人教版高一数学数学实际应用问题中的三种类型及其解法课件 新课标 人教.ppt

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1、数学实际应用问题中的数学实际应用问题中的三种类型及其解法三种类型及其解法制作：制作：制作：制作：长沙市三十七中长沙市三十七中长沙市三十七中长沙市三十七中2021/8/9 星期一1 数学实际应用问题中的三种类型及其解法数学实际应用问题中的三种类型及其解法 教学目标：教学目标：难点：难点：灵活运用所学知识正确分析和解决实际问题。灵活运用所学知识正确分析和解决实际问题。1.通通过过对对实实际际应应用用问问题题中中的的三三种种类类型型的的讨讨论论和和解解法法探探讨讨，使使学学生生明明确确和和掌掌握握解解答答实实际际应应用用问问题题的的思思想想方方法，进一步巩固函数等有关的数学知识和方法。法，进一步巩固

2、函数等有关的数学知识和方法。2.通通过过学学习习，能能运运用用所所学学知知识识解解决决实实际际问问题题，提提高高分析问题、解决问题的能力及综合运用知识的能力。分析问题、解决问题的能力及综合运用知识的能力。3.培培养养学学生生理理论论联联系系实实际际，自自觉觉运运用用所所学学知知识识解解决决实际问题的意识。实际问题的意识。重点：重点：实际应用问题中的三种类型及其解法。实际应用问题中的三种类型及其解法。2021/8/9 星期一2 一、复习回顾 读题理解读题理解读题理解读题理解：读懂题意、理解实际背景，把：读懂题意、理解实际背景，把：读懂题意、理解实际背景，把：读懂题意、理解实际背景，把“问题问题问

3、题问题情景情景情景情景”译为数学语言，找出问题的主要关系（目标与条译为数学语言，找出问题的主要关系（目标与条译为数学语言，找出问题的主要关系（目标与条译为数学语言，找出问题的主要关系（目标与条件的关系）；件的关系）；件的关系）；件的关系）；抽抽抽抽象象象象建建建建模模模模：把把把把问问问问题题题题的的的的主主主主要要要要关关关关系系系系近近近近似似似似化化化化、形形形形式式式式化化化化，抽抽抽抽象、归纳成数学问题（数学模型）；象、归纳成数学问题（数学模型）；象、归纳成数学问题（数学模型）；象、归纳成数学问题（数学模型）；求求求求解解解解模模模模型型型型：把把把把数数数数学学学学问问问问题题题题

4、化化化化归归归归为为为为常常常常规规规规问问问问题题题题，选选选选择择择择合合合合适适适适的数学方法求解（解出模型的数学结果）；的数学方法求解（解出模型的数学结果）；的数学方法求解（解出模型的数学结果）；的数学方法求解（解出模型的数学结果）；评评评评价价价价作作作作答答答答：对对对对结结结结果果果果进进进进行行行行验验验验证证证证或或或或评评评评估估估估，对对对对错错错错误误误误加加加加以以以以调调调调节、修正，最后对实际问题作出回答（解释或预测）节、修正，最后对实际问题作出回答（解释或预测）节、修正，最后对实际问题作出回答（解释或预测）节、修正，最后对实际问题作出回答（解释或预测）.解应用问

5、题的一般思路和方法步骤：解应用问题的一般思路和方法步骤：三三种种类类型型及及其其解解法法数数学学实实际际应应用用问问题题中中的的 读题读题-建模建模-求解求解-评价评价2021/8/9 星期一3 二、学习新课 (一一)应应用用问问题题中中的的三三种种类类型型、理理论论依依据据和和解题思路解题思路 类型类型()()：有关有关“利润最大、产值最高、造价利润最大、产值最高、造价最低最低”等问等问题题.处理方法处理方法：主要是函数与方程的思想方法及函主要是函数与方程的思想方法及函数与不等式的思想方法数与不等式的思想方法.类型类型()()：其理论依据有其理论依据有：数列、指数函数、方程、不等数列、指数函

6、数、方程、不等式及近似计算等式及近似计算等.有关有关“利率、增长率及翻番利率、增长率及翻番”等问等问题题.处理方法：处理方法：主要是构造指数式方程或指数式不主要是构造指数式方程或指数式不等式等式.其理论依据是：其理论依据是：一次函数、二次函数、分式函一次函数、二次函数、分式函数、不等式及方程等数、不等式及方程等.数数学学实实际际应应用用问问题题中中的的三三种种类类型型及及其其解解法法2021/8/9 星期一4体问题选择类体问题选择类()()或或()()的方法的方法.类型类型():():变化过程中所遵从的某些特定关系变化过程中所遵从的某些特定关系.定义型问题，即给定事物发展定义型问题，即给定事物

7、发展 其理论依据是其理论依据是:类类()()或类或类()()的综合的综合.处理方法：处理方法：除遵从题中规定关系外应视具除遵从题中规定关系外应视具数数学学实实际际应应用用问问题题中中的的三三种种类类型型及及其其解解法法 象近年来的高考应用问题大多属于类型象近年来的高考应用问题大多属于类型().().2021/8/9 星期一5 （二）例与练 应应应应怎怎怎怎样样样样计计计计划划划划才才才才能能能能使使使使每每每每亩亩亩亩地地地地都都都都能能能能种种种种上上上上作作作作物物物物（水水水水稻稻稻稻必必必必种种种种），所所所所有有有有劳劳劳劳力力力力都都都都有有有有工工工工作作作作且且且且作作作作物物

8、物物预预预预计计计计总产值达最高？（每个劳力只种一种作物）总产值达最高？（每个劳力只种一种作物）总产值达最高？（每个劳力只种一种作物）总产值达最高？（每个劳力只种一种作物）例例1 12020个个劳劳动动力力种种5050亩亩地地，这这些些地地可可种种蔬蔬菜菜、棉棉花花、水水稻稻.这这些些作作物物每每亩亩地地所所需需劳劳力力和和预预计产值如下表：计产值如下表：作作作作 物物物物劳力劳力劳力劳力/亩亩亩亩产值产值产值产值/亩亩亩亩蔬蔬蔬蔬 菜菜菜菜1/21/21/21/20.60.60.60.6万元万元万元万元棉棉棉棉 花花花花1/31/31/31/30.50.50.50.5万元万元万元万元水水水水

9、 稻稻稻稻1/41/41/41/40.30.30.30.3万元万元万元万元解答三类型数数学学实实际际应应用用问问题题中中的的三三种种类类型型及及其其解解法法2021/8/9 星期一6 题题中中显显示示“产产值值最最高高”的的语语句句，属属类型类型()()，应从构造有关产值的函数关系入手，应从构造有关产值的函数关系入手.满足满足解：解：设种设种x x亩水稻亩水稻(0 x50)(0 x50)，y y亩棉花亩棉花（0y500y0).K(K0).如如果果机机车车匀匀速速从从甲甲站站开开往往乙乙站站，为为使使成成本最省本最省,应以怎样的速度运行？应以怎样的速度运行？故机车以速度故机车以速度故机车以速度故

10、机车以速度 但但题题中中显显示示“成成本最省本最省”的语句，应选择类型的语句，应选择类型()()的处理方法的处理方法.分析：分析：设机车以速度设机车以速度V V匀速运行成本最省，甲、匀速运行成本最省，甲、乙两站相距乙两站相距S S千米，千米，解：解：则机车匀速从甲站到乙站所则机车匀速从甲站到乙站所需时间为需时间为 t=S/Vt=S/V，总成本设为总成本设为y y元，则有元，则有y=(a+KVy=(a+KV2 2)t )t =(a+KV=(a+KV2 2)(S/V)(S/V)=SKV+(a/V)=SKV+(a/V)当且仅当当且仅当KV=a/VKV=a/V，即即时，时，y y有最小值，有最小值，千

11、米千米/小时匀速运行时，小时匀速运行时，成本最省成本最省.题目结构属类型题目结构属类型().().三类型复习数数学学实实际际应应用用问问题题中中的的三三种种类类型型及及其其解解法法复习12021/8/9 星期一10 练习：1 1一一商商人人购购进进某某种种商商品品400400个个，进进货货原原价价为为每每个个8080元元，若若按按9090元元一一个个售售出出时时，可可全全部部卖卖出出.已已知知这这种种商商品品每每个个涨涨价价1 1元元，其其销销售售数数就就减减少少2020个个，问他的售价应为多少时所获得的利润最大？问他的售价应为多少时所获得的利润最大？2 2某某工工厂厂在在今今年年年年初初向向

12、银银行行贷贷款款a a万万元元，年年利利率率为为r r；从从今今年年年年末末开开始始，每每年年末末向向银银行行偿偿还还一一定定的的金金额额，预预计计五五年年内内还还清清，问问该该厂厂每每年年末末平平均均偿偿还的金额应是多少？还的金额应是多少？3 3某某人人进进一一批批货货，进进货货时时已已按按原原价价a a扣扣去去了了25%25%，现现他他希希望望对对货货物物定定一一个个新新价价，以以便便按按新新价价让让利利20%20%后后，仍仍可可获获得得实实际际售售价价25%25%的的纯纯利利，试试写写出出他经营这种货物件数他经营这种货物件数x x与让利总额与让利总额y y间的函数关系间的函数关系.练习1

13、练习2练习3小结数数学学实实际际应应用用问问题题中中的的三三种种类类型型及及其其解解法法2021/8/9 星期一11 1 1分析：题中显示分析：题中显示“利润最大利润最大”的语句，的语句，属类型属类型().().应从构造有关利润的函数关系入手应从构造有关利润的函数关系入手.（利润（利润=售额售额-成本）成本）答：售价为答：售价为答：售价为答：售价为95959595元时获利最大，其最大值为元时获利最大，其最大值为元时获利最大，其最大值为元时获利最大，其最大值为4500450045004500元元元元.此此时时销销售售量量为为400-20 x400-20 x，则，则 y=(90+x)(400-20

14、 x)-(400-20 x)y=(90+x)(400-20 x)-(400-20 x).8080解：解：设售价为设售价为90+x90+x元时利润为元时利润为y y，=20(20-x)(10+x)=20-(x-5)=20(20-x)(10+x)=20-(x-5)2 2+225+225，由二次函数的性质知，由二次函数的性质知，当当x=5x=5时，时，y ymaxmax=4500=4500（元）（元）.练习小结数数学学实实际际应应用用问问题题中中的的三三种种类类型型及及其其解解法法2021/8/9 星期一12 2 2分分析析：题题中中显显示示“利利率率”的的语语句句，属属类类型型()()，应从构造指

15、数式方程或不等式入手，应从构造指数式方程或不等式入手.解解：设设平平均均每每年年末末应应向向银银行行偿偿还还x x万万元元，则每年尚欠银行款依次为：则每年尚欠银行款依次为：第第1 1年：年：a+ar-x=a(1+r)-xa+ar-x=a(1+r)-x，第第2 2年：年：a(1+r)-x+a(1+r)-xr-xa(1+r)-x+a(1+r)-xr-x =a(1+r)=a(1+r)2 2-x(1+r)-x-x(1+r)-x，第第5 5年：年：a(1+r)a(1+r)5 5-x(1+r)-x(1+r)4 4+(1+r)+(1+r)3 3+(1+r)+1.+(1+r)+1.根据题意，第根据题意，第5

16、5年欠款应等于零，年欠款应等于零，即即a(1+r)a(1+r)5 5-x(1+r)-x(1+r)4 4+(1+r)+(1+r)3 3+(1+r)+1=0,+(1+r)+1=0,亦即亦即答：平均每年末向银行偿还的金额是答：平均每年末向银行偿还的金额是万元万元.数数学学实实际际应应用用问问题题中中的的三三种种类类型型及及其其解解法法练习2021/8/9 星期一13 注注：本本题题也也可可从从两两方方面面去去计计算算本本利利.即即整整存存整整取取a a万万元元，五五年年本本利利有有M M万万元元，零零存存整整取取x x万万元元，四年本利有四年本利有N N万元，若五年内还清，则有关系：万元，若五年内还

17、清，则有关系：N+xM.N+xM.练习小结数数学学实实际际应应用用问问题题中中的的三三种种类类型型及及其其解解法法2021/8/9 星期一14 3 3分分析析：题题目目结结构构属属类类型型().().题题中中虽虽显显示示“让让利利”等等语语句句，但但最最终终还还是是以以“利利润润大大”为为目目的的，故故应应选选择择类类型型()()的的处处理理方方法法.解解决决此此题题的的关关键键是是弄弄清清让让利利、纯纯利利等等的的含含义义，弄弄清清原原价价、进进价价、新新价价之之间间的的关关系系，特特别别是是要要求求出出新新价价与与原原价之间的关系式，还要注意函数的定义域价之间的关系式，还要注意函数的定义域

18、.解：设新价为解：设新价为b b，则售价为则售价为 b(1-20%),b(1-20%),进价进价为为 a(1-a(1-25%),25%),由题意得：由题意得：b(1-20%)-a(1-25%)b(1-20%)-a(1-25%)=b(1-20%)25%,=b(1-20%)25%,b=5a/4b=5a/4，y=b 20%x=ax/4,y=b 20%x=ax/4,(xN).(xN).练习数数学学实实际际应应用用问问题题中中的的三三种种类类型型及及其其解解法法2021/8/9 星期一15 三、归纳小结 今今天天我我们们主主要要归归纳纳和和讨讨论论了了数数学学实实际际应应用用问问题题中中的的三三种种类类

19、型型及及它它们们的的处处理理思思想想和和方方法法，并并通通过过例例题题和和练练习习进进行行了了解解题题思思路路和和方方法法的的探探索实践。索实践。有有关关“利利润润最最大大、产产值值最最高高、造造价价最最低低”等等问问题题，主主要要是是利利用用函函数数与与方方程程的的思思想想方方法法及及函函数数与与不不等等式式的的思思想想方方法法解解决决；有有关关“利利率率、增增长长率率及及翻翻番番”等等问问题题，主主要要是是利利用用构构造造指指数数式式方方程程或或指指数数式式不不等等式式解解决决；对对于于定定义义型型问问题题，处处理理方方法法除除遵遵从从题题中中规规定定关关系系外外，应应视视具具体体问问题选

20、择类题选择类()()或或()()的方法解决的方法解决.数数学学实实际际应应用用问问题题中中的的三三种种类类型型及及其其解解法法练习2021/8/9 星期一16 四、布置作业求这种商品的日销售额的最大值求这种商品的日销售额的最大值求这种商品的日销售额的最大值求这种商品的日销售额的最大值?1.1.某某商商品品在在最最近近100100天天内内的的价价格格f f(t t)与与时时间间t t的的函函数关系式是数关系式是,销售量销售量g(t)g(t)与时间与时间t t的的函数关系是函数关系是 2.2.某某工工厂厂现现有有职职工工2a2a人人(140(1402a2a280)280)，且且a a为为偶偶数数，

21、每每人人每每年年可可创创利利b b万万元元，据据评评估估在在生生产产条条件件不不变变的的条条件件下下，每每裁裁员员1 1人人，则则留留岗岗职职工工每每人人每每年年多多创创利利1%1%，但但每每年年需需付付下下岗岗职职工工0.4b0.4b万万元元的的生生活活费费，并并且且该该厂厂正正常常运运转转所所需需人人数数不不得得小小于于现现有有职职工工的的3/4,3/4,为为获获得得最最大大的的经经济效益，该厂应裁员多少人济效益，该厂应裁员多少人?数数学学实实际际应应用用问问题题中中的的三三种种类类型型及及其其解解法法2021/8/9 星期一17 3.3.3.3.某某某某工工工工厂厂厂厂生生生生产产产产某

22、某某某产产产产品品品品x x x x 吨吨吨吨所所所所需需需需费费费费用用用用P P P P元元元元，而而而而卖卖卖卖 出出出出x x x x 吨吨吨吨 的的的的 价价价价 格格格格 为为为为 每每每每 吨吨吨吨Q Q Q Q元元元元，已已已已 知知知知P=1000+5xP=1000+5xP=1000+5xP=1000+5x2 2 2 2+(X+(X+(X+(X2 2 2 2/10)/10)/10)/10)，Q=Q=Q=Q=a+(x/b),a+(x/b),a+(x/b),a+(x/b),若若若若生生生生产产产产出出出出的的的的产产产产品品品品能能能能全全全全部部部部卖卖卖卖掉掉掉掉，且且且且当

23、当当当产产产产量量量量为为为为10101010吨吨吨吨时时时时利利利利润润润润最最最最大大大大，此此此此时每吨价格为时每吨价格为时每吨价格为时每吨价格为40404040元，求实数元，求实数元，求实数元，求实数a a a a、b b b b的值的值的值的值.参考答案：参考答案：1.1.808.5 808.5 2.2.a-70 a-70人人.3.3.a=45 a=45，b=-30.b=-30.数数学学实实际际应应用用问问题题中中的的三三种种类类型型及及其其解解法法2021/8/9 星期一18 五、板书设计 课题：课题：一、复习一、复习 (二二)例与练例与练 解应用问题的一般解应用问题的一般 例例1

24、 1 练习：练习：1 1 思路和方法思路和方法 2 2 3 3 二、新课二、新课 例例2 2(一一)应用问题中的应用问题中的 三、小结三、小结 三种类型、理论依三种类型、理论依 据和解题思路据和解题思路 例例3 3 四、作业四、作业数数学学实实际际应应用用问问题题中中的的三三种种类类型型及及其其解解法法2021/8/9 星期一19 应用问题中的三种类型和解题思路 类型类型()()：有关有关“利润最大、产值最高、造利润最大、产值最高、造价最低价最低”等问题等问题.处理方法：处理方法：主要是函数与方程的思想方法及主要是函数与方程的思想方法及函数与不等式的思想方法函数与不等式的思想方法.类型类型()

25、()：有关有关“利率、增长率及翻番利率、增长率及翻番”等等问题问题.处理方法：处理方法：主要是构造指数式方程或指数式主要是构造指数式方程或指数式不等式不等式.类型类型()()：定义型问题，即给定事物发展变定义型问题，即给定事物发展变化过程中所遵从的某些特定关系化过程中所遵从的某些特定关系.处理方法：处理方法：除遵从题中规定关系外应视具体除遵从题中规定关系外应视具体问题选择类问题选择类()()或或()()的方法的方法.例1例2例3数数学学实实际际应应用用问问题题中中的的三三种种类类型型及及其其解解法法2021/8/9 星期一20 若a0，b0，则 ,，当且仅当，当且仅当a=ba=b时，时，“=”

26、“=”成成立立.例3即即定理：定理：数数学学实实际际应应用用问问题题中中的的三三种种类类型型及及其其解解法法2021/8/9 星期一21又又KV+(a/V)=KV+(a/V)=当且仅当当且仅当，即，即即即 KV+(a/V)KV+(a/V)有最小值有最小值 ，此时，此时，y y有最小值有最小值 .故机车以速度故机车以速度成本最省成本最省.千米千米/小时匀速运行时，小时匀速运行时，时，时，例3成本成本y=(a+KVy=(a+KV2 2)t)t=(a+KV=(a+KV2 2)(S/V)(S/V)=SKV+(a/V).=SKV+(a/V).分析：分析：应从构造有关成本的函数关系入手应从构造有关成本的函数关系入手.“=”“=”成立，成立，数数学学实实际际应应用用问问题题中中的的三三种种类类型型及及其其解解法法2021/8/9 星期一222021/8/9 星期一23