人教版陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第三章 推理与证明 反证法名师点拨课件 北师大选修12.ppt

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1、1 1间间接接证证明明不不是是从从正正面面论论证证命命题题的的真真实实性性，而而是是通通过过证证明明它它的的等等价价命命题题，间间接接地地达达到到证证明明的的目目的的，最常见的间接证明是反证法最常见的间接证明是反证法2021/8/9 星期一12 2间接论证的应用，有一定困难因为在间接证间接论证的应用，有一定困难因为在间接证明过程中，不得不暂时离开所讨论的论题，引进许多明过程中，不得不暂时离开所讨论的论题，引进许多补充的材料补充的材料(如结论的反面等如结论的反面等)，致使全部过程复杂化，致使全部过程复杂化但这种方法我们务必学会，因为在学习中，时常会但这种方法我们务必学会，因为在学习中，时常会遇到

2、这样的命题，当时并无直接证明它的论据，必须遇到这样的命题，当时并无直接证明它的论据，必须用间接法来证明它的真实性用间接法来证明它的真实性2021/8/9 星期一21 1反证法的原理反证法的原理反证法的原理是反证法的原理是“否定之否定等于肯定否定之否定等于肯定”反证法的主要依据是逻辑中的排中律排中律的反证法的主要依据是逻辑中的排中律排中律的一般表现形式是：或者是一般表现形式是：或者是A A，或者是非，或者是非A A，即在同一讨，即在同一讨论过程中，论过程中，A A和非和非A A有一个且仅有一个是对的不能有有一个且仅有一个是对的不能有第三种情形出现第三种情形出现2021/8/9 星期一32 2反证

3、法证题的一般步骤反证法证题的一般步骤(1)(1)假设：假设所要证明的结论不成立，即假设结假设：假设所要证明的结论不成立，即假设结论的反面成立；论的反面成立；(2)(2)归谬：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾，归谬：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾，这是反证法的核心，在推理论证的过程中要有意识地这是反证法的核心，在推理论证的过程中要有意识地制造矛盾和发现矛盾制造矛盾和发现矛盾2021/8/9 星期一42021/8/9 星期一5反证法可以证明的命题范围相当广泛如：唯一反证法可以证明的命题范围相当广泛如：唯一性问题，无限性问题，肯定性问题，否定性问题，存性问题，无限性问题，肯定性问题，否定性问题

4、，存在性问题，不等式问题，等式问题，函数问题，整除在性问题，不等式问题，等式问题，函数问题，整除问题，几何问题等常见的基本题型是：问题，几何问题等常见的基本题型是：(1)(1)一些基本定理；一些基本定理；(2)(2)“否定性否定性”命题；命题；(3)(3)“唯一性唯一性”命题；命题；(4)(4)“必然性必然性”命题；命题；(5)(5)“至少至少”、“至多至多”命题命题2021/8/9 星期一6常见的常见的“结论词结论词”与与“反设词反设词”归纳如下：归纳如下：原结原结论词论词至少有一个至少有一个至多有一个至多有一个至少有至少有n n个个至多有至多有n n个个反设反设词词一个也没有一个也没有(不

5、存在不存在至少有两个至少有两个)至多有至多有(n(n1)1)个个至少有至少有(n(n1)1)个个2021/8/9 星期一7原结论词原结论词只有一个只有一个对任意对任意x x成立成立对任意对任意x x不成立不成立反设词反设词没有或至没有或至少有两个少有两个存在某个存在某个x x不成立不成立存在某个存在某个x x成立成立原结论词原结论词都是都是一定是一定是p或或qp且且q反设词反设词不都是不都是不一定是不一定是綈綈p且且綈綈q綈綈p或或綈綈q2021/8/9 星期一81 1如果待证命题的相反判断有多种不同情况，需如果待证命题的相反判断有多种不同情况，需对各种不同情况一一导出矛盾，加以否定，才能使原

6、判对各种不同情况一一导出矛盾，加以否定，才能使原判断得到充分肯定断得到充分肯定2 2有些待证命题的相反判断虽然只有一种情况，有些待证命题的相反判断虽然只有一种情况，但在证明过程中有必要进行分类，首先要求分类必须详但在证明过程中有必要进行分类，首先要求分类必须详尽无遗漏，并且就各类一一导出矛盾尽无遗漏，并且就各类一一导出矛盾2021/8/9 星期一93 3有些待证命题的相反判断是断言一个对象在有些待证命题的相反判断是断言一个对象在某一范围内恒有某种属性，对此只要我们能够在该范某一范围内恒有某种属性，对此只要我们能够在该范围内举一特例导出矛盾，即可予以否定，从而达到证围内举一特例导出矛盾，即可予以

7、否定，从而达到证明的目的明的目的4 4用直接法证明几何问题时，所画的图形应力用直接法证明几何问题时，所画的图形应力求准确，但反证法恰好相反，我们往往故意画出不正求准确，但反证法恰好相反，我们往往故意画出不正确的甚至不可能存在的图形，才便于探索导出矛盾的确的甚至不可能存在的图形，才便于探索导出矛盾的途径途径5 5有些命题在证明过程中，可以连续运用反证有些命题在证明过程中，可以连续运用反证法，即反证法中套反证法法，即反证法中套反证法2021/8/9 星期一10已知实数已知实数p满足不等式满足不等式(2p1)(p2)0，用反证法证明：，用反证法证明：关于关于x的方程的方程x22x5p20无实根无实根2021/8/9 星期一11【错因错因】利用反证法进行证明时，首先对所要利用反证法进行证明时，首先对所要证明的结论进行否定性的假设，并以此为条件进行归证明的结论进行否定性的假设，并以此为条件进行归谬，得到矛盾，则原命题成立即反证法必须严格按谬，得到矛盾，则原命题成立即反证法必须严格按照照“反设反设归谬归谬存真存真”的步骤进行错解在解题的的步骤进行错解在解题的过程中并没有用到假设的结论，故不是反证法过程中并没有用到假设的结论，故不是反证法2021/8/9 星期一122021/8/9 星期一13