人教版福建省福鼎市高一数学《函数单调性》课件.ppt

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1、2.3 2.3 函数的单调性函数的单调性2021/8/9 星期一1 观察下列各个函数的图象，并说说它们观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律分别反映了相应函数的哪些变化规律：1、观察这三个图象，你能说出图象的特征吗？、观察这三个图象，你能说出图象的特征吗？2、随随x的增大，的增大，y的值有什么变化？的值有什么变化？f(x)=x3xy0f(x)=-xxy0 xy0f(x)=x2图1图2图3(从左到右从左到右)2021/8/9 星期一21.观察函数图象，从左向右函数图象如何变化？观察函数图象，从左向右函数图象如何变化？2.针对函数针对函数y=x2在在0，+）上图像，任取

2、自）上图像，任取自 变量变量的两个值，比较其对应函数值的大小的两个值，比较其对应函数值的大小.3.总结归纳出函数图象中自变量总结归纳出函数图象中自变量x和和 y值之间的变化值之间的变化规律规律.2021/8/9 星期一31、在区间、在区间 _ 上，上，f(x)的值随着的值随着x 的增大而的增大而 _2、在区间在区间 _ 上，上，f(x)的值随的值随着着x 的增大而的增大而 _(-,0(0,+)增大增大减小减小 f(x)=x3xy0图1xy0f(x)=x2图31、在区间、在区间 _ 上，上，f(x)的值随着的值随着x 的增大而的增大而 _(-,+)增大增大减区间增区间增区间2021/8/9 星期

3、一42021/8/9 星期一5o 一般地，设函数一般地，设函数 的定义域为的定义域为I I：如果对于属于如果对于属于定义域定义域I I内某个区间内某个区间上的任意两上的任意两个自变量的值个自变量的值 ，。当。当 时，都有时，都有 那么就说那么就说 在这个区间上是在这个区间上是增函数增函数。这一区间叫做函数的这一区间叫做函数的减区间减区间2021/8/9 星期一6o 一般地，设函数一般地，设函数 的定义域为的定义域为I I：如果对于属于如果对于属于定义域定义域I I内某个区间内某个区间上的任意两上的任意两个自变量的值个自变量的值 ，。当。当 时，都有时，都有 那么就说那么就说 在这个区间上是在这

4、个区间上是减函数减函数。这一区间叫做函数的这一区间叫做函数的减区间减区间2021/8/9 星期一7 如果函数如果函数y=f(x)y=f(x)在在某个区间某个区间上是上是增函数或者是减增函数或者是减函数函数，那么就说函数，那么就说函数y=f(x)y=f(x)在这个区间上具有（严在这个区间上具有（严格的）格的）单调性单调性，这一区间叫做，这一区间叫做y=f(x)y=f(x)的的单调区间。单调区间。如如 (-,0)(-,0)是是y=xy=x2 2的单调递减区间。的单调递减区间。0,+)0,+)是是y=xy=x2 2的单调递增区间。的单调递增区间。从图象来看，在单调区间上增函数是上升的；从图象来看，在

5、单调区间上增函数是上升的；减函数是下降的。减函数是下降的。xy0f(x)=x2图32021/8/9 星期一8yxo问题问题1 1：2.2.函数函数f(x)=f(x)=在区间在区间(0,+)(0,+)上单调性如何？上单调性如何？1.1.函数函数f(x)=f(x)=在区间在区间(,0),0)上单调性如何？上单调性如何？3.3.函数函数f(x)=f(x)=在区间在区间(,+,+)上是减函数吗？上是减函数吗？4.4.函数函数f(x)=f(x)=在区间在区间(,0)(0,+),0)(0,+)上是减函数吗？上是减函数吗？反例：反例：取取x x1 1=-1,x=-1,x2 2=1=1，则，则f(-1)=-1

6、,f(1)=1f(-1)=-1,f(1)=1 可见可见 x x1 1 f(x)f(x2 2)不一定成立。不一定成立。.-11所以所以f(x)=f(x)=在区间在区间(,0)(0,+),0)(0,+)上没上没有单调性。有单调性。单调递减单调递减单调递减单调递减概念理解概念理解不是不是2021/8/9 星期一9问题问题2 2：函数函数f(x)=f(x)=在在x=1x=1处是减函数吗？处是减函数吗？yxo注意：注意：函数的单调性是对某个函数的单调性是对某个区间而言的，函数在单独的点区间而言的，函数在单独的点上没有单调性。上没有单调性。函数的单调性是对函数的单调性是对定义域内某个区间定义域内某个区间而

7、言的，离开了定义而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性域和相应区间就谈不上单调性有的函数在整个定义域内单调有的函数在整个定义域内单调(如一次函数如一次函数)，有的函数只，有的函数只在定义域内的某些区间单调在定义域内的某些区间单调(如二次函数如二次函数)，有的函数根本没，有的函数根本没有单调区间有单调区间(如常函数如常函数)函数在定义域内的两个区间函数在定义域内的两个区间A,BA,B上都是增（或减）函数，上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在一般不能认为函数在A AB上是增（或减）函数上是增（或减）函数(即不能将单即不能将单调区间并在一起调区间并在一起)概念深解2021/8/9 星期一1

8、0题题1 下图是定义在闭区间下图是定义在闭区间-5,5上的函上的函数数 的图象的图象,根据图象说出根据图象说出的单调区间的单调区间,以及在每一区间上以及在每一区间上,是增函数还是减函数是增函数还是减函数.-2 212345-23-3-4-5-1-112O2021/8/9 星期一11-2 212345-23-3-4-5-1-112在区间在区间-5,-2),1,3)上是减函数上是减函数在区间在区间-2,1),3,5)上是增函数上是增函数.解解:函数函数 的单调区间有的单调区间有-5,-2),-2,1),1,3),3,5,O2021/8/9 星期一12如图如图,已知已知 的图象的图象(包括端点包括端

9、点),根据图象说出函数的单调区间根据图象说出函数的单调区间,以及以及在每一区间上在每一区间上,函数是增函数还是减函数是增函数还是减函数函数.-11o要了解某函数在某一区间上是否具有单调性，从图象上进要了解某函数在某一区间上是否具有单调性，从图象上进行观察是一种常用的方法，但这种方法比较粗略。严格地行观察是一种常用的方法，但这种方法比较粗略。严格地 说，它还需要进行证明。说，它还需要进行证明。2021/8/9 星期一13例例2 2 （1 1）证明函数证明函数f(x)=-3x+2f(x)=-3x+2在在R R上是减函数。上是减函数。证明：证明：设设x x1 1,x,x2 2是是R R上的上的任意任

10、意两个实数，且两个实数，且 x x1 1xx2 2，f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)=(-3 x)=(-3 x1 1+2)-(-3 x+2)-(-3 x2 2+2)+2)=3(x=3(x2 2-x-x1 1)由由x x1 1xx2 2 ，得，得 x x2 2-x-x1 1 0 0于是于是 f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)0 0即即 f(xf(x1 1)f(xf(x2 2)所以，函数所以，函数f(x)=-3x+2f(x)=-3x+2在在R R上是减函数上是减函数。取值作差变形定号判断分析：分析：按定义只需设按定义只需设x x1 1,x,x2 2是是R R上的任意两个实

11、数，上的任意两个实数，当当 x x1 1xx2 2，我们来证明我们来证明f(xf(x1 1)f(xf(x2 2)。2021/8/9 星期一14 设设x x1 1,x,x2 2是是00，+）上的上的任意任意两个实数，两个实数，且且0 x0 x1 1 x x2 2 ,则则由由0 x0 x1 1 x x2 2 得得于是于是 f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)0 0。即即 f(xf(x1 1)f(xf(x2 2)所以函数所以函数 在区间在区间0，+）上为增函数。）上为增函数。取值作差变形定号判断证明:（2）证明函数）证明函数 在区间在区间0，+）上为增函数。）上为增函数。2021/8/9

12、星期一15判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数利用定义证明函数f(x)f(x)在给定的在给定的区间区间D D上的单上的单调性的一般步骤：调性的一般步骤：任任取取x x1 1，x x2 2DD，且，且x x1 1 x x2 2；作差作差f(xf(x1 1)f(xf(x2 2)；变形变形定号定号（即判断差（即判断差f(xf(x1 1)f(xf(x2 2)的正负）；的正负）；下结论下结论（即指出函数（即指出函数f(x)f(x)在给定的在给定的区间区间D D上上的单调性）的单调性）（通常是因式分解和配方通常是因式分解和配方）；）；2021/8/9 星期一16练习：练习：1.证明函数证明函数 在在(

13、-,0)上上是减函数是减函数.2.写出写出 f(x)=x24x+5的单调递增区的单调递增区间，并证明间，并证明。2021/8/9 星期一17练习：证明函数练习：证明函数 在在(-,0)上上是减函数是减函数.由由 ，得，得又由又由 ，得得于是于是 ，即，即所以，所以，在在 上是减函数上是减函数.证明证明：设设 是是 上的任意两个上的任意两个 实数，且实数，且 ，则，则 （-，0 0）（-，0 0）2021/8/9 星期一18例例3：写出：写出f(x)=x24x+5的单调递增区间，并证明的单调递增区间，并证明。证明：证明：由2x1x2得x1x20,x1+x24即即 f(xf(x1 1)f(xf(x

14、2 2)所以所以f(x)=x24x+5的单调递增区间为的单调递增区间为2,+）0 xy215解解：由：由f(x)=x24x+5=(x-2)2+1 可知可知f(x)=x24x+5的单调递增区间为的单调递增区间为2,+）的图象的图象通过观察函数图象，对函数是否具有某种性质作出一通过观察函数图象，对函数是否具有某种性质作出一种猜想，然后通过推理的方法，证明这种猜想的正确种猜想，然后通过推理的方法，证明这种猜想的正确性。这是发现问题和解决问题的一种常用数学方法。性。这是发现问题和解决问题的一种常用数学方法。即即先猜后证先猜后证。2021/8/9 星期一19yoxoyxyoxyoxyox在 增函数在 减

15、函数在 增函数在 减函数在(-,+)是减函数在在(-,0)和和(0,+)是减函数是减函数在(-,+)是增函数在在(-,0)和和(0,+)是增函数是增函数yox2021/8/9 星期一20小结 1、函数单调性是对、函数单调性是对定义域的某个区间定义域的某个区间而言而言的，反映的是在这一区间上函数值随自变量变的，反映的是在这一区间上函数值随自变量变化的性质化的性质.（注意对概念的深入理解注意对概念的深入理解）2、判断函数单调性的方法：、判断函数单调性的方法：（1）利用图象：）利用图象：在单调区间上，增函数图象从左向右是上在单调区间上，增函数图象从左向右是上升的，减函数图象是下降的升的，减函数图象是下降的.（2）利用定义：）利用定义：用定义证明函数在某个区间上单调性的一用定义证明函数在某个区间上单调性的一般步骤：般步骤：任意取值任意取值作差变形作差变形判断符号判断符号 得出结论得出结论.课堂小结，知识再现课堂小结，知识再现2021/8/9 星期一21