函数极限存在的夹逼准则(课件全).ppt

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1、一一.函数极限存在的夹逼准则函数极限存在的夹逼准则定理定理2.且第六节 极限存在准则及两个重要极限证明证明证证:当时,设则当则从而有故 也可写为时,令用于1 型例：例：1、求原式公式：证证:当即时，例例.1、求解解:原式原式2 2、求求解解:原式=3、求解解:令则因此原式令令 第一章 都是无穷小,第七节引例引例.但 无穷小趋于 0 的速度是多样的.无穷小的比较定义：定义：设 ,对同一自变量的变化过程为无穷小,且 是 的高阶无穷小 是 的低阶无穷小 是 的同阶无穷小 是 的等价无穷小 是 的 k 阶无穷小记作记作或例如例如,当时又如又如，时是关于 x 的二阶无穷小,且例例.当时,是的几阶无穷小?

2、解：无穷小量比较阶时，要找最低阶数例例.证明:当时,证证:常用等价无穷小:说明：以上各式中的x可换为任意无穷小定理定理1.证证:即即例如例如,故定理定理2.设且存在,则证证:例如例如,自变量变化过程相同因式代替规则因式代替规则因式代替规则因式代替规则:界,则例如,乘除可代替例例1.求解解:原式 乘除可代替和差代替有条件例例2.求解解:第八节函数的连续性与间断点 一、一、函数连续性的定义函数连续性的定义1、f(x)在 x0 点处连续对自变量的增量有函数的增量称函数在点连续反映自变量的变化很微小时，函数值的变化也很微小。定义：定义：f(x)在在 x0 的某一邻域的某一邻域 内有定义内有定义1、可正

3、可负，不为零。2、可正可负可为零。例例.证明函数在内任意一点连续.证证:即这说明在内任意一点连续.函数在点连续有下列等价命题:可见,函数在点定义定义:在的某邻域内有定义,则称函数(1)在点即(2)极限(3)设函数连续必须具备下列条件:存在;且有定义,存在;若在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上连续,或称它为该区间上的连续函数连续函数.2、f(x)在区间上连续称 f(x)在x0 点处左连续称 f(x)在x0 点处右连续其图像是一条连续而不间断的曲线。其图像是一条连续而不间断的曲线。ab在二、二、函数的间断点函数的间断点(1)函数(2)不存在;(3)函数存在,但 不连续:设在点的某去心邻域内有

4、定义,则下列情形这样的点之一函数 f(x)在点虽有定义,且称为间断点间断点.在无定义;间断点分类间断点分类:第一类间断点第一类间断点:及均存在,若称若称第二类间断点第二类间断点:及中至少一个不存在,称若其中有一个为振荡,称若其中有一个为为可去间断点.为跳跃间断点.为无穷间断点无穷间断点.为振荡间断点振荡间断点.为其无穷间断点.为其振荡间断点.为可去间断点.例如例如:显然为其可去间断点.(4)(5)为其跳跃间断点.左连续右连续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在 第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型在点连续的等价形式3、若在某区间上每一点都连续,则称它

5、在该区间上连续,或称它为该区间上的连续函数连续函数.其图像是一条连续而不间断的曲线。其图像是一条连续而不间断的曲线。第九节连续函数的运算与初等函数的连续性定理定理2.连续单调递增 函数的反函数在其定义域内连续一、连续函数的运算法则一、连续函数的运算法则定理定理1.在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积,商(分母不为 0)运算,结果仍是一个在该点连续的函数.例如例如,例如例如,在上连续单调递增，其反函数(递减).在 1,1 上也连续单调递增.递增(递减)也连续单调定理定理3.连续函数的复合函数是连续的.在上连续 单调 递增,其反函数在上也连续单调递增.即：设函数于是复合函数又如又如,且即例如例

6、如,是由连续函数链因此在上连续.复合而成,二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内在定义区间内连续连续函数有限次四则运算四则运算的结果连续连续函数的反函数反函数连续有限个连续函数的复合函数复合函数连续初等函数在定义区间内连续的连续区间为(端点为单侧连续)的连续区间为的定义域为因此它无连续点而例如例如,三、求连续区间、并讨论间断点。1、初等函数的连续区间即为其定义域，定义域外的点为间断点。例：讨论 的连续区间及间断点例：讨论 的连续区间及间断点2、分段函数连续区间的求法-分界点为可能间断点。例：讨论 的连续区间及间断点例：讨论 的连续区间及间断点根据连续定义确定待定系数根

7、据连续定义确定待定系数例例3.设函数在 x=0 连续,则 a=,b=.解解:四、利用初等函数的连续性求极限2、设函数于是例例4.求求解解:原式第十节一一、最值定理、最值定理 二、零点定理、介值定理二、零点定理、介值定理 闭区间上连续函数的性质 注意注意:若函数在开区间上连续,结论不一定成立.一一、最值定理、最值定理定理定理1.1.闭区间上连续的函数即:使或在闭区间内有间断 在该区间上必有最大(小)值点,例如例如,无最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如又如,推论推论.二、介值定理二、介值定理定理定理2.(零点定理零点定理)至少有一点且在闭区间上连续的函数在该区间上有界.定理定理3.(介值定理

8、)设 且则对 A 与 B 之间的任一数 C,一点证证:作辅助函数则且故由零点定理知,至少有一点使即推论推论:使至少有在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最大值之间的任何值.例例1.证明方程一个根.证证:令令又故据零点定理,至少存在一点使即在区间内至少有通过作辅助函数F(x),再利用零点定理辅助函数的作法：1、把结论中的 （或 ）改写成2、移项，使等式右边为零，令左边式子为F(x)例2：至少有一个不超过 4 的 证证：证明令且根据零点定理,原命题得证.内至少存在一点在开区间显然正根.则证明至少存在使提示提示:令则易证例例3：设一点三、判断函数有界的方法：1、若 f(x)在a,b上连续 f(x)

9、在a,b有界2、若 f(x)在（a,b）上连续 f(x)在（a,b）有界习题课习题课二、二、连续与间断连续与间断 一、一、函数函数 三、三、极限极限 2.设函数求解解:一、一、函数函数1、已知,求解解:4.设求解解:3.设求及其定义域.由得 解解:解解:利用函数表示与变量字母的无关的特性.代入原方程得代入上式得设其中求令即即令即画线三式联立即5 5.有无穷间断点及可去间断点解解:为无穷间断点,所以为可去间断点,极限存在6.设函数试确定常数 a 及 b.二、二、连续与间断连续与间断7.设 f(x)定义在区间上,若 f(x)在连续,提示提示:且对任意实数证明 f(x)对一切 x 都连续.8.求的间断点,并判别其类型.解解:x=1 为第一类可去间断点 x=1 为第二类无穷间断点 x=0 为第一类跳跃间断点3、由下列等式，求出a，b，c。5.求解解:令则利用夹逼准则可知