利息理论统计与金融数学系陈萍.ppt

《利息理论统计与金融数学系陈萍.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《利息理论统计与金融数学系陈萍.ppt（243页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、1利利 息息 理理 论论开课系：理学院开课系：理学院 统计与金融数学系统计与金融数学系教师教师:陈萍陈萍e-mail:Probstat 参考书：利息理论参考书：利息理论 S.G.Kellison著著 尚汉冀译尚汉冀译上海科学技术出版社上海科学技术出版社2第一章第一章 利息的度量利息的度量n积累函数与金额函数积累函数与金额函数n利率利率n现时值现时值n名义利率与名义贴现率名义利率与名义贴现率n利息效力与贴现效力利息效力与贴现效力 在经济活动中，资金的周转使用会带来价值的在经济活动中，资金的周转使用会带来价值的增值，资金周转使用时间越长，实现的价值增值越增值，资金周转使用时间越长，实现的价值增值越

2、大。同时，等额的货币在不同时间上由于受通货膨大。同时，等额的货币在不同时间上由于受通货膨胀等因素的影响，其实际价值也是不同的。因此，胀等因素的影响，其实际价值也是不同的。因此，货币的使用者把货币使用权转让给其他经济活动者，货币的使用者把货币使用权转让给其他经济活动者，他应该获得与放弃这个使用机会时期长短相应的报他应该获得与放弃这个使用机会时期长短相应的报酬。酬。定义定义 利息就是掌握和运用他人资金所付的代价或转利息就是掌握和运用他人资金所付的代价或转让货币使用权所得的报酬。让货币使用权所得的报酬。利息的计算与积累函数的形式、利息的计息次数有关。利息的计算与积累函数的形式、利息的计息次数有关。4

3、1.1积累函数与金额函数积累函数与金额函数 一般地，一笔金融业务可看成是投资一定数量的钱款一般地，一笔金融业务可看成是投资一定数量的钱款以产生利息，初始投资的金额称为本金，而过一段时以产生利息，初始投资的金额称为本金，而过一段时间后收回的总金额称为积累值。间后收回的总金额称为积累值。积累值积累值=本金本金+利息利息假定假定：设一旦给定了原始投资的本金数额，则在以后：设一旦给定了原始投资的本金数额，则在以后任何时刻积累值均可确定，且设在投资期间内不再加任何时刻积累值均可确定，且设在投资期间内不再加入或抽回本金。也就是说，资金数额的任何变化严格入或抽回本金。也就是说，资金数额的任何变化严格说都是由

4、利息效应产生的。说都是由利息效应产生的。自融资自融资5定义定义 考虑一单位本金，记原始投资为考虑一单位本金，记原始投资为1时在任何时在任何时刻的积累值为时刻的积累值为a(t)，称为，称为积累函数积累函数。a(t)的性质：的性质：(1)a(0)=1;(2)a(t)通常为增函数；通常为增函数；(3)当利息连续增加时，当利息连续增加时，a(t)为连续函数。为连续函数。典型积累函数典型积累函数:6定义定义 A(t)=ka(t)称为称为金额函数金额函数，它给出，它给出原始投资为原始投资为k时在时刻时在时刻t=0的积累值。的积累值。记从投资之日算起第记从投资之日算起第n个时期所得到的利息金额为个时期所得到

5、的利息金额为In.则则In=A(n)-A(n-1)(1.1.2)注注 设设t为从投资之日算起的时间，用来度量时间的为从投资之日算起的时间，用来度量时间的单位称为单位称为“度量时期度量时期”或或“时期时期”，最常用的时期，最常用的时期为一年为一年以以I（t)表示表示t时刻的利息额，则时刻的利息额，则I(t)=A(t)-A(0)例例1.1.1.考虑金额函数考虑金额函数a)确定对应的积累函数确定对应的积累函数a(t)b)检验检验a(t)是否满足积累函数的三条性质是否满足积累函数的三条性质c)找出找出In解解:81.2.利率利率1.2.1.实质利率实质利率定义定义 实质利率实质利率i是指在某一时期开始

6、时投资是指在某一时期开始时投资1单位单位本金时，在此时期内应获得的利息。本金时，在此时期内应获得的利息。如：一年期存款，年利率如：一年期存款，年利率i=2.25%,故故a(1)=1+2.25%本金本金100元，年末积累值为元，年末积累值为100(1+2.25%)=102.25元元注（注（1)实质利率常用百分比表示。实质利率常用百分比表示。（2）本金在整个时期内视为常数）本金在整个时期内视为常数 （3)实质利率是一种度量，其中利息在期末支付。实质利率是一种度量，其中利息在期末支付。它可用金额函数确定如下：它可用金额函数确定如下：i=A(1)-A(0)/A(0)=I1/A(0)这就可以给出另一个定

7、义：这就可以给出另一个定义：定义定义 实质利率实质利率i是某时期内得到的利息金额与此是某时期内得到的利息金额与此时期开始时投资的本金额之比。时期开始时投资的本金额之比。实质利率可以对任何度量的时期进行计算。设实质利率可以对任何度量的时期进行计算。设in为为从投资之日算起第从投资之日算起第n个时期的实质利率，则个时期的实质利率，则in n=A(n)-A(n-1)/A(n-1)=I=A(n)-A(n-1)/A(n-1)=In n/A(n-1)n/A(n-1)n 1 1例例1.2.1.证明证明A(n)=(1+in)A(n-1)1.2.2.单利单利定义定义 若考虑投资若考虑投资1 1单位本金，在每一时

8、期中得到的单位本金，在每一时期中得到的利息为常数，其积累函数则为线性的。利息为常数，其积累函数则为线性的。a(t)=1+it a(t)=1+it 对整数对整数 t t 0 0这种类型产生的利息为这种类型产生的利息为单利单利。例例.a)a)如如500500元存款在元存款在5 5年内积累到年内积累到590590元，单利元，单利利率为多少？利率为多少？b)500b)500元按元按3.6%3.6%的单利要经过多少的单利要经过多少年可积累到年可积累到600600元？元？解解:a):a)设设单利利率为单利利率为i,则则b)设要经过设要经过x年积累年积累,则则练习练习1.1.如果如果10001000元以某一

9、单利利率经元以某一单利利率经过某一长度的时期积累到过某一长度的时期积累到11001100元，试元，试确定确定500500元以该单利利率的元以该单利利率的3/43/4倍的利倍的利率经两倍长的时期的积累值。率经两倍长的时期的积累值。练习练习2.2.查出目前市面流通或发行的国查出目前市面流通或发行的国债，计算其利率。与同期存款利率进债，计算其利率。与同期存款利率进行比较。行比较。131.2.3.复利复利 定义定义 复利复利的积累函数是的积累函数是a(t)=(1+i)a(t)=(1+i)t t 对整数对整数t t 0 0单利与复利的异同单利与复利的异同(1)(1)单利与复利对单个度量时期会产生同样的结

10、果。对单利与复利对单个度量时期会产生同样的结果。对较长的时期，复利比单利产生较大的积累值，而对较较长的时期，复利比单利产生较大的积累值，而对较短的时期则相反。短的时期则相反。(2)(2)增长形式不同：对于单利来说，它在同样长时期内增长形式不同：对于单利来说，它在同样长时期内的增长绝对值保持为常数；而对复利来说则是增长的的增长绝对值保持为常数；而对复利来说则是增长的相对比率保持为常数。即相对比率保持为常数。即 对单利：对单利：a(t+s)-a(t)a(t+s)-a(t)不依赖于不依赖于t t 对复利：对复利：a(t+s)-a(t)/a(t)a(t+s)-a(t)/a(t)不依赖于不依赖于t t例

11、例1.2.5.某人有某人有1000元准备存款元准备存款5年，现有两种存款年，现有两种存款方式：方式：1)按年利率按年利率5.85%的单利。的单利。2)按年利率按年利率5.27%的复利；问哪种存款所得积累值较多？的复利；问哪种存款所得积累值较多？解解:故按年利率故按年利率5.27%的复利存款所得积累值较多的复利存款所得积累值较多.某人有某人有10000元本金，准备存款元本金，准备存款5年，请提供存款年，请提供存款方案方案,并分析按那种方案所得积累值较多？并分析按那种方案所得积累值较多？参考：人民币存款利率表：参考：人民币存款利率表：1年2.25%2年2.7%3年3.24%5年3.6%16 1.3

12、 现时值现时值1.3.1.现时值现时值考虑这样的问题：一笔十年后付考虑这样的问题：一笔十年后付10001000元的付款，相元的付款，相当于现在付多少元？购房时，一次付清可享受适当当于现在付多少元？购房时，一次付清可享受适当的优惠，一次付清与分期付款到底那个合算的优惠，一次付清与分期付款到底那个合算?定义定义.称一单位金额在称一单位金额在t t时期前的值或时期前的值或t t时期末一单位时期末一单位金额在现在的值为金额在现在的值为t t时期现时值时期现时值。记对应实质利率记对应实质利率i,i,称称v=1/(1+=1/(1+i)为为贴现因子贴现因子。（相应的。（相应的1+1+i称为积累因子）称为积累

13、因子）17上述结果扩展到不止一个时期，也就是说要确定上述结果扩展到不止一个时期，也就是说要确定某人在时期开始时应投资多少才能在某人在时期开始时应投资多少才能在t t时期末积累时期末积累到金额到金额1 1。定义定义 称称a-1(t)=1/a(t)为贴现函数。代表在为贴现函数。代表在t t时期末的时期末的1 1单位金额的现时值。单位金额的现时值。例例1.3.1.1.3.1.五年期国债，面值为五年期国债，面值为100100元，按贴现发行，元，按贴现发行，若若i=6.42%,i=6.42%,则其发行价应为多少？则其发行价应为多少？(1)(1)按单利按单利.(2).(2)按复利按复利解解:注注 一一时时

14、期期内内金金额额的的改改变变可可以以称称为为“利利息息”，也也可可以称为以称为“贴现贴现”，但两者意义不同。，但两者意义不同。利利息息本本金金基基础础上上的的增增加加额额，在在期期末末支支付付，其其计计算的依据为期初余额。算的依据为期初余额。贴贴现现积积累累值值基基础础上上的的减减少少额额，在在期期初初支支付付，其其计算的依据是期末余额。计算的依据是期末余额。用实质利率用实质利率i可以很方便地计算：利息可以很方便地计算：利息=本金本金*i也希望有类似的参数也希望有类似的参数d，使：贴现，使：贴现=期末值期末值*d参数参数d就是贴现率。就是贴现率。EX.EX.已知已知$500$500的投资在第的

15、投资在第3030年末将增长到年末将增长到$4000,$4000,求在求在第第2020年，年，4040年，年，6060年末各付款年末各付款$10000$10000的现时值之和。的现时值之和。19 1.3.2.实质贴现率实质贴现率定义定义 称称 为为1时期的时期的实质贴现率实质贴现率。例例 假设某人假设某人A A到银行以实质贴现率到银行以实质贴现率6%6%借借100100元，为期元，为期1 1年，一年后年，一年后A A还给银行还给银行100100元。则元。则1)1)银行实际付给银行实际付给A A多多少元？少元？2)2)这相当于实质利率是多少的贷款？这相当于实质利率是多少的贷款？解解:显然显然推广到

16、推广到n n个时期有个时期有 a-1(t)=(1-d)t t t 0 (1.3.1)0 (1.3.1)称满足称满足(1.3.1)(1.3.1)的的d d为复贴现率为复贴现率.定义定义 称两个贴现率或利率称两个贴现率或利率等价等价，如果对给定的投，如果对给定的投资金额，在同样长的时期内两者产生同样的积累值资金额，在同样长的时期内两者产生同样的积累值例例1.3.2 求证：若求证：若a(t)=(1+i)a(t)=(1+i)t t ，则在各时期内等价，则在各时期内等价的实质贴现率为常数，的实质贴现率为常数，(1.3.2)(1.3.2)d d与与i i之间的几种变形有一些有趣的字面解释：之间的几种变形有

17、一些有趣的字面解释：1)1)d=i/(1+i)d=i/(1+i)-期期初初投投资资1 1，在在1 1时时期期末末赚赚得得的的利利息息i i按贴现因子贴现到期初即为贴现率按贴现因子贴现到期初即为贴现率d d。2)2)1/(1+i)1/(1+i)=1-d=1-d-此此方方程程两两边边均均表表示示在在期期末末支支付付1 1的现时值。的现时值。3)3)i-d=id i-d=id-某某人人可可借借贷贷1 1而而在在期期末末归归还还1+i1+i，也也可可以以借借贷贷1-d1-d而而在在期期末末归归还还1 1。表表达达式式i-di-d是是所所付付利利息息的的差差额额，此此种种差差额额是是因因为为所所借借本本

18、金金相相差差d d而而产产生生的的。金额金额d d依利率依利率i i在一时期末的利息就是在一时期末的利息就是id.id.221.4.1.4.名义利率与名义贴现率名义利率与名义贴现率1.4.1.名义利率名义利率在实际金融业务中，常会遇到这样的说法：在实际金融业务中，常会遇到这样的说法：“年利年利10%,半年结算一次半年结算一次”、“季度复利季度复利10%”或或“月度月度复利复利10%”等等。等等。由于一年内结算次数不同产生了利率的由于一年内结算次数不同产生了利率的“名不副实名不副实”，原来给定数据，原来给定数据10%就是名义利率。就是名义利率。定定义义 记记i i(m)(m)为为每每一一时时期期

19、付付m m次次的的名名义义利利率率，其其中中m1,mm1,m为整数。为整数。注注:所谓名义利率所谓名义利率i(m)指每指每1/m1/m时期支付一次的利率，时期支付一次的利率，也就是说，对于每也就是说，对于每1/m时期，一本金的利息是时期，一本金的利息是i(m)/m而不是而不是i(m)。定义定义 利息支付及再投资以赚取额外利息的周期称利息支付及再投资以赚取额外利息的周期称为为“利息转换时期利息转换时期”1.4.2.名义利率与实质利率的关系名义利率与实质利率的关系设设一一时时期期的的名名义义利利率率为为i(m),与与之之等等价价的的实实质质利利率率为为i，则应有则应有1+i=(1+i(m)/m)m

20、。于是有于是有 或或例例1.4.1.1.4.1.贷款人贷款人A A开价年实质利率为开价年实质利率为9%,9%,贷款人贷款人B B开价季度复利开价季度复利8.75%8.75%，而贷款人，而贷款人C C开价月度开价月度复复利利8.5%8.5%。某人需要为期一年的贷款，问谁的贷款好。某人需要为期一年的贷款，问谁的贷款好？解解:对对B:B:对对C:故故C的贷款好的贷款好.1.4.3.名义贴现率名义贴现率定义定义 每一时期支付每一时期支付m m次的名义贴现率记作次的名义贴现率记作d d(m)(m).表示表示每每1/m 1/m 时期支付时期支付d d(m)(m)/m/m 的实质贴现率。的实质贴现率。例例1

21、.4.2.1.4.2.试确定试确定100100元在两年之末的积累值。元在两年之末的积累值。A)A)如果名义利率为季度转换如果名义利率为季度转换6%.6%.B)B)如果名义贴现率为季度转换如果名义贴现率为季度转换6%.6%.解解:设积累值为设积累值为x,则则26名义利率与名义贴现率之间的关系名义利率与名义贴现率之间的关系考虑考虑与与(1.4.1)如果如果m=p,则则(1.4.2)将将(1.4.2)(1.4.2)式两端同乘以（式两端同乘以（1-d1-d(m)(m)/m)/m)得得(1.4.3)它表明每一利息转换时期内利息与贴现的差额是因为它表明每一利息转换时期内利息与贴现的差额是因为期初本金相差期

22、初本金相差d d(m)(m)/m/m产生的。金额产生的。金额d d(m)(m)/m/m依利率依利率i i(m)(m)/m/m在在该利息转换时期末的利息就是该利息转换时期末的利息就是(i(i(m)(m)/m)(d/m)(d(m)(m)/m)/m)。EX1EX1.确定季度转换的名义利率使它等价于月度转换确定季度转换的名义利率使它等价于月度转换6%6%的名义贴现率。的名义贴现率。EX2EX2.证明证明i i(m)(m)=d=d(m)(m)(1+i)(1+i)1/m1/m,并按字面解释之。并按字面解释之。281.5 利息效力与贴现效力利息效力与贴现效力1.5.1.1.5.1.利息效力利息效力利息效力描

23、述利息在时刻利息效力描述利息在时刻t t的运行强度，它与资金的运行强度，它与资金金额无关，定义为金额无关，定义为(1.5.1)(1.5.1)称为时刻称为时刻t t的的利息效力利息效力。29可用可用t t描述描述A(t)A(t)或或a(t)a(t)。或或(1.5.3)EX EX 求单利的利息效力。求单利的利息效力。(1.5.2)利息效力在理论上可以随时变化。然而在实际中利息效力在理论上可以随时变化。然而在实际中它经常保持为常数。如果利息效力在某时间区间它经常保持为常数。如果利息效力在某时间区间上为常数，则实质利率在此区间上也为常数。这上为常数，则实质利率在此区间上也为常数。这可在可在n个度量时期

24、上用公式个度量时期上用公式(1.5.2)而得。而得。(1.5.4a)所以所以或或(1.5.4b)311.5.2.贴现效力贴现效力 类似于类似于 定义贴现效力为定义贴现效力为，负号是为了保证此式负号是为了保证此式 为正，但可证明为正，但可证明,故只用故只用t就足够了。就足够了。32利利 息息 理理 论论开课系：理学院开课系：理学院 统计与金融数学系统计与金融数学系教师教师:陈萍陈萍e-mail:Probstat 参考书：利息理论参考书：利息理论 S.G.Kellison著著 尚汉冀译尚汉冀译上海科学技术出版社上海科学技术出版社33第二章 常见利息问题 n常见利息问题常见利息问题n收益率收益率n基

25、金收益的计算基金收益的计算n资金预算资金预算n一般借贷模型一般借贷模型342.1常见利息问题常见利息问题 按按照照国国外外多多数数银银行行的的做做法法，计计息息方方式式采采用用整整数数时时期期计复利，分数时期计单利的做法。计复利，分数时期计单利的做法。如如要要计计算算1 1单单位位本本金金在在m+xm+x时时期期内内的的积积累累值值，其其中中m m为为整数、整数、x x为分数，为分数，0 x10 x0,0,则在时刻则在时刻t t对投资事业有一个净资金输入流；对投资事业有一个净资金输入流；如果如果C Ct t0,0，t=0,1,n-1且存在且存在i-1，使，使(2.2.2)满足，则满足，则i是唯

26、一的。是唯一的。例例2.2.3 2.2.3 一位投资者进入一项契约，他立即付款一位投资者进入一项契约，他立即付款70007000元，第二年末付元，第二年末付10001000元，以交换第一年末得到元，以交换第一年末得到的的40004000元和第元和第3 3年末得到的年末得到的55005500元。求元。求a)P(0.09);b)P(0.10)a)P(0.09);b)P(0.10)c)c)用定理检验在用定理检验在0.090.09与与0.100.10之间是否存在唯一收益之间是否存在唯一收益率。率。年0123Ct7000-40001000-5500Rt-70004000-10005500解：解：502.

27、3 2.3 资金预算资金预算所谓资金预算是指决定投资资金的金额以及这些资金所谓资金预算是指决定投资资金的金额以及这些资金在各种可能的投资项目之间的分配过程。在各种可能的投资项目之间的分配过程。在实际中常用两种方法进行资金预算：收益率法与净在实际中常用两种方法进行资金预算：收益率法与净现值法。现值法。所谓可接受利率是指投资可以接受的最小返还率或贷所谓可接受利率是指投资可以接受的最小返还率或贷款可以接受的最大利率。款可以接受的最大利率。51投资者分析每种可选择的投资资金流，计算出对投资者分析每种可选择的投资资金流，计算出对应的收益率。所有收益率高于可接受利率的投资应的收益率。所有收益率高于可接受利

28、率的投资将被进一步考虑。然后将收益率高于可接受利率将被进一步考虑。然后将收益率高于可接受利率的投资方案按收益率高低排序，再参照风险因素的投资方案按收益率高低排序，再参照风险因素进行筛选。进行筛选。2.3.1 收益率法收益率法年年投入投入返回返回Rt0100000-10000150000-5000210000-1000310000-1000410000-1000510000-100061000800070007100090008000810001000090009100011000100001001200011000例例2.3.1 假设一投资者可接受利率为假设一投资者可接受利率为10%，则下表投

29、资项目是，则下表投资项目是否可作进一步考虑。否可作进一步考虑。例例53 净现值法净现值法设可接受利率为设可接受利率为i，投资者对每种投资方案计算其，投资者对每种投资方案计算其现值现值 ，具有正的，具有正的p(i)的的投资将被进一步考虑。投资将被进一步考虑。然后在那些入选的投资中间这样分配资金：使所然后在那些入选的投资中间这样分配资金：使所有返回的现值减去投入的现值最大。有返回的现值减去投入的现值最大。例例2.3.1 设一投资者的可接受利率为设一投资者的可接受利率为10%10%，则上例投则上例投资项目按净现值法是否可接受？资项目按净现值法是否可接受？解解:取取故上例投资项目可接受故上例投资项目可

30、接受.例例2.3.2 2.3.2 一部旧汽车开价一部旧汽车开价$5000$5000，也可先付，也可先付$2400,$2400,在以后在以后2 2年内每年之末付年内每年之末付$1500$1500。如果购车。如果购车人的可接受利率为人的可接受利率为10%,10%,问他是愿意用现款还是分问他是愿意用现款还是分期付款？期付款？解解:付现款现值为付现款现值为$5000.按按10%的利率的利率,分期付款现值为分期付款现值为:故他愿意用现款故他愿意用现款.56补充补充:收益率问题的随机化处理收益率问题的随机化处理在实践中在实践中,t时刻的收入或支出一般是不确定的时刻的收入或支出一般是不确定的.考虑下列情形，

31、一位投资者在时刻考虑下列情形，一位投资者在时刻0,1,2,n对一对一项投资事业的投入项投资事业的投入(C0,C1,C2,Cn)是是n维随机变量，维随机变量，即该项投资的资金流是一个随机序列。则在给定即该项投资的资金流是一个随机序列。则在给定可接可接受受利率利率i下下,该资金流的现时值也是随机变量该资金流的现时值也是随机变量.资金预算问题就化为资金预算问题就化为:根据根据P(i)的分布决定投资方案的分布决定投资方案.57例如根据例如根据:当当C C0 0,C,C1 1,C,C2 2,C Cn n独立时独立时平均收益平均收益项目风险项目风险可以选择给定平均收益而项目风险最小的项目或指可以选择给定平

32、均收益而项目风险最小的项目或指定风险上限定风险上限,平均收益尽可能大的项目平均收益尽可能大的项目小课题小课题:选择一个实际项目选择一个实际项目,调查该项投资的资金流及调查该项投资的资金流及其分布其分布,对项目进行资金预算分析对项目进行资金预算分析.58在收益率问题中在收益率问题中,常会遇到多重收益率问题常会遇到多重收益率问题.现在具体现在具体分析多重收益率产生的原因分析多重收益率产生的原因.2.4 2.4 一般借贷模型一般借贷模型例例 如果可接受利率为如果可接受利率为15%15%，试用两种方法分析下表试用两种方法分析下表投资项目是否可接受。投资项目是否可接受。年年投入投入返回返回0 01001

33、001 12302302 2132132解解:1)收益率法收益率法:2)净现值法净现值法:可接受可接受.易见易见,当可接受利率在当可接受利率在10%附近时附近时,P(i)关于关于i递增递增.说说明明i越大越大,项目越可接受项目越可接受.这对借款人来说是正常的这对借款人来说是正常的;而而对投资人就不正常对投资人就不正常;而当可接受利率在而当可接受利率在20%附近时附近时,P(i)关于关于i递减递减;说明说明i越大越大,项目越可接受项目越可接受.这对投资人这对投资人来说是正常的来说是正常的,而对借款人就不正常而对借款人就不正常;计算上例的未计算上例的未动用投资余额可发现动用投资余额可发现,B00,

34、而而B10,这说明投资者在这说明投资者在第一时期处于投资人的地位第一时期处于投资人的地位,而第二时期处于借款人而第二时期处于借款人的地位的地位.这是造成多重收益率的原因这是造成多重收益率的原因.61定义（一般借贷模型）在整个投资期间，当定义（一般借贷模型）在整个投资期间，当t t时刻的时刻的未动用投资余额未动用投资余额B Bt t 0 0时，可接受利率称为项目投资率，时，可接受利率称为项目投资率，记为记为r r。当。当B Bt t00时，可接受利率称为项目借贷率，记时，可接受利率称为项目借贷率，记为为f f。沿用。沿用B Bt t的定义，的定义，在现实中在现实中,贷款利率与投资收益率一般是不同

35、的贷款利率与投资收益率一般是不同的!最终投资余额为（最终投资余额为（n n时刻时刻的积累值）的积累值）其中其中m mj j为整数，且为整数，且m mj j是从时刻是从时刻j j到时刻到时刻n n中使用利率中使用利率r r的时期总数。当的时期总数。当r=fr=f时情形与定理相同。时情形与定理相同。回忆收益率的定义，在收益率点，回忆收益率的定义，在收益率点，应有应有B Bn n=0,=0,此时收此时收益率不是单个的数，而是益率不是单个的数，而是r r和和f f之间的一个函数关系。之间的一个函数关系。换言之，如果对于一个给定的换言之，如果对于一个给定的f f，可以找到一个，可以找到一个r r的的值使

36、值使B Bn n=0,=0,则称则称r r和和f f为此项业务的一对收益率为此项业务的一对收益率。例例2.4.1 2.4.1 一位投资者要对某项投资作资金预算。该一位投资者要对某项投资作资金预算。该项目的资金流如下表，项目的资金流如下表，(1)(1)如果如果r=f,r=f,求收益率；求收益率；(2)(2)如果如果r,fr,f是收益率时，将是收益率时，将r r表示成表示成f f的函数的函数(3)(3)如果可接受利率如果可接受利率r=70%,f=30%,r=70%,f=30%,投资者会接受还投资者会接受还是拒绝这笔业务？是拒绝这笔业务？年年012投入投入1600200015000返回返回01200

37、05000解解:(1):(1)由题意由题意,C,C0 0=1600,C=1600,C1 1=-10000,C=-10000,C2 2=10000.=10000.设设i i=r=f,r=f,(3)将将r=70%,f=30%带入带入故投资者拒绝这笔业务故投资者拒绝这笔业务.(注意注意B2是投资余额而不是返还是投资余额而不是返还!)EX 一个一个5 5年期投资项目的资金流如下：年期投资项目的资金流如下：t012345Ct10002000-40003000-40001000若投资者可接受利率为若投资者可接受利率为r=15%,f=10%,r=15%,f=10%,问此项目可否问此项目可否采纳？采纳？(答答

38、:672.5基金收益的计算基金收益的计算 2.5.1.基金概述基金概述 所谓基金是指一种利益共享、风险共担的集合证卷所谓基金是指一种利益共享、风险共担的集合证卷投资方式，即通过发行基金单位，集中投资人的资投资方式，即通过发行基金单位，集中投资人的资金，由基金托管人委托基金管理人管理和运用资金，金，由基金托管人委托基金管理人管理和运用资金，从事股票、债卷等金融工具投资。从事股票、债卷等金融工具投资。一般地，基金按其份额是否可赎回可划分为开放式一般地，基金按其份额是否可赎回可划分为开放式与封闭式基金。与封闭式基金。封闭式基金在发行期满后就封闭起来，投资者封闭式基金在发行期满后就封闭起来，投资者须通

39、过二级市场买入或卖出，其价格在很大程度上须通过二级市场买入或卖出，其价格在很大程度上由市场供求决定，波动类似于股票。但这种基金常由市场供求决定，波动类似于股票。但这种基金常有设定的存续期限，一旦期满就进行清盘，将剩余有设定的存续期限，一旦期满就进行清盘，将剩余资产按持有份额分配给持有人或转成开放式基金继资产按持有份额分配给持有人或转成开放式基金继续存在下去。且基金收益分配必须采用现金形式，续存在下去。且基金收益分配必须采用现金形式，不能配股。不能配股。开放式基金有两个特点：一方面基金的发行份开放式基金有两个特点：一方面基金的发行份额是不固定的，投资者随时可按该基金的价格购买额是不固定的，投资者

40、随时可按该基金的价格购买新的份额，也可以随时要求基金公司赎回所购买的新的份额，也可以随时要求基金公司赎回所购买的基金份额，收回投资，退出基金，购买或赎回的价基金份额，收回投资，退出基金，购买或赎回的价格以当时基金单位资产净值为基础。另一方面是不格以当时基金单位资产净值为基础。另一方面是不设定存续期限。设定存续期限。开放式基金的价格主要由资产价值而非市场供开放式基金的价格主要由资产价值而非市场供求关系决定。投资者的收益主要来自基金的分红及求关系决定。投资者的收益主要来自基金的分红及基金净资产价值的增值。故可用利息理论来研究。基金净资产价值的增值。故可用利息理论来研究。70考虑下列问题，某项投资考

41、虑下列问题，某项投资A A历经历经3 3年，这三年中第一年，这三年中第一年利率为年利率为i i1 1,第二年利率为第二年利率为i i2 2,第三年利率为第三年利率为i i3 3，则，则到第三年末的积累值为多少？到第三年末的积累值为多少？显然应为显然应为a(1+ia(1+i1 1)(1+i)(1+i2 2)(1+i)(1+i3 3),),这种情形常见于基金的分红，因为它是每年按当年这种情形常见于基金的分红，因为它是每年按当年业绩决定利率水平的。业绩决定利率水平的。2.5.2.变利息变利息一般地，记一般地，记i in n为从投资之日起第为从投资之日起第n n个时期的实质利率，个时期的实质利率，则对

42、于整数则对于整数t1t1有有a(t)=(1+ia(t)=(1+i1 1)(1+i)(1+i2 2)(1+i(1+in n),),同同理理 a a-1-1(t)=v(t)=v1 1v v2 2v vn n，其中，其中v vk k=1/(1+i=1/(1+ik k)。有时利率不是按年变化而是在一时期内的任何时刻有时利率不是按年变化而是在一时期内的任何时刻都可以出现变化，则我们可以利用下式进行计算。都可以出现变化，则我们可以利用下式进行计算。变变利利息息还还常常出出现现在在一一个个时时期期内内本本金金有有所所改改变变时时一一时时期期利利率率计计算算的的情情形形，如如一一项项基基金金常常可可因因新新的

43、的本本金金加加入入而而增增加加，或或因因本本金金抽抽回回而而减减少少，还还可可因因一一时时期期内内多多次次（常常在在非非正正规规的的时时间间区区段段）赚赚得得的的利利息息而而增增加加，以以及及因因基基金金操操作作如如对对股股票票的的买买卖卖而而变变化化，对对这这些些情情形必须给出确定合理的实质利率的方法。形必须给出确定合理的实质利率的方法。下面考虑变利息情形在基金中的应用。下面考虑变利息情形在基金中的应用。EX.EX.一笔基金的利率在前一笔基金的利率在前3 3年为季度转换年为季度转换8%,8%,后后2 2年年为季度转换为季度转换9.6%,9.6%,某人在第一年初向该基金投资某人在第一年初向该基

44、金投资20002000元，第元，第4 4年初向该基金投资年初向该基金投资10001000元，求元，求5 5年后基年后基金的积累值。金的积累值。(答答:约约4275.024275.02元元)732.5.3.基金的利息度量记号记号 设设A=A=基金在期初的金额，基金在期初的金额，B=B=基金在期末的金额，基金在期末的金额，I=I=在在此时期内赚得的利息金额，此时期内赚得的利息金额，C Ct t=在时刻在时刻t t投入的本金净金额（可正可负）其中投入的本金净金额（可正可负）其中0t1,0t1,C=C=在此时期投入的本金总金额（可正可负）在此时期投入的本金总金额（可正可负）在时刻在时刻t t投资投资1

45、 1在随后的长度为在随后的长度为1-t1-t的时期内的时期内所赚得的利息金额。所赚得的利息金额。74一币值加权利率假假定定基基金金在在一一个个时时期期内内以以同同样样的的利利息息强强度度运运行行，且且假假设设所所有有赚赚得得的的利利息息I I是是在在期期末末接接受受的的，则则B=A+C+I B=A+C+I。这这样样对对于于时时期期0 0 t t 1 1赚赚得得的的利利息息的的精精确的求值方程应为确的求值方程应为不幸，上式的形式不能直接用来求不幸，上式的形式不能直接用来求i，必须找到，必须找到的值。假设整个时期都是用复利，则有的值。假设整个时期都是用复利，则有带入上式则得到关于带入上式则得到关于

46、i的精确方程。此方程可用迭代法的精确方程。此方程可用迭代法求解，但计算繁杂。求解，但计算繁杂。(2.5.1)在实际中往往用单利作为在实际中往往用单利作为t1t1时期复利的近似，从时期复利的近似，从t t时刻开始投资时刻开始投资1 1经历经历(1-t)(1-t)时段的利息为时段的利息为(1-t)i.(1-t)i.故故可假定可假定于是可得实质利率的一个近似解于是可得实质利率的一个近似解 此式中分子是基金中赚得的利息金额，分母则可解释此式中分子是基金中赚得的利息金额，分母则可解释为投资本金的平均金额（加权平均，其权重为到期末为投资本金的平均金额（加权平均，其权重为到期末需经历的时间长，最大为需经历的

47、时间长，最大为1)1)常称为常称为“与与i i有关的本金有关的本金”。(2.5.2)(2.5.2)(2.5.2)式是可以直接计算的，但分母中的和式加起式是可以直接计算的，但分母中的和式加起来比较麻烦，因而常常作出一个进一步简化的假设，来比较麻烦，因而常常作出一个进一步简化的假设，即认为本金的存入和抽回在整个投资时期内是均匀即认为本金的存入和抽回在整个投资时期内是均匀发生的，这样平均来说可以假定除期初的发生的，这样平均来说可以假定除期初的A A之外，其之外，其余净本金投入发生在时刻余净本金投入发生在时刻t=1/2,t=1/2,在此假设下在此假设下(2.5.2)(2.5.2)式变为式变为(2.5.

48、3)(2.5.3)(2.5.3)(2.5.3)式是一个重要的公式，它在实际中广泛用式是一个重要的公式，它在实际中广泛用来计算赚得的利率。来计算赚得的利率。例例2.5.1.2.5.1.某某年年初初设设计计一一项项投投资资基基金金，初初始始存存款款为为10001000元元，4 4个个月月之之后后又又存存入入500500元元，在在第第6 6和和第第8 8个个月月之之末末分分别别抽抽回回200200元元和和100100元元，在在该该年年末末基基金金的的总总金金额额为为12721272元元，试试求求基基金金在在此此年年内内的的两两种种近近似似实实质质利利率率。解解:这里这里或或例例2.5.2.2.5.2

49、.一项实质利率为一项实质利率为4%4%的基金在年初有的基金在年初有1000010000元余额，如果元余额，如果3 3个月后有个月后有200200元加入基金，而元加入基金，而9 9个月个月后从基金中抽回后从基金中抽回300300元，求最终余额。元，求最终余额。解解:由由:而而79二时间加权利率 当投资经历变化较大时，币值加权利率给出的收益率当投资经历变化较大时，币值加权利率给出的收益率计算方法对于不同时段的投资金额是敏感的，例如，计算方法对于不同时段的投资金额是敏感的，例如，假定在得益较高时恰巧假定在得益较高时恰巧“大量大量”投资，而在得益较低投资，而在得益较低时则时则“小量小量”投资，则总体收

50、益率会较高，反之则较投资，则总体收益率会较高，反之则较低。低。例例2.5.3.2.5.3.设有一项基金，若年初购买，其价格在第设有一项基金，若年初购买，其价格在第6 6个个月末跌至一半，而年末又回升至原价位月末跌至一半，而年末又回升至原价位投资者投资者A A年初购买年初购买10001000元，第元，第6 6个月末又购买个月末又购买500500元，元，到年末他拥有到年末他拥有20002000元的基金元的基金投资者投资者B B，年初购买，年初购买10001000元，第元，第6 6个月末抽回个月末抽回250250元，元，到年末他拥有到年末他拥有500500元的基金。分别求元的基金。分别求、的收益率。