人教版高中数学:排列组合问题的常用解题方法课件 新课标人教B选修23.ppt
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1、解排列解排列组合合问题的常用策的常用策略略2021/8/9 星期一11 1、基本概念和考点、基本概念和考点、基本概念和考点、基本概念和考点2、合理分类和准确分步、合理分类和准确分步3 3、特殊元素和特殊位置问题、特殊元素和特殊位置问题、特殊元素和特殊位置问题、特殊元素和特殊位置问题4 4、相邻相间问题、相邻相间问题、相邻相间问题、相邻相间问题5、定序问题、定序问题6、分房问题、分房问题7、环排、环排、多排问题多排问题多排问题多排问题1212、小集团问题、小集团问题、小集团问题、小集团问题10、先选后排问题、先选后排问题9 9、平均分组问题、平均分组问题11、构造模型策略、构造模型策略8、枚举法
2、、枚举法13、其它特殊方法、其它特殊方法排列组合应用题解法综述排列组合应用题解法综述(目录)(目录)2021/8/9 星期一2排列组合应用题解法综述 计数问题中排列组合问题是最常见的,由于其解法往往是构造性的,因此方法灵活多样,不同解法导致问题难易变化也较大,而且解题过程出现“重复”和“遗漏”的错误较难自检发现。因而对这类问题归纳总结,并把握一些常见解题模型是必要的。返回目录返回目录2021/8/9 星期一3基基本本原原理理组合组合排列排列排列数公式排列数公式组合数公式组合数公式组合数性质组合数性质应应用用问问题题 知识结构网络图:知识结构网络图:返回目录返回目录2021/8/9 星期一4 名
3、称名称内容内容分类原理分类原理分步原理分步原理定定义义相同相同点点不同不同点点两个原理的区别与联系:两个原理的区别与联系:做一件事或完成一项工作的方法数做一件事或完成一项工作的方法数直接(直接(分类分类)完成)完成间接(间接(分步骤分步骤)完成)完成做一件事,完成它可以有做一件事,完成它可以有n类办法,类办法,第一类办法中有第一类办法中有m1种不同的方法,种不同的方法,第二类办法中有第二类办法中有m2种不同的方法种不同的方法,第第n类办法中有类办法中有mn种不同的方法,种不同的方法,那么完成这件事共有那么完成这件事共有 N=m1+m2+m3+mn 种不同的方法种不同的方法做一件事,完成它可以有
4、做一件事,完成它可以有n个步骤,个步骤,做第一步中有做第一步中有m1种不同的方法,种不同的方法,做第二步中有做第二步中有m2种不同的方法种不同的方法,做第做第n步中有步中有mn种不同的方法,种不同的方法,那么完成这件事共有那么完成这件事共有 N=m1m2m3mn 种不同的方法种不同的方法.回目录回目录2021/8/9 星期一51.1.排列和组合的区别和联系:排列和组合的区别和联系:名名称称排排列列组组合合定义定义种数种数符号符号计算计算公式公式关系关系性质性质 ,从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元个元素,素,按一定的顺序按一定的顺序排成一列排成一列从从n个不同元素中取出个不同元素中取
5、出m个元个元素,素,把它并成把它并成一组一组所有排列的的个数所有排列的的个数所有组合的个数所有组合的个数回目录回目录2021/8/9 星期一62.掌握解决排列组合问题的常用策略掌握解决排列组合问题的常用策略;能运能运 用解题策略解决简单的综合应用题。提高用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力。学生解决问题分析问题的能力。3.学会应用数学思想和方法解决排列组合学会应用数学思想和方法解决排列组合问题问题.教学目标教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。计数原理。返回目录返回目录2021/8/9 星期一7完成一件事,有完成一件
6、事,有n类办法,在第类办法,在第1类办法中类办法中有有 m1种不同的方法,在第种不同的方法,在第2类办法中有类办法中有m2 种不同的方法,种不同的方法,在第,在第n类办法中有类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有:种不同的方法,那么完成这件事共有:种不同的方法种不同的方法1.1.分类计数原理分类计数原理(加法原理加法原理)返回目录返回目录2021/8/9 星期一8 完成一件事,需要分成完成一件事,需要分成n个步骤,做第个步骤,做第1步有步有m1种不同的方法,做第种不同的方法,做第2步有步有m2 种不同种不同的方法,的方法,做第,做第n步有步有mn种不同的方法,种不同的方法,那么完成这件
7、事共有:那么完成这件事共有:种不同的方法种不同的方法2.分步计数原理(乘法原理)分步计数原理分步计数原理各步相互依存各步相互依存,每步中的,每步中的方法完成事件的方法完成事件的一个阶段一个阶段,不能完成整个事不能完成整个事件件3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理分类计数原理方法相互独立方法相互独立,任何一种,任何一种方法都可以方法都可以独立地完成这件事独立地完成这件事。返回目录返回目录2021/8/9 星期一91、某校组织学生分、某校组织学生分4个组从个组从3处风景点中选一处风景点中选一处去春游处去春游,则不同的春游方案的种数是(则不同的春游方案的种数是()A.B.C.D.C回目录回
8、目录练习2、将数字、将数字1、2、3、4 填入标号为填入标号为1、2、3、4 的的四个方格里四个方格里,每格填一个数字,则每个方格的标每格填一个数字,则每个方格的标号与所填的数字都不相同的填法共有(号与所填的数字都不相同的填法共有()。)。A.6 种种 B.9种种 C.11种种 D.23种种(331=9.可用框图具体填写)可用框图具体填写)B2021/8/9 星期一10考点分析考点分析 从从考纲大纲考纲大纲看:高考对这部分的要求看:高考对这部分的要求还是比较高的还是比较高的.要重视两个计数原理、排列、组要重视两个计数原理、排列、组合在解决实际问题上的应用合在解决实际问题上的应用.值得提醒地是:
9、计值得提醒地是:计数模型不一定是排列或组合数模型不一定是排列或组合.画一画,数一数,画一画,数一数,算一算,是基本的计数方法,不可废弃算一算,是基本的计数方法,不可废弃.例(例(2001年新课程卷)年新课程卷)某赛季足球比赛的计分某赛季足球比赛的计分规则是:胜一场,得规则是:胜一场,得3分;平一场,得分;平一场,得1分;负分;负一场,得一场,得0分分.一球队打完一球队打完15场,积场,积33分分.若不考若不考虑顺序,该队胜、负、平的情况共有:虑顺序,该队胜、负、平的情况共有:A 3种种 B 4种种 C 5种种 D 6种种.回目录回目录2021/8/9 星期一11解决排列组合综合性问题的一般过程
10、如下解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还即采取分步还 是分类是分类,或是分步与分类同时进行或是分步与分类同时进行,确定分多确定分多 少步及多少类。少步及多少类。3.确定每一步或每一类是排列问题确定每一步或每一类是排列问题(有序有序)还是还是 组合组合(无序无序)问题问题,元素总数是多少及取出多元素总数是多少及取出多 少个元素少个元素.解决排列组合综合性问题,往往类与步交解决排列组合综合性问题,往往类与步交 叉,因此必须掌握一些常用的解题策略叉,因此必须掌握一些常用的解题策略回目录
11、回目录2021/8/9 星期一12判断下列问题是组合问题还是排列问题判断下列问题是组合问题还是排列问题?(1)设集合设集合A=a,b,c,d,e,则集合,则集合A的含有的含有3个元素的子集有多少个个元素的子集有多少个?(2)某铁路线上有某铁路线上有5个车站,则这条铁路线上个车站,则这条铁路线上共需准备多少种车票共需准备多少种车票?有多少种不同的火车票价?有多少种不同的火车票价?组合问题组合问题排列问题排列问题(3)10名同学分成人数相同的数学和名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组,共有多少种分法英语两个学习小组,共有多少种分法?组合问题组合问题(4)10人聚会,见面后每两人之间要人聚会,
12、见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次握手相互问候,共需握手多少次?组合问题组合问题(5)从从4个风景点中选出个风景点中选出2个安排游览个安排游览,有多有多少种不同的方法少种不同的方法?组合问题组合问题(6)从从4个风景点中选出个风景点中选出2个个,并确定这并确定这2个风景点个风景点的游览顺序的游览顺序,有多少种不同的方法有多少种不同的方法?排列问题排列问题组合问题组合问题回目录回目录2021/8/9 星期一13合理分类和准确分步合理分类和准确分步 解排列(或)组合问题,应按元素的性质解排列(或)组合问题,应按元素的性质进行分类,分类标准明确,不重不漏;进行分类,分类标准明确,不重不漏
13、;按按事事情的发生的连续过程分步,做到分步层次清情的发生的连续过程分步,做到分步层次清楚楚.回目录回目录2021/8/9 星期一14总的原则总的原则合理合理分类和分类和准确准确分步分步 解排列(或)组合问题,应按元素的性质进行解排列(或)组合问题,应按元素的性质进行分类,事情的发生的连续过程分步,做到分类标准分类,事情的发生的连续过程分步,做到分类标准明确,分步层次清楚,不重不漏。明确,分步层次清楚,不重不漏。解法解法1 分析:先安排甲,按照要求对其进行分类,分两类:分析:先安排甲,按照要求对其进行分类,分两类:根据分步及分类计数原理,不同的站法共有根据分步及分类计数原理,不同的站法共有例例1
14、 6个同学和个同学和2个老师排成一排照相,个老师排成一排照相,2个个老师站中间,学生甲不站排头,学生乙不站排老师站中间,学生甲不站排头,学生乙不站排尾,共有多少种不同的排法?尾,共有多少种不同的排法?1)若甲在排尾上,则剩下的)若甲在排尾上,则剩下的5人可自由安排,有人可自由安排,有种方法种方法.2)若甲在第若甲在第2、3、6、7位,则位,则排尾的排法有排尾的排法有种,种,1位的排法位的排法有有种种,第第2、3、6、7位的排法有位的排法有种种,根据分步计数原,根据分步计数原理,不同的站法有理,不同的站法有 种。种。再安排老师,有再安排老师,有2种方法。种方法。回目录回目录2021/8/9 星期
15、一15把握分类原理、分步原理是基础把握分类原理、分步原理是基础例例1如图,某电子器件是由三个电如图,某电子器件是由三个电阻组成的回路阻组成的回路,其中有其中有6个焊接个焊接点点A,B,C,D,E,F,如果某个焊接点脱落,如果某个焊接点脱落,整个电路就会不通。现发现电路不通了整个电路就会不通。现发现电路不通了,那那么焊接点脱落的可能性共有(么焊接点脱落的可能性共有()A.63种种 B.64种种 C.6种种 D.36种种分析分析:由加法原理可知由加法原理可知由乘法原理可知:由乘法原理可知:222222-1=63222222-1=63回目录回目录2021/8/9 星期一16(1)0,1,2,3,4,
16、5可组成多少个无重复数字可组成多少个无重复数字且能被五整除的五位数?且能被五整除的五位数?练练习习1分类:个位数字为分类:个位数字为5或或0:个位数为个位数为0:个位数为个位数为5:回目录回目录2021/8/9 星期一17(2)0,1,2,3,4,5可组成多少个无重复数可组成多少个无重复数字且大于字且大于31250的五位数?的五位数?分类:分类:引申引申1:31250是由是由0,1,2,3,4,5组成的无重组成的无重复数字的五位数中从小到大第几个数?复数字的五位数中从小到大第几个数?方法一:(排除法)方法一:(排除法)方法二:(直接法)方法二:(直接法)引申引申2:由:由0,1,2,3,4,5
17、组成的无重复数字的组成的无重复数字的五位数中大于五位数中大于31250,小于,小于50124的数共有多少个?的数共有多少个?(2004 全国全国12)在由数字在由数字1,2,3,4,5组成的所有组成的所有没有重复的没有重复的5位数中,大于位数中,大于23145且小于且小于43521的的数共有(数共有()个)个58回目录回目录2021/8/9 星期一18合理分类与分步策略例例.在一次演唱会上共在一次演唱会上共1010名演员名演员,其中其中8 8人能唱歌人能唱歌,5,5人会跳舞人会跳舞,现要演出一个现要演出一个2 2人唱歌人唱歌2 2人伴舞的节人伴舞的节目目,有多少选派方法有多少选派方法?解:10
18、10演员中有演员中有5 5人只会唱歌,人只会唱歌,2 2人只会跳舞人只会跳舞 3 3人为全能演员。人为全能演员。以只会唱歌的以只会唱歌的5 5人是否人是否选上唱歌人员为标准进行研究选上唱歌人员为标准进行研究 只会唱只会唱的的5 5人中没有人选上唱歌人员共有人中没有人选上唱歌人员共有_种种,只会唱的只会唱的5 5人中只有人中只有1 1人选上唱歌人人选上唱歌人员员_种种,只会唱的只会唱的5 5人中只有人中只有2 2人人选上唱歌人员有选上唱歌人员有_种,由分类计数种,由分类计数原理共有原理共有_种。种。+回目录回目录2021/8/9 星期一19本题还有如下分类标准:本题还有如下分类标准:*以以3 3
19、个全能演员是否选上唱歌人员为标准个全能演员是否选上唱歌人员为标准*以以3 3个全能演员是否选上跳舞人员为标准个全能演员是否选上跳舞人员为标准*以只会跳舞的以只会跳舞的2 2人是否选上跳舞人员为标准人是否选上跳舞人员为标准都可经得到正确结果都可经得到正确结果解含有约束条件的排列组合问题,可按元素解含有约束条件的排列组合问题,可按元素的性质进行分类,按事件发生的连续过程分的性质进行分类,按事件发生的连续过程分步,做到标准明确。分步层次清楚,不重不步,做到标准明确。分步层次清楚,不重不漏,分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的漏,分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。始终。回目录回目录2021/8/9
20、 星期一20有不同的数学书有不同的数学书7本,语文书本,语文书5本,本,英语书英语书4本,由其中取出不是同一本,由其中取出不是同一学科的书学科的书2本,共有多少种不同的本,共有多少种不同的取法?取法?(75+74+54=83)回目录回目录2021/8/9 星期一21(4)()(2005福建福建理)从理)从6人中选人中选4人分别到巴黎、伦人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览,要求每个城市有一敦、悉尼、莫斯科四个城市游览,要求每个城市有一人游览,每人只游览一个城市,且这人游览,每人只游览一个城市,且这6人中甲、乙两人人中甲、乙两人不去巴黎游览,则不同的选择方案共有不去巴黎游览,则不同的选择
21、方案共有()A300种种B240种种C144种种D96种种B(直接法)分三种情况:(直接法)分三种情况:情况一情况一,不选甲、乙两个去游览不选甲、乙两个去游览:则有则有种选择方案种选择方案,情况二情况二:甲、乙中有一人去游览:有甲、乙中有一人去游览:有种选择方案种选择方案;情况三情况三:甲、乙两人都去游览甲、乙两人都去游览,有有种选择方案种选择方案,综上不同的选择方案共有综上不同的选择方案共有+=240(间接法)回目录回目录2021/8/9 星期一221.从从4名男生和名男生和3名女生中选出名女生中选出4人参加某个座人参加某个座 谈会,若这谈会,若这4人中必须既有男生又有女生,则人中必须既有男
22、生又有女生,则不同的选法共有不同的选法共有_ 3434 练习题2.3成人成人2小孩乘船游玩小孩乘船游玩,1号船最多乘号船最多乘3人人,2 号船最多乘号船最多乘2人人,3号船只能乘号船只能乘1人人,他们任选他们任选 2只船或只船或3只船只船,但小孩不能单独乘一只船但小孩不能单独乘一只船,这这5人共有多少乘船方法人共有多少乘船方法.2727回目录回目录2021/8/9 星期一23特殊元素和特殊位置特殊元素和特殊位置问题2021/8/9 星期一24特殊元素和特殊位置优先策略特殊元素和特殊位置优先策略例例1.由由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字可以组成多少个没有重复数字 五位奇数五位奇
23、数.解解:由于末位和首位有特殊要求由于末位和首位有特殊要求,应该优先安应该优先安 排排,以免不合要求的元素占了这两个位置以免不合要求的元素占了这两个位置先排末位共有先排末位共有_ 然后排首位共有然后排首位共有_最后排其它位置共有最后排其它位置共有_由分步计数原理得由分步计数原理得=288位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法用也是最基本的方法,若以元素分析为主若以元素分析为主,需先安排需先安排特殊元素特殊元素,再处理其它元素再处理其它元素.若以位置分析为主若以位置分析为主,需需先满足特殊位置的要求先满足特殊位置的要求,再处理其
24、它位置。若有多再处理其它位置。若有多个约束条件,往往是考虑一个约束条件的同时还要个约束条件,往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件兼顾其它条件回目录回目录2021/8/9 星期一25“特殊元素、特殊位置优先安排法特殊元素、特殊位置优先安排法”对于特殊元素的排列组合问题,一般应先考虑特殊元对于特殊元素的排列组合问题,一般应先考虑特殊元素,再考虑其它元素。素,再考虑其它元素。例例2 用用0,1,2,3,4这五个数,组成没这五个数,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有(有重复数字的三位数,其中偶数共有()A.24 B.30 C.40 D.60 分析:由于该三位数是偶数,所以末尾数字必须是偶数
25、,分析:由于该三位数是偶数,所以末尾数字必须是偶数,又因为又因为0不能排首位,故不能排首位,故0就是其中的就是其中的“特殊特殊”元素,应优元素,应优先安排。按先安排。按0排在末尾和不排在末尾分为两类;排在末尾和不排在末尾分为两类;1)0排在末尾时,有排在末尾时,有 个;个;2)0不排在末尾时,先用偶数排个位,再排百位,最后排不排在末尾时,先用偶数排个位,再排百位,最后排十位有十位有 个;个;3)由分类计数原理,共有偶数由分类计数原理,共有偶数 30 个个.B解题技巧解题技巧回目录回目录2021/8/9 星期一26学生要从六门课中选学两门:学生要从六门课中选学两门:(1)有两门课时间冲突,不能)
- 配套讲稿:
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