2023年高考数学（浙江专用）总复习教师用书 9章 .doc

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1、第1讲直线的方程最新考纲1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.知 识 梳 理1.直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角；规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；范围：直线的倾斜角的取值范围是0，).(2)直线的斜率定义：当直线l的倾斜角时，其倾斜角的正切值tan 叫做这条直线的斜率，斜

2、率通常用小写字母k表示，即ktan_；斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为k.2.直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率ykxb与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率yy0k(xx0)两点式过两点与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距1不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式AxByC0(A2B20)所有直线3.线段的中点坐标公式若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式.诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”)(1)直线

3、的倾斜角越大，其斜率就越大.()(2)直线的斜率为tan ，则其倾斜角为.()(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.()(4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程yy0k(xx0)表示.()(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示.()解析(1)当直线的倾斜角1135，245时，12，但其对应斜率k11，k21，k1k2.(2)当直线斜率为tan(45)时，其倾斜角为135.(3)两直线的斜率相等，则其倾斜角一定相等.(4)当直线的斜率不存在时，不可以用方程yy0k(xx0)表示.答案(1)(2)

4、(3)(4)(5)2.(2017衡水金卷)直线xy10的倾斜角为()A.30 B.45C.120 D.150解析由题得，直线yx1的斜率为1，设其倾斜角为，则tan 1，又0180故45，故选B.答案B3.如果AC0，且BC0，在y轴上的截距0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限.答案C4.已知A(3，5)，B(4，7)，C(1，x)三点共线，则x_.解析A，B，C三点共线，kABkAC，x3.答案35.(必修2P100A9改编)过点P(2，3)且在两轴上截距相等的直线方程为_.解析当纵、横截距为0时，直线方程为3x2y0；当截距不为0时，设直线方程为1，则1，解得a5.所以直线方程为

5、xy50.答案3x2y0或xy506.(2017金华市调研)直线kxy2k40过定点P的坐标为_；若幂函数yf(x)也过点P，则f(x)的解析式为_.解析直线kxy2k40可化为y4k(x2)，直线过定点P(2，4)，设幂函数yf(x)为yx，把P(2，4)代入，得42，2，即yf(x)x2.答案(2，4)f(x)x2考点一直线的倾斜角与斜率【例1】 (1)直线2xcos y30的倾斜角的取值范围是()A. B.C. D.(2)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为_.解析(1)直线2xcos y30的斜率k2cos ，因为，所以c

6、os ，因此k2cos 1，.设直线的倾斜角为，则有tan 1，.又0，)，所以，即倾斜角的取值范围是.(2)如图，kAP1，kBP，直线l的斜率k(，1，).答案(1)B(2)(，1，)规律方法直线倾斜角的范围是0，)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论.由正切函数图象可以看出，当时，斜率k0，)；当时，斜率不存在；当时，斜率k(，0).【训练1】 (2017杭州一调)直线xsin y20的倾斜角的取值范围是()A.0，) B.C. D.解析设直线的倾斜角为，则有tan sin .因为sin 1，1，所以1tan 1，又0，)，所以0或，故选B

7、.答案B考点二直线方程的求法【例2】 根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(4，0)，倾斜角的正弦值为；(2)直线过点(3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；(3)直线过点(5，10)，且到原点的距离为5.解(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式.设倾斜角为，则sin (00；当k0时，直线为y1，符合题意，故k的取值范围是0，).(3)解由题意可知k0，再由l的方程，得A，B(0，12k).依题意得解得k0.S|OA|OB|12k|(224)4，“”成立的条件是k0且4k，即k，Smin4，此时直线l的方程为x2y40.规律方法在求直线方程的过程中，若有以直线为载体的求面积

8、、距离的最值问题，则可先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.【训练3】 已知直线l过点P(3，2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求ABO的面积的最小值及此时直线l的方程.解法一设直线方程为1(a0，b0)，点P(3，2)代入得12，得ab24，从而SABOab12，当且仅当时等号成立，这时k，从而所求直线方程为2x3y120.法二依题意知，直线l的斜率k存在且k0.则直线l的方程为y2k(x3)(k0)，且有A，B(0，23k)，SABO(23k)(1212)12.当且仅当9k，即k时，等号成立，即ABO的面积的最小值为12.故所求直线的方程为2x3y

9、120.思想方法1.直线的倾斜角和斜率的关系：(1)任何直线都存在倾斜角，但并不是任意直线都存在斜率.(2)直线的倾斜角和斜率k之间的对应关系：009090900不存在k0，b0时，a0，b0.选项B符合.答案B7.(2016衡水一模)已知直线l的斜率为，在y轴上的截距为另一条直线x2y40的斜率的倒数，则直线l的方程为()A.yx2 B.yx2C.yx D.yx2解析直线x2y40的斜率为，直线l在y轴上的截距为2，直线l的方程为yx2，故选A.答案A8.(2017福州模拟)若直线axbyab(a0，b0)过点(1，1)，则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为()A.1 B.2 C.4

10、D.8解析直线axbyab(a0，b0)过点(1，1)，abab，即1，ab(ab)2224，当且仅当ab2时上式等号成立.直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为4.答案C二、填空题9.(2017温州调研)已知三角形的三个顶点A(5，0，)，B(3，3)，C(0，2)，则BC边上中线所在的直线方程为_；BC边上中线的方程为_.解析BC的中点坐标为，BC边上中线所在直线方程为，即x13y50.故BC边上中线的方程为x13y50(5x).答案x13y50x13y5010.若直线l的斜率为k，倾斜角为，而，则k的取值范围是_.解析当时，tan 1，k1.当时，tan 0，即k0，k，0).答案，0)

11、11.过点M(3，4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为_.解析若直线过原点，则k，所以yx，即4x3y0.若直线不过原点，设直线方程为1，即xya.则a3(4)1，所以直线的方程为xy10.答案4x3y0或xy1012.直线l：(a2)x(a1)y60，则直线l恒过定点_.解析直线l的方程变形为a(xy)2xy60，由解得x2，y2，所以直线l恒过定点(2，2).答案(2，2)13.(2017嘉兴检测)直线l1：xy20在x轴上的截距为_；若将l1绕它与y轴的交点顺时针旋转，则所得到的直线l2的方程为_.解析对直线l1：xy20，令y0，得x2，即直线l1在x轴上的截距为2；令x0，得

12、y2，即l1与y轴的交点为(0，2)，直线l1的倾斜角为135，直线l2的倾斜角为1359045，l2的斜率为1，故l2的方程为yx2，即为xy20.答案2xy20能力提升题组(建议用时：15分钟)14.已知直线l过点(1，0)，且倾斜角为直线l0：x2y20的倾斜角的2倍，则直线l的方程为()A.4x3y30 B.3x4y30C.3x4y40 D.4x3y40解析由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为，2，因为直线l0：x2y20的斜率为，则tan ，所以直线l的斜率ktan 2，所以由点斜式可得直线l的方程为y0(x1)，即4x3y40.答案D15.(2017宁波调研)设P为曲线C：yx22

13、x3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为()A. B.1，0C.0，1 D.解析由题意知y2x2，设P(x0，y0)，则k2x02.因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则0k1，即02x021，故1x0.答案A16.已知直线l过坐标原点，若直线l与线段2xy8(2x3)有公共点，则直线l的斜率的取值范围是_.解析设直线l与线段2xy8(2x3)的公共点为P(x，y).则点P(x，y)在线段AB上移动，且A(2，4)，B(3，2)，设直线l的斜率为k.又kOA2，kOB.如图所示，可知k2.直线l的斜率的取值范围是.答案17.设M，N，则M与N的大小

14、关系为_.解析设A(2 011，2 012)，B(2 012，2 011)，C(2 014，2 013)，则有MkAB，NkAC(如图所示)，则直线BD的倾斜角BDO和直线AC的倾斜角CEO均为锐角，且BDOCEO，所以kABkAC，即MN.答案MN18.在平面直角坐标系xOy中，设A是半圆O：x2y22(x0)上一点，直线OA的倾斜角为45，过点A作x轴的垂线，垂足为H，过H作OA的平行线交半圆于点B，则直线AB的方程是_.解析直线OA的方程为yx，代入半圆方程得A(1，1)，H(1，0)，直线HB的方程为yx1，代入半圆方程得B.所以直线AB的方程为，即xy10.答案xy10第2讲两直线的

15、位置关系最新考纲1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.知 识 梳 理1.两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行.(2)两条直线垂直如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1l2k1k21，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直.2.两直线相交直线l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20的

16、公共点的坐标与方程组的解一一对应.相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行方程组无解；重合方程组有无数个解.3.距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|.特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|.(2)点到直线的距离公式平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d.(3)两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l1：AxByC10，l2：AxByC20间的距离d.诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”)(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.()(2

17、)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1.()(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.()(4)已知直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1l2，则A1A2B1B20.()(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.()解析(1)两直线l1，l2有可能重合.(2)如果l1l2，若l1的斜率k10，则l2的斜率不存在.答案(1)(2)(3)(4)(5)2.(2016北京卷)圆(x1)2y22的圆心到直线yx3的距离为()A.1 B.2C. D.2解析圆(x1)2y22的圆心坐标

18、为(1，0)，由yx3得xy30，则圆心到直线的距离d.答案C3.(2017金华四校联考)直线2x(m1)y40与直线mx3y20平行，则m()A.2 B.3C.2或3 D.2或3解析直线2x(m1)y40与直线mx3y20平行，则有，故m2或3.故选C.答案C4.直线2x2y10，xy20之间的距离是_.解析先将2x2y10化为xy0，则两平行线间的距离为d.答案5.(必修2P89练习2改编)已知P(2，m)，Q(m，4)，且直线PQ垂直于直线xy10，则m_.解析由题意知 1，所以m42m，所以m1.答案16.(2017浙江五校联考)已知动点P的坐标为(x，1x)，xR，则动点P的轨迹方程

19、为_，它到原点距离的最小值为_.解析设点P的坐标为(x，y)，则y1x，即动点P的轨迹方程为xy10；原点到直线xy10的距离为d，即为所求原点到动点P的轨迹的最小值.答案xy10考点一两直线的平行与垂直【例1】 (1)已知两条直线l1：(a1)x2y10，l2：xay30平行，则a等于()A.1 B.2 C.0或2 D.1或2(2)已知两直线方程分别为l1：xy1，l2：ax2y0，若l1l2，则a_.解析(1)若a0，两直线方程分别为x2y10和x3，此时两直线相交，不平行，所以a0；当a0时，两直线平行，则有，解得a1或2.(2)因为l1l2，所以k1k21.即(1)1，解得a2.答案(

20、1)D(2)2规律方法(1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.【训练1】 (1)(2017重庆一中检测)若直线l1：(a1)xy10和直线l2：3xay20垂直，则实数a的值为()A. B. C. D.(2)(2017诸暨模拟)已知a，b为正数，且直线axby60与直线2x(b3)y50平行，则2a3b的最小值为_.解析(1)由已知得3(a1)a0，解得a.(2)由两直线平行可得，a(b

21、3)2b，即2b3aab，1.又a，b为正数，所以2a3b(2a3b)1313225，当且仅当ab5时取等号，故2a3b的最小值为25.答案(1)D(2)25考点二两直线的交点与距离问题【例2】 (1)已知直线ykx2k1与直线yx2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是_.(2)直线l过点P(1，2)且到点A(2，3)和点B(4，5)的距离相等，则直线l的方程为_.解析(1)法一由方程组解得(若2k10，即k，则两直线平行)交点坐标为.又交点位于第一象限，解得k.法二如图，已知直线yx2与x轴、y轴分别交于点A(4，0)，B(0，2).而直线方程ykx2k1可变形为y1k(x2)，表示这是

22、一条过定点P(2，1)，斜率为k的动直线.两直线的交点在第一象限，两直线的交点必在线段AB上(不包括端点)，动直线的斜率k需满足kPAkkPB.kPA，kPB.k.(2)法一当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y2k(x1)，即kxyk20.由题意知，即|3k1|3k3|，k.直线l的方程为y2(x1)，即x3y50.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，也符合题意.法二当ABl时，有kkAB，直线l的方程为y2(x1)，即x3y50.当l过AB中点时，AB的中点为(1，4).直线l的方程为x1.故所求直线l的方程为x3y50或x1.答案(1)(2)x3y50或x1规律方法(1)求过两

23、直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.(2)利用距离公式应注意：点P(x0，y0)到直线xa的距离d|x0a|，到直线yb的距离d|y0b|；两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数分别化为对应相等.【训练2】 (1)曲线y2xx3在横坐标为1的点处的切线为l，则点P(3，2)到直线l的距离为()A. B. C. D.(2)(2017衢州模拟)若直线l1：xay60与l2：(a2)x3y2a0平行，则l1与l2间的距离为()A. B. C. D.解析(1)曲线y2xx3上横坐标为1的点的纵坐标为1，故切点坐标为(1

24、，1).切线斜率为ky|x123(1)21，故切线l的方程为y(1)1x(1)，整理得xy20.由点到直线的距离公式，得点P(3，2)到直线l的距离为.(2)因为l1l2，所以，所以解得a1，所以l1：xy60，l2：xy0，所以l1与l2之间的距离d，故选B.答案(1)A(2)B考点三对称问题【例3】 已知直线l：2x3y10，点A(1，2).求：(1)点A关于直线l的对称点A的坐标；(2)直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程；(3)直线l关于点A(1，2)对称的直线l的方程.解(1)设A(x，y)，再由已知解得A.(2)在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l

25、的对称点必在m上.设对称点为M(a，b)，则解得M.设m与l的交点为N，则由得N(4，3).又m经过点N(4，3)，由两点式得直线方程为9x46y1020.(3)法一在l：2x3y10上任取两点，如M(1，1)，N(4，3)，则M，N关于点A的对称点M，N均在直线l上.易知M(3，5)，N(6，7)，由两点式可得l的方程为2x3y90.法二设P(x，y)为l上任意一点，则P(x，y)关于点A(1，2)的对称点为P(2x，4y)，P在直线l上，2(2x)3(4y)10，即2x3y90.规律方法(1)解决点关于直线对称问题要把握两点，点M与点N关于直线l对称，则线段MN的中点在直线l上，直线l与直

26、线MN垂直.(2)如果直线或点关于点成中心对称问题，则只需运用中点公式就可解决问题.(3)若直线l1，l2关于直线l对称，则有如下性质：若直线l1与l2相交，则交点在直线l上；若点B在直线l1上，则其关于直线l的对称点B在直线l2上.【训练3】 光线沿直线l1：x2y50射入，遇直线l：3x2y70后反射，求反射光线所在的直线方程.解法一由得反射点M的坐标为(1，2).又取直线x2y50上一点P(5，0)，设P关于直线l的对称点P(x0，y0)，由PPl可知，kPP.而PP的中点Q的坐标为，又Q点在l上，3270.由得根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x2y330.法二设

27、直线x2y50上任意一点P(x0，y0)关于直线l的对称点为P(x，y)，则，又PP的中点Q在l上，3270，由可得P点的横、纵坐标分别为x0，y0，代入方程x2y50中，化简得29x2y330，所求反射光线所在的直线方程为29x2y330.思想方法1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对于斜率都存在且不重合的两条直线l1，l2，l1l2k1k2；l1l2k1k21.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意.2.对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称.利用坐标转移法解决问题.易错防范1.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在.若两条直线都有斜

28、率，可根据判定定理判断，若直线无斜率，要单独考虑.2.在运用两平行直线间的距离公式d时，一定要注意将两方程中x，y的系数分别化为相同的形式.基础巩固题组(建议用时：30分钟)一、选择题1.直线2xym0和x2yn0的位置关系是()A.平行 B.垂直C.相交但不垂直 D.不能确定解析直线2xym0的斜率k12，直线x2yn0的斜率为k2，则k1k2，且k1k21.故选C.答案C2.(2017浙江名校协作体联考)“a1”是“直线ax3y30和直线x(a2)y10平行”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析依题意得，直线ax3y30和直线x(a2)y1

29、0平行的充要条件是解得a1，因此选C.答案C3.过两直线l1：x3y40和l2：2xy50的交点和原点的直线方程为()A.19x9y0 B.9x19y0C.19x3y0 D.3x19y0解析法一由得则所求直线方程为：yxx，即3x19y0.法二设直线方程为x3y4(2xy5)0，即(12)x(3)y450，又直线过点(0，0)，所以(12)0(3)0450，解得，故所求直线方程为3x19y0.答案D4.直线x2y10关于直线x1对称的直线方程是()A.x2y10 B.2xy10C.x2y30 D.x2y30解析设所求直线上任一点(x，y)，则它关于直线x1的对称点(2x，y)在直线x2y10上

30、，即2x2y10，化简得x2y30.答案D5.(2017安庆模拟)若直线l1：x3ym0(m0)与直线l2：2x6y30的距离为，则m()A.7 B. C.14 D.17解析直线l1：x3ym0(m0)，即2x6y2m0，因为它与直线l2：2x6y30的距离为，所以，求得m，故选B.答案B6.平面直角坐标系中直线y2x1关于点(1，1)对称的直线方程是()A.y2x1 B.y2x1C.y2x3 D.y2x3解析在直线y2x1上任取两个点A(0，1)，B(1，3)，则点A关于点(1，1)对称的点为M(2，1)，点B关于点(1，1)对称的点为N(1，1).由两点式求出对称直线MN的方程为，即y2x

31、3，故选D.答案D7.(2017丽水调研)已知直线l1过点(2，0)且倾斜角为30，直线l2过点(2，0)且与直线l1垂直，则直线l1与直线l2的交点坐标为()A.(3，) B.(2，)C.(1，) D.解析直线l1的斜率为k1tan 30，因为直线l2与直线l1垂直，所以k2，所以直线l1的方程为y(x2)，直线l2的方程为y(x2).两式联立，解得即直线l1与直线l2的交点坐标为(1，).故选C.答案C8.从点(2，3)射出的光线沿与向量a(8，4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为()A.x2y40 B.2xy10C.x6y160 D.6xy80解析由直线与向量a(8，4)

32、平行知：过点(2，3)的直线的斜率k，所以直线的方程为y3(x2)，其与y轴的交点坐标为(0，2)，又点(2，3)关于y轴的对称点为(2，3)，所以反射光线过点(2，3)与(0，2)，由两点式知A正确.答案A二、填空题9.(2017宁波月考)点(2，1)关于点(1，1)的对称点坐标为_；关于直线xy10的对称点为_.解析设点(2，1)关于点(1，1)的对称点为(x0，y0)，则即所求对称点为(4，3).设点(2，1)关于直线xy10的对称点为(x0，y0)，则解得故所求对称点为(0，3).答案(4，3)(0，3)10.若三条直线y2x，xy3，mx2y50相交于同一点，则m的值为_.解析由得点(1，2)满足方程mx2y50，即m12250，m9.答案911.(2017余姚市检测)已知直线l过点P(3，4)且与点A(2，2)，B(4，2)等距离，则直线l的方程为_.解析显然直线l的斜率不存在时，不满足题意；设所求直线方程为y4k(x3)，即kxy43k0，由已知，得，k2或k.所求直线l的方程为2xy20或2x3y180.答案2x3y180或2xy2012.(2016长沙一调)已知入射光线经过点M(3，4)，被直线l：xy30反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为_.解析设点M(3，4)关于直线l：xy30的对称点为