x|-2xf(cx)D.大小关系随x的不同而不同【思维启迪】求出b、c之值再比较之，注意bx与cx在对称轴 的哪一边.解析解析 f（1+x）=f（1-x）.f（x）的对称轴为直线x=1,由此得b=2 又f(0)=3,c=3，f（x）在（-,1）上递减，在(1,+)上递增.题型二题型二 利用指数函数的单调性比较大小利用指数函数的单调性比较大小A2021/8/8 星期日13若x0,则3x2x1,f(3x)f(2x)，若x0，则3x2xf(2x),f(3x)f(2x),故选A.探究拓展探究拓展 （1）比较大小通常有如下方法：作差法；作商法；单调性法；中间量法.如 与 的大小比较，可采用中间

6、量 （2）对于多个数值大小比较问题，可先将这些数值分类，先比较它们与某些特殊值（如0,-1,1等）的大小，然后再将各部分比较大小.（3）对于含参数的大小比较问题，有时需对参数进行分类讨论.2021/8/8 星期日14 求下列函数的定义域、值域及其单调区间：（1）（2）【思维启迪思维启迪】(1)定义域是使函数有意义的x的取值范围，单调区间利用复合函数的单调性求解.（2）利用换元法，同时利用复合函数单调性判断方法进而 求得值域.解解（1）依题意x2-5x+40,解得x4或x1,f（x）的定义域是（-，14，+）.题型三题型三 指数函数的图象与性质指数函数的图象与性质2021/8/8 星期日15令x

7、（-，14，+），u0，即而函数f(x)的值域是1，+）.当x（-，1时，u是减函数，当x4，+）时，u是增函数.而31,由复合函数的单调性可知，在（-，1上是减函数，在4，+）上是增函数.故f（x）的增区间是4，+），减区间是（-，1.2021/8/8 星期日16（2）由函数的定义域为R,R,令g(t)=-t2+4t+5=-(t-2)2+9,t0,g(t)=-(t-2)2+99,等号成立的条件是t=2,即g(x)9,等号成立的条件是 即x=-1，g（x）的值域是（-，9.由g(t)=-(t-2)2+9(t0),是减函数，要求g(x)的增区间实际上是求g(t)的减区间，求g(x)的减区间实际上

8、是求g(t)的增区间.g（t）在（0，2上递增，在2，+）上递减，2021/8/8 星期日17由 可得x-1,由 可得x-1.g（x）在-1，+）上递减，在（-，-1上递增，故g(x)的单调递增区间是（-，-1，单调递减区间是-1，+）.探究拓展探究拓展 （1）涉及复合函数单调性问题，首先应弄清函数是由哪些基本函数复合得到的，求出复合函数的定义域，然后分层逐一求解内层函数的单调区间和外层函数的单调区间.（2）利用定义证明时可分层比较，对于内外层函数，注意“同增异减”.2021/8/8 星期日18 （12分）设a0 是R R上的偶函数.（1）求a的值；（2）求证：f(x)在(0,+)上是增函数.

9、【思维启迪思维启迪】（1）利用f(-x)=f(x)得恒等式，求参数a;(2)利用单调性定义证明.（1）解解 f（x）是R R上的偶函数，f（-x）=f（x）,1分 对一切x均成立，而a0,a=1.题型四题型四 指数函数的综合应用指数函数的综合应用3分4分2021/8/8 星期日19(2)证明证明 在（0，+)上任取x1、x2，且x1x2,5分则x10,x20,x1+x20,10分 f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),故f(x)在（0,+）上是增函数.12分8分2021/8/8 星期日20探究拓展探究拓展 对于含参数的函数，若其具有奇偶性，则可根据定义建立恒等式，通过分析系数得到关

10、于参数的方程或方程组，求出即可；而单调性多与参数的取值有关，应根据情况进行分类讨论.2021/8/8 星期日21方法与技巧1.单调性是指数函数的重要性质，特别是函数图象的无限伸 展性，x轴是函数图象的渐近线.当0a1时，x-,y0;当a1时，a的值越大，图象 越靠近y轴，递增的速度越快；当0a0,a1)的图象和性质受a的影响，要分a1与0a1来研究.2.对可化为a2x+bax+c=0或a2x+bax+c0(0)的指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围.2021/8/8 星期日231.化简下列各式（其中各字母均为正数）：（1）（2）解解 (1)原式 2021/8/8 星

11、期日242.已知实数a、b满足等式 下列五个关系式：0ba;ab0;0ab;ba0;a=b.其中不可能成立的关系 式有 （）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析解析 作 的图象，如图.当x0时，则有ab0;成立.当x0时，则有0ba;成立.当x=0时，则有a=b=0.成立.故不成立，因而选BB2021/8/8 星期日253.求下列函数的单调递增区间：（1）解解 （1）函数的定义域为R R.令u=6+x-2x2,则 二次函数u=6+x-2x2的对称轴为 在区间 上，u=6+x-2x2是减函数，又函数 是减函数，函数 在 上是增函数.故 的单调递增区间为2021/8/8 星期日26（2）令

12、u=x2-x-6,则y=2u,二次函数u=x2-x-6的对称轴是 在区间 上u=x2-x-6是增函数.又函数y=2u为增函数，函数 在区间 上是增函数.故函数 的单调递增区间是2021/8/8 星期日274.已知定义在R R上的奇函数f(x)有最小正周期2,且当x(0，1)时,(1)求f(x)在-1,1上的解析式；(2)证明：f(x)在(0,1)上是减函数.(1)解解 当x（-1，0）时，-x（0，1）.f(x)是奇函数，由f(0)=f(-0)=-f(0)，且=-f(-1+2)=-f(1),得f(0)=f(1)=f(-1)=0.在区间-1，1上，有2021/8/8 星期日28（2）证明 当x（

13、0，1）时，f(x)=设0 x1x21,则0 x1x20,即f(x1)f(x2),故f(x)在（0，1）上单调递减.2021/8/8 星期日291.的大小顺序为 （）A.B.C.D.解析解析2.B 3.B 4.C 5.AB2021/8/8 星期日306.当x0时，函数f(x)=(a2-1)x的值总大于1，则实数a的取 值范围是 （）A.1|a|2B.|a|0时，f(x)=(a2-1)x的值总大于1，a2-11，a22，7.C2021/8/8 星期日318.函数y=ax（a0,且a1）在1，2上的最大值比最小值 大 则a的值是 .解析解析 当a1时，y=ax在1，2上单调递增，故 得 当0a0时

14、，2x1,x30.f(x)为偶函数，当x0.综上可得f(x)0.11.已知函数 (a0，且a1).(1)判断f(x)的单调性；（2）验证性质f(-x)=-f(x),当x(-1,1)时，并应用该性质 求满足f(1-m)+f(1-m2)0的实数m的范围.解解（1）设x1x2,x1-x21,则2021/8/8 星期日33所以即f(x1)f(x2),f(x)在（-,+）上为增函数；同理，若0a1则即f(x1)f(x2),f(x)在（-,+）上为增函数.综上，f(x)在R R上为增函数.2021/8/8 星期日34(2)则显然f(-x)=-f(x).f(1-m)+f(1-m2)0,即f(1-m)-f(1-m2)f(1-m)f(m2-1),函数为增函数，且x(-1,1)，故解-11-mm2-11,可得2021/8/8 星期日3512.（1）奇函数 （2）证明证明 令x2x1，则f（x2）-f（x1）当x2x1时，又 故当x2x1时，f（x2）-f（x1）0，即f（x2）f（x1）.所以f（x）是增函数.（3）（-1，1）返回2021/8/8 星期日362021/8/8 星期日37