高二物理竞赛课件：角动量算符的矩阵元.pptx

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1、角动量算符的矩阵元角动量算符的矩阵元 n取|j,m为归一化的，则n因 而n故n取c为实数，有：n类似地nJ的矩阵元为n而由Jx=(J+J-)/2,Jy=(J+-J-)/2i可定出Jx和Jy的矩阵元 n对 绕转角的转动R，转动算符的矩阵元为n (D在不同j之间的矩阵元为零)n这些矩阵元有时称Wigner函数。n由 形成的(2j+1)x(2j+1)矩阵称为D(R)的(2j+1)维的不可约表示。即对一般的转动，D可按不同j而成分块对角化形式,且每一块不可用任何基而进一步划分为更小的块对角化形式，即 nD(R)=,n1.由任一确定j所表征的转动矩阵形成一个群 a)有单位矩阵（无转动），b)逆（绕同轴转

2、-角），c)乘积 也是成员，其中乘积R1R2表示单一转动；d)结合律也满足。n2.幺正性：n3.是|jm经R转动后在|jm态中找到的几率振幅：n对用Euler角表征的转动，有n可见只要求出n则可得到n例如对j=1/2,n对j=1，d(1)是3x3矩阵.利用Jy=(J+-J-)/2i及J的矩阵元可知：n可以验证：n利用级数展开，可知n从而得到n类似方法可给出d(j1)(),只是过程比较复杂.以后将介绍简便获得d(j)的方法。n1.CG系数组成正交矩阵：n2.CG系数有递推关系:n除符号约定外，上述关系完全确定了CG系数 n由递推关系联系的CG系数nj1=l,j2=S=1/2;j=l1/2(l0)

3、或 j=1/2(l=0).n讨论j=l+1/2情形。由递推关系:n即n结合 得n耦合态的展开：n选相位约定n定义：n该函数是L2，S2，J2和Jz的本征函数n由LS=(1/2)(J2-L2-S2),知自旋球谐函数也是LS的本征函数，本征值为：n考虑由角动量本征值为j1的本征矢为基的转动算符D(j1)(R)和相应定义的D(j2)(R)，其直积是可约的，在合适基矢下有如下矩阵表示:n采用群论的记号，即n由于n得两转动矩阵元的乘积与直积矩阵矩阵元的联系：n由于 ，Jx、Jy是厄米算符，其任意态的期待值为实数，故 a-b20 对给定a,b有上限bmax和下限bmin,且J+|a,bmax=0,J-|a,bmin=0.n由 得 ,类似有 bmin=-bmaxn由bmin和bmax的唯一性知，J+作用于|a,bmin有限次数应能达到|a,bmax，故 n记Jz的最大本征值为 ,则j=n/2为整数或半整数，而J2的本征值为 。Jz的本征值一般为 ，其中-jmj,共有2j+1个可能值-j,-j+1，j-1,j。n改记|a,b为|j,m，则n上述推导只用了角动量对易关系，即角动量的量子化源于转动和角动量作为转动生成元的基本性质。