高中数学_导数_教学问题探究_罗娅.docx

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1、高中数 学 “导数 ” 教学问题探 究 DOI:10.16550/ki.2095-9214.2015.28.140 中学教育 2015. 10 文 / 罗娅 汤强 摘 要 : 随着新课程标准的改 革 ， 导数作为 新的知识出现在高中数学教材 中 ， 导数的研 究 ， 进一步的为 解 决了求函数的零 点 ， 复合函数单调 性 ， 以及不等式 的 证明等方面的问题提供了简洁的方 法 。 但在中学教学过程 中却存在三种典型 的 “偏见 ”， 而如果教学中回避 这 些 “偏 见 ”， 会导致我们不能正确定位高考考 点 ， 使学生对导数 概念模糊不 清 ， 教师如何高效的处理好这 些 “隐患 ”把导数这

2、一教学板块教学 好 ， 是值得的我们商确和反思 的 。 关键词 : 导数 ; 教学 ; 问题 中图分类号 : G635 文献标志码 : A 文章编号 : 2095 9214 ( 2015) 10 0057 02 导数是高中数学的重点之一 ， 也是历年高考数学试题命制的热点 和重点 ， 题型变化灵活 ， 能考察学生数形结合 、 分类讨论的能力 。 除了 传统的求单调性 、 最值外 ， 还增加开放性 、 探究性问题等 ; 所以学习好 导数是非常有必要的 ， 然而教学中却存在了一下几点教学偏见 。 1 偏见之 一 : 忽略函数极限的内容直接讲导数定义 极限这个词汇来源于数学微积分 ， 极限是微积分中

3、的基础概 念 ， 它指的是变量在一定的变化过程中 ， 从总的来说逐渐稳定的这 样一种变化趋势以及所趋向的值 ( 极限值 ) 。 高中教材中所体现的 极限思想即有数列极限和函数极限两种 ， 虽然说极限这个数学概念 实在大学中进一步深入研究探讨的 ， 但是在研究导函数概念的由来 就必须要初步的掌握极限的相关知识 ， 例如在导函数公式中 f( x) = lim f( x + x) f( x) x0 x 就存在无限趋近的概念 ， 变量无限趋近于 0， 这种数值逼近也 是极限思想的一种体现 。 而在学习导数定义时 ， 是将我们的平均速 度近似看做瞬时速度 ， 也是一种极限思想 ， 因此在导数新课的讲解

4、中 ， 不能忽视不讲极限 ， 跳过极限而给学生讲导数 ， 而是应该让学 生了解到极限的存在 ， 以及讲解简化极限的知识内容 ， 让学生自身 感悟极限的思想和过程 ， 为大学深入学习微积分打下基础 。 高考中 也存在极限的考法 : 比如下例 : 例 1 ( 2011 年四川卷理科 5 题 ) li m f( x) 存在是函数 f( x) 在点 x = x0 连续的 ( ) xx0 A 充分而不必要条 件 B 必要而不充分条件 C 充要条 件 D 既不充分也不必要条件 分析 : 理论基 础 : ( 高等数 学 ) 函数在某点连 续 ， 满足条 件 : ( 1) 函数在此点有定义 ; ( 2) 函数

5、在此点的左右极限相等 ; ( 3) 函数在此点的极限值和函数值相等 。 所以说极限存在的前提是要满足以下三点 ， 上述问题表述的易 得到答案 ( B) 。 2 偏见之 二 : 过分重视教材实 例 ， 忽视指导观察函数本质 在新课改之前的数学教学过程中 ， 教师教导导函数一般就是直 接给学生陈诉概念 ， 让学生记忆概念内容 ， 并没有阐述导函数概念 的由来 ， 新课改后 ， 教学强调理论联系实际 ， 体现数学其实从生活 中提取出来的数学模型 ， 为了更加贴切生活 ， 教材中确实呈现了多 种与导函数由来的生活实例与背景 ， 在导函数开篇 ， 就以一道关于 气球膨胀求瞬时速率的问题 ， 接着所有的例

6、子基本都是与生活挂钩 的 ， 比如说求浓度 ， 温度 ， 变量的速率 ， 直观的体现了新课改的特 点 ， 可是这样真的能让学生很好的掌握了导函数的本质么 ? 其实例子是可以举 ， 但是不能强把所有的只要有求变量速率的 东西都往导函数靠 拢 ， 要抓导 函 数的本 质 ， 其实实例中所呈现出来 本质上也是一种函 数 ， 可能这 些 函数是我 们的基本初等函 数 ， 有 些 则是抽象函 数 ， 但解决的方法往 往 是抓住变量与 变量之间的改变而 得到的结 果 ， 譬如教师举了 太 多实 例的东 西 ， 如果这时 候 ， 我们 举 出一道 求 “函 数 y = x2 从到的平均变化 率 ”， 难道学

7、生还要把它转 化为实际问题来做这道 题 ? 解决 这 道题关键是抓 住自变量的改变和 自变量改变引起的函数值的 改 变 ， 从而得 到结 果 ， 所以教师在讲解 过程 中 ， 不能太重实 例 ， 要透过 现象 看本 质 ， 不管是实例还是非实 例 ， 都是要通过指导学生观 察 发现 函数模 型 ， 函数模型抓到 了 ， 解 决起来就容易的 多 。 例 2: 一杯 80 的热红茶置于 20 的房 间里 ， 它的温度会逐渐 下 降 ， 温 度 T ( 单 位 : ) 与时间 t ( 单位 : min) 间的关系 ， 由 函数 T = f ( x) 表示 。 ( 1) f( t) 的含义是什 么 ?

8、 f( t) 的 符 号是什么 ? 为什 么 ? ( 2) F( 3) = 4 的实际意义是什 么 ? 如 果 f ( 3) = 60 ( ) ， 你能画出函数在点 t = 3 时图象的大致形状吗 ? 解析 : ( 1) f ( t) 的含义表 示 “瞬时温 度 ”， 红茶温度在下 降 ， f ( t) 的符号是负 号 ， f( t) 0 ( 2) F ( 3 ) = 4 表 明 在 3 附 近 时 ， 红 茶 的 温 度 约 以 4 ) / min 的速度下降 。 T = f ( t) 在 点 ( 3， 60) 处的切线斜 率 K = 4 T = f ( t) 在 t = 3 时的图象的大致

9、形状如图所 示 。 3 偏见之 三 : “止 ” 于教材学导 数 由于近几年高考题中参照了 教科书中 的习题例题来出 题 ， 所 以 我们更要重视教 材这一观念本身 没 错 ， 但 是 “止 ” 于教材学导 数 ， 就大大违背了这一观 念 ， 这并不 是 要求我们只把 教材上的内容处理 好就可以 了 ， 高考题考察的是 导 函数概念 的本 质 ， 如果我们把本质 东西弄懂 了 ， 那么即使不是一 样 的数据的 题 型 ， 我们依然会可以轻 松的解决问 题 。 例 3 ( 2013 年高考广东文科卷 第 21 题 ) 设 f( x) = x3 kx2 + x( k ) ( 1) 当 k = 1

10、时 ， 求函数 f( x) 的单调区间 ; ( 2) 当 k 0 时 ， 求函 数 f( x) 在 k， k 上的最小值 m 和最大值 M。 教材原型 ( 人教 A 版高中数学教材选修 2 2 第 26 页练习 1( 4) ) 判断函数 f( x) = x3 x2 x 的单调性 ， 并求出单调区间 。 演变过程高考题是上述教材原型题的改编题 ， 将二次项系数 1 改为参变 量 k， 一次项系 数 1 改 为 + 1 高考真 题 2 的 第 ( ) 问 ， 实质上就是教材习题中的求函数 的单调区 间 ， 第 ( ) 问是 在 第 ( ) 问的基础上增加对参数的讨 论 ， ( 上转 第 50 页

11、) 作者简介 : 罗娅 ( 1993 ) ， 女 ， 汉 ， 四川成都 ， 大学本科 ， 在读研究生 ， 西华师范大学 ， 研究方向 : 学科教学 ( 数学 ) 。 57 中学教育 2015. 10 3 在运用探究的过程中体验生活 教师要把探究学习延伸到课 外 ，如让学 生利用课余时间搜集资 料 ， 上课时展示所搜集的资料 ， 通过探究活动来分析所搜集到的资 料 ， 学生在探究的过程中体验生活 ， 对生活进行思考和分析 ， 从而 把真正实现让探究学习融入到生活中去 。 比如在讲授经济生活 消费及其类型 这一框题时 ， 在课前一 个月布置一个任务 ， 让学生当一个月的家庭的小管家 ， 记录家庭每

12、 天的各项开支 ， 让学生对各项开支如食物 、 衣服 、 医疗保健 、 交 通 、 通讯 、 娱乐 、 教育文化 、 家庭设备及生活杂费 、 旅游 、 储蓄 、 房贷等进行汇总 。 选几个有代表性的学生在课上展示出来 ， 接着让大 家对他们家的消费结构进行分析 ， 通过对比不同的家庭的消费结构的差 别 ，并计算恩格尔系数 ， 从中反映出不同家庭的生活水平的状况 。 三 、 把探究的结论作为生活的指导 高中思想政治探究学习目的是让学生在探究的过程中 ， 在原有 的知识的基础上 ， 形成探究的结论 ， 这样既能深化学生的生活体 验 ， 又能让学生把探究的结论与生活相结合 ， 引导学生形成正确的 世

13、界观 、 人生观 、 价值观 ， 作为生活的指导 ， 让探究学习真正融入 到生活中去 。 具体说来表现为 : 1 把探究的结论用于提升生活的认识 学生在探究的过程中所形成 的探究的 结 论 ， 与辩证唯物主义和 历史唯物主义的基本观点相结合 ， 从而提升了对生活的认识 。 比如在讲授生活与哲学 价值的创造与实现 这一框题时 ， 我 设计 了 “寻找身边的感动人 物 ” 的探究 学 习 : 让学生谈所了解的感 动福 鼎 、 闽东 、 福建人物的事 迹 ， 从中体会如何实现人生价 值 。 这个探究学习通过感悟先进人物的事迹 ， 运用辩证唯物主义的 理论来分析这些人物的事迹 ， 从而清楚实现人生价值

14、的途径 ， 进一 步体会在生活中如何实现人生价值 。 2 把探究的结论用于解决生活的问题 通过探究学习所形成的结论 ， 不仅仅只是一个结论 ， 可以作为 生活的向导 ， 用于解决生活中遇到的问题 。 比如在讲授经济生活 征税和纳税 这一框题时 ， 我设计了 “开不开发 票 ” 的探究学 习 : 老王讲述了他与电脑店的老板讨价还价事 情 老王 : 老板 ， 这苹果的平板电脑怎么 卖 ? 老板 : 一口价 ， 3300 块 ， 如果你不开票我可以优惠你 300 块 钱 。 思考 : 如果你是老王 ， 你开不开发票 ? 商家为了少缴税 ， 不开发票是什么行为 ? 你会如何说服这位商家依法纳税 ? 学

15、生通过这个探究学习 ， 了解到发票是购物的凭证 ， 索要发票 是为国家税收作贡献 ， 也关系到消费者依法维护自身权利 ; 同时也 知道了商家是偷税的行为 。 学生在生活中遇到类似的事情 ， 就有解 决的方法和思路 ， 也就能把探究的结论用于解决生活中的问题 ， 也 就真正达到了探究学习为生活服务的效果 。 总之 ， 在高中思想政治课堂如何用好探究学习 ， 需要广大高中 思想政治教师大胆尝试 ， 调用一切可用的因素为教学服务 ， 做到探 究中有生活 ， 生活中有探究 ， 把探究学习真正融入到学生的生活 中 ，为学生的全面发展打好基础 ， 最大限度的调动学生的潜能 ， 为 之不懈努力 。 ( 作者

16、单位 : 福建省福鼎市第二中学 ) 参考文献 : 1 钟启泉等主编 : 基础教育课程改革纲要 ( 试行 ) 解读 ， 华东师范大学出版社 2001 年版 ， 第 2 部分 2 教 育 部 关 于 印 发 普 通 高 中 “研 究 性 学 习 ” 实 施 指 南 ( 试行 ) 的通知 ， 教基 2001 6 号 ( 下接 第 57 页 ) 求三次函数在给定 区间上的最值问 题 ， 需要我们 熟 练掌握含参数讨论求最值问 题 从以上的分析中我们可以看 出 ， 教材在 高考复习中占据着不可 替代的地 位 教材的例题和习 题 蕴含着丰 富的知识 点 、 数学思想 方 法和解题技 巧 我 们 若能对一些

17、典型的例 题 、 习题进行认真的 深 究 ， 在高三复习中合理地再 利 用 ， 挖 掘其内在的潜 能 ， 探求到更 一 般的结 论 ， 做到知识 点 、 思想方 法源 于教材却又高于教 材 ， 如此 不 仅能提高解决似曾相识的问题 的速度和能 力 ， 也 有利于提高高考复 习的质 量 。 4 教学建 议 针对以上出现的三个教材中常见的偏见 ， 我将制定以下教学方 案 : 事实上 ， 讲好第 2 和第 3 课时是讲好导函数这节内容的观念 ， 要求教师重点把握这两节的处理对教师本身对教材的理解有一定的 难度和挑战性 ， 这对今后教学 ， 备考的启示与建议 : ( 1) 在研究函数单调性的方法上 ，

18、 我们学过两种解决函数单调 性方法 ， 一是定义法 ， 另一种是求函数导函数求解 ， 但是运用求导 数法一般比用单调性定义等常规方法简单易行 ， 我们需要在面对不 一样的题型面前选择适合的方式进行求解 ， 常见的基本初等函数直 接用定义法即可解决 ， 针对复合函数 ， 最好利用导函数解决更加简 单易行 ， 要注意的是不管用那种方法求解 ， 都要注意函数定义域的 取值范围这个是许多学生出错的地方 。 ( 2) 建议新教材毕竟把平面向量提前 ， 不等式一章也可适当前 置 ，为系统学习函数理论做好必要的铺垫 。 高三总复习时 ， 可适当 调整顺序 ， 如把导函数归为函数一类进行复习 。 有效的掌握函

19、数的 性质 ，最值单调性等 ( 3) 对于极限这种新知识点 ， 大致讲讲即可 ， 切勿深入研究 。 ( 作者单位 : 西华师范大学 ) 参考文献 : 1 课程教材研 究 所 面 向 21 世纪中小学教材建设现代化研 究与实 践 M 北京 : 人民教育出版 社 ， 2003: 7 2 人民教育出版社课程教材研 究所等编 著 普通高中数学课 程 标准实验教科 书 ( 选 修 2 2， 2 1) M 北京 : 人民教育出 版 社 ，2007 3 波利亚著 : 怎样解题 ， 科学出版社 4 波利亚著 : 数学的发现对解题的理解 ， 研究和讲授 ， 科 学出版社 50 课时名 称 极 限 导数在生 活

20、中的模 型 导数的概 念 导数的几何意 义 拓展延伸 课 课时内 容 极限 产 生 ， 极 限的 定 义和左右极 限 平 均速 率 ， 瞬 时 速 率 导数的概 念 导函数的概 念 切线 割 线 的 概 念 ， 变化率的几何意 义 导函数的 数 学发展历 史 过程呈 现 介 绍 割 圆 术 的 产 生 从 而 引 发 的 极 限 思 想 ， 让 学 生直观通 过 几 何 图 形 感 受 到 极 限 思 想 的 产 生 和 应 用 ， 进 一 步引出极 限 概 念 重 点 讲 解 教 材 中 的 一 个 实 例 另 外 在 讲 一 个 函 数模 型 ， 让 学 生 自 身 提 炼 函 数 模 型 ， 解 题 关 键技 巧 借 助 上 节 课 内 容 让 学 生 自 身 琢 磨 导 数 的概 念 ， 引 出 导 数 导 函 数概 念 通 过 教 材 中 的 例 题 展 现 切 线 割 线 的 概 念 ， 以 及 如 何 利 用 导 函 数 求 解 函 数 的切 线 方 程 ， 以 及 介 绍 阐 述 变 化率的几何意 义 多媒体课 件 巩固练 习 对 应 结 合 例 题 进 行 改编变式 题 教 材 中 的 经 典 习 题 以 及 课 后 习题 ， 高 考题 中 经典考 题 延 伸概 念 ， 例 题习题巩 固 参 照 课 本 ， 课 后 习 题 ， 高考真 题 进 行 指导学 生