gll023概率的计算4概率的加法法则5条件概率与乘法规则.ppt

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1、3 3 概率的计算概率的计算解：设所求事件为A.解：设A表示指定的3人排在一起。例1 从0到9这十个数字中任取三个，问大小在中间的号码恰为5的概率是多少？例2 9个人排成一排，求指定的3人排在一起的概率。例3 一批产品共有10个，其中有4个废品，求：(1)这批产品的废品率(2)任取3个恰有1个是废品的概率(3)任取3个全非废品的概率解：分别用A、A1、A0表示上述三个事件=0.4=0.5注：若是有放回地抽取，答案会不同，如=0.216例4 两封信随机地投向标号为、的四个邮筒。求第二个邮筒恰好被投入1封信的概率以及前两个邮筒中各有一封信的概率。解：设A表示第二个邮筒中投入一封信。B表示前两个邮筒

2、各有一封信。两封信共有42种可能的投法。A的不同投法有种B的不同投法有解：分别用A、B、C表示甲、乙、丙抽到难签。有放回时，每人面对的签数是相同的乙抽取时，可能与甲的抽取情况有关，但可将甲与乙的抽取同时考虑，只要乙抽到难签即可例5(抽签的公正性)设有3个难签，5个易签。甲、乙、丙依次抽取，分别在有放回与不放回的情况下计算各人抽到难签的概率。例6 设有5个人，每个人以同等机会被分配在7个房间中，求恰好有5个房间中各有一个人的概率。解：设A表示恰有5个房间中各有一个人。每人进入各房间等可能基本事件总数为75个。(1)七个数字全不同的事件A1(2)不含1与0的事件A2(3)两个偶数五个奇数的事件A3

3、解：基本事件总数为107=0.06048=0.20972=0.164例7 从0到9十个数字种任取一个，取后放回，再取。先后共取七个数字。求下述事件的概率。例8 两人约定于早上8点至9点在校门口见面。要求先到者等20分钟后离去。假定两人到校门的时间相互独立，而且在8至9点间是等可能的。问两人能见面的概率是多少？解：以x与y分别表示两人在8点之后到达校门口的分钟数。则0 x60,0y60两人能见面，即|x-y|20即图中的阴影部分能见面的概率为6020020604 4 概率的加法法则概率的加法法则解：A、B分别表示一、二等品，A+B表示产品合格故 P(A+B)=P(A)+P(B)可以推广为一般的加

4、法法则：若A与B互斥，则 P(A+B)=P(A)+P(B)可以得到一些重要的推广。例1 10件产品中有6个一等品，3个二等品，1个废品。规定一、二等品为合格品。求合格率与一、二等品之间的关系。(1)如果n个事件A1,A2,An两两互斥，则P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+P(An)(2)若A1,A2,An构成一个完备事件组，它们的概率和为P(A1)+P(A2)+P(An)=1特别地，对立事件的概率之和为1。P(A)+P()=1常用形式为P(A)=1-P()一般有 P(B-A)=P(B)-P(AB)这是因为 B=(B-A)+AB见右图BA(4)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(

5、AB)称为广义加法法则A+B=A+(B-A)由于A与B-A互斥故P(A+B)=P(A)+P(B-A)再由(3)得证。可见，只需P(AB)=0加法法则就成立。若是多个事件之和，公式会变复杂。这是因为由图ABP(A+B+C)=P(A+B)+P(C)-P(A+B)C)=P(A)+P(B)-P(AB)+P(C)-P(AC+BC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)其中要注意(AC)(BC)=ABC类似地，可以证明P(A1+A2+A3+A4)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)-P(A1A2)-P(A1A3)-P(A1A4)-P(A2A3)-P(A

6、2A4)-P(A3A4)+P(A1A2A3)+P(A1A2A4)+P(A1A3A4)+P(A2A3A4)-P(A1A2A3A4)解：分别用A2与A3表示抽到两个与三个白球。A2与A3互斥由加法法则，所求概率为P(A2+A3)=P(A2)+P(A3)例2 袋中有大小相同的7个球，4个是白球，3个为黑球。从中一次取出3个，求至少有两个是白球的概率。例3 50个产品中有46个合格品与4个废品，从中一次抽取3个，求其中有废品的概率。解：用Ai表示取到i个废品。A1,A2,A3互斥故P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)解：Ai表示有正好有i张相同。i0，2，3例4 现有黑桃自A至K

7、的13牌。有放回地抽3次。求(1)三张号码不同的概率。(2)三张中有相同号码的概率。(3)三张中至多有两张同号的概率。(2)P(A2+A3)=P(A2)+P(A3)(3)P(A0+A2)=P(A0)+P(A2)1P(A3)例5 甲盒中有2个红球1个白球，乙盒中有2个白球1个红球。从甲盒中取一球放入乙盒，再从乙盒中取一球放入甲盒。求甲盒成分不变的概率。解：甲盒成分不变，包括两种情况从甲盒中取出红球，从乙盒中也取出红球,记为A从甲盒中取出白球，从乙盒中也取出白球,记为BA与B互斥基本事件总数为3412A的基本事件数224B的基本事件数13=3解：A表示能被6整除。B表示能被8整除。例6 从1到20

8、0中任取一数。求(1)能被6与8同时整除的概率。(2)不能被6或8整除的概率。例7 你的班级中是否有人有相同的生日？这一事件的概率有多大？解：设人的生日在一年365天的每一天是等可能的A表示n个人组成的班级中有人生日相同。基本事件总数为365nA的基本事件数不易确定。故 P(A)=1-P()5 5 条件概率与乘法规则条件概率与乘法规则(1)取到废品的概率。(2)已知取到的是不合格品，它是废品的概率。解：(1)取到废品用A表示(2)基本事件总数为5一般设P(B)0。而P(A)称为无条件概率。例1 有100件产品，其中有5件是不合格品，包括3件次品与2件废品，任取一件，求定义1 在事件B已发生的条

9、件下，事件A发生的概率，称为事件A在给定B下的条件概率，简称为A对B的条件概率，记作P(A|B)例2 市场上供应的电风扇中，甲厂产品占70，乙厂占30。甲厂产品的合格率是95，乙厂的合格率是80。若用事件A,分别表示甲、乙两厂的产品，B表示产品为合格品，试写出有关事件的概率。解：由题设P(A)=0.7P()=0.3P(B|A)=0.95P(B|)=0.8例3 全年级100名学生中，有男生(事件A)80人，女生20人；来自北京的(事件B)有20人，其中男生12人，女生8人；免修英语(事件C)有40人，其中男生32人，女生8人。试写出解：由题设0.8=0.2=0.40.15=0.6=0.12=0.

10、4=0.15=0.32在例3中可以观察到它是条件概率的计算公式。要求P(A)0,P(B)0关于n个事件A1,A2,An的乘法规则是 P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2An1)定理1(乘法规则)若P(A)0,则P(AB)=P(A)P(B|A)若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B)解：甲厂生产的合格品，即P(AB)=P(A)P(B|A)=0.70.95=0.665乙厂生产的合格品，即P(B)=P()P(B|)=0.30.8=0.24为什么后者不是1-P(AB)?因为AB与B不是对立事件。例4 在例1中求从市场上买一台电风扇是甲厂生产的合格品

11、的概率以及是乙厂生产的合格品的概率。解：设A、B、C分别表示甲、乙、丙抽到难签。例5 10个考签中有4个难签，3人参加抽签(不放回)，甲先，乙次，丙最后。求甲抽到难签，甲、乙都抽到难签，甲没抽到难签而乙抽到难签以及甲乙丙都抽到难签的概率。解：设A表示第一件合格，B表示第二件合格。在不放回时另一方法P(AB)=P(A)P(B|A)=0.9025=0.9025例6 设100件产品中有5件不合格，任取两件，求两件均合格的概率，要求分为不放回与放回两种情况计算。错解：在另9个产品中(含3个废品)取到废品的概率正解：用A表示第一件是废品，B表示第二件是废品已知有一个是废品，即表示至少有一个废品，就是A+B若另一个也是废品，则两个都是废品即AB因(A+B)AB=AB例7 10件产品中有4件废品，任取两件。若已知有一个是废品，求另一个也是废品。又因P(A+B)1例8 设A,B为两个事件，且P(A)=a0,P(B)=b0