人教版高中数学 1.3.2球的体积和表面积（第1课时）课件 新人教A必修2.ppt

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1、球的体球的体积和表面和表面积2021/8/9 星期一11.掌握球的体积、表面积公式及其应用。掌握球的体积、表面积公式及其应用。2会用球的表面积公式、体积公式解决相关问题，培养学生应会用球的表面积公式、体积公式解决相关问题，培养学生应用数学的能力。用数学的能力。3.通过寻求如何探究球的内接和外切的方法，解决球的通过寻求如何探究球的内接和外切的方法，解决球的“内接内接”与与“外切外切”的几何体问题。的几何体问题。教学目标教学目标2021/8/9 星期一2球的体积和表面积的计算公式的应用球的体积和表面积的计算公式的应用教学重点教学难点重点难点重点难点解决与球相关的解决与球相关的“内接内接”和和“外切

2、外切”的几何问的几何问题题2021/8/9 星期一3 座落于莱阳河东新区鹤山路与梨园路交叉口的山东莱阳金山国际酒店是由锦江国际酒店管理有限公司管理，邻近莱阳火车站，酒店集传统中式的优雅与现代设计于一身，体现一流的舒适感和实用性。现酒店管理层决定在半球形屋顶嵌上一层特殊化学材料以更好地保护酒店，那么，大约需要多少面积的这种化学材料呢？问题一实际问题实际问题2021/8/9 星期一4 一个充满空气的足球和一个充满空气的篮球，一个充满空气的足球和一个充满空气的篮球，球内的气压相同，若忽略球内部材料的厚度，球内的气压相同，若忽略球内部材料的厚度，则则哪一个球充入的气体较多？为什么？哪一个球充入的气体较

3、多？为什么？问题二实际问题实际问题2021/8/9 星期一5回顾回顾柱体的体积公式柱体的体积公式锥体的体积公式锥体的体积公式台体的体积公式台体的体积公式V柱体柱体=s hV锥体锥体=V V台体台体=这些公式推导的依据是什么？这些公式推导的依据是什么？2021/8/9 星期一6 怎样求球的表面积和体积？怎样求球的表面积和体积？提出问题提出问题 球既没有底面，也无法象柱、锥、台体一样展成球既没有底面，也无法象柱、锥、台体一样展成平面图形，怎样求球的表面积和体积呢？平面图形，怎样求球的表面积和体积呢？2021/8/9 星期一7h实验：排液法测小球的体积（曹冲称象）实验：排液法测小球的体积（曹冲称象）

4、实验方法实验方法小小球球的的体体积积等于它它排排开开液液体体的的体体积积H2021/8/9 星期一8RR一个半径和高都等于一个半径和高都等于R的圆柱，挖去一个以上的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后,所所得的几何体的体积与一个半径为得的几何体的体积与一个半径为R的半球的体的半球的体积相等。积相等。球的体积球的体积（祖暅定理）（祖暅定理）2021/8/9 星期一9RRrlRll(1)(2)设平行于大圆且与大圆的距离为设平行于大圆且与大圆的距离为 的平面截半球所得圆的平面截半球所得圆面的半径为面的半径为r 则截面面积则截面面积用任一水平面去截

5、这两个几何体，截面分别是圆面和圆环用任一水平面去截这两个几何体，截面分别是圆面和圆环面面设圆大环半径为设圆大环半径为R小圆半径为小圆半径为 ，面积，面积所以所以2021/8/9 星期一10由祖暅定理得，这两个几何体的体积相等，即由祖暅定理得，这两个几何体的体积相等，即RRrlRll(1)(2)2021/8/9 星期一11R设想一个球由许多顶点设想一个球由许多顶点在球心在球心,底面在球面底面在球面上的上的“准锥体准锥体”组成组成,这些准锥体这些准锥体的底面并不是真的底面并不是真的多边形的多边形,但只要但只要其底面足够小其底面足够小,就就可以把它们看成可以把它们看成真正的锥体真正的锥体.球的表面积

6、球的表面积（分割）（分割）2021/8/9 星期一12RS球表球表=4R22021/8/9 星期一13球的体积公式：球的体积公式：球的表面积公式：球的表面积公式：知识要点知识要点思考：球的体积、表面积的思考：球的体积、表面积的求解由哪个量来决定的？求解由哪个量来决定的？球半径球半径R2021/8/9 星期一14 座落于莱阳河东新区鹤山路与梨园路交叉口的山东莱阳金山国际酒店是由锦江国际酒店管理有限公司管理，邻近莱阳火车站，酒店集传统中式的优雅与现代设计于一身，体现一流的舒适感和实用性。现酒店管理层决定在半球形屋顶嵌上一层特殊化学材料以更好地保护酒店，那么，需要多少面积的这种化学材料呢？解惑一解惑

7、一设球半径为设球半径为R,则需要化学材料的面积为则需要化学材料的面积为2021/8/9 星期一15 一个充满空气的足球和一个充满空气的篮球，一个充满空气的足球和一个充满空气的篮球，球内的气压相同，若忽略球内部材料的厚度，则球内的气压相同，若忽略球内部材料的厚度，则哪一个球充入的气体较多？为什么？哪一个球充入的气体较多？为什么？解惑二解惑二2021/8/9 星期一16例例1.如图如图,圆柱的底面直径与高圆柱的底面直径与高都等于球的直径都等于球的直径.求证求证:(1)球的体积等于圆柱体积的三球的体积等于圆柱体积的三分之二；分之二；(2)球的表面积与圆柱的侧面积球的表面积与圆柱的侧面积相等相等.O典

8、例分析典例分析 一、公式应用一、公式应用2021/8/9 星期一17圆圆柱证明证明:(1)设球的半径为设球的半径为R,则圆柱的底面半径为则圆柱的底面半径为R,高为高为2R.RO(2)2021/8/9 星期一18例例2.2.篮球直径是篮球直径是10cm,10cm,不考虑球皮不考虑球皮厚度，求它的体积厚度，求它的体积.一、公式应用一、公式应用2021/8/9 星期一19二、球的内切和外接问题二、球的内切和外接问题拓展一拓展一在物流快递中，邮递员要将此篮球（充气状态）用正方在物流快递中，邮递员要将此篮球（充气状态）用正方体纸箱进行打包，怎样做才能做到用料最省？体纸箱进行打包，怎样做才能做到用料最省？

9、思考：用料最省时思考：用料最省时,球与正方体有什么位置关系球与正方体有什么位置关系?解：由题意得，球的直径等于正方体的棱长解：由题意得，球的直径等于正方体的棱长 正方体的表面积为正方体的表面积为球内切于正方体球内切于正方体棱长棱长直径直径2021/8/9 星期一20拓展二：拓展二：如图，正方体如图，正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为a,a,它它的各个顶点都在球的各个顶点都在球O O的球面上，问球的球面上，问球O O的表面积。的表面积。分析：由球和正方体都是中心对称图形分析：由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体体对角可知，

10、它们中心重合，则正方体体对角线与球的直径相等。线与球的直径相等。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O二、球的内切和外接问题二、球的内切和外接问题A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O2021/8/9 星期一21(1)(1)若球的表面积变为原来的若球的表面积变为原来的4 4倍倍,则半径变为原来的则半径变为原来的倍。倍。(2)(2)若球半径变为原来的若球半径变为原来的4 4倍，则表面积变为原来的倍，则表面积变为原来的倍。倍。(3)(3)若两球表面积之比为若两球表面积之比为1:41:4，则其体积之比是，则其体积之比是。

11、(4)(4)若两球体积之比是若两球体积之比是1:81:8，则其表面积之比是，则其表面积之比是。课堂检测课堂检测2021/8/9 星期一22如图所示如图所示,一个圆锥形的空杯子上放着一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为一个直径为8 cm8 cm的半球形的冰淇淋的半球形的冰淇淋,请你请你设计一种这样的圆锥形杯子设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径于半球形的冰淇淋的直径,杯子壁厚忽略杯子壁厚忽略不计不计),),使冰淇淋融化后不会溢出杯子使冰淇淋融化后不会溢出杯子,怎怎样设计最省材料样设计最省材料?应用练习应用练习2021/8/9 星期一23 分析：分析：解决本题关键是求

12、出半球的体积和圆锥的体积，然后解决本题关键是求出半球的体积和圆锥的体积，然后使得圆锥体积大于等于半球的体积即可使得圆锥体积大于等于半球的体积即可.解：要使冰淇淋不从杯子里溢出，只需使解：要使冰淇淋不从杯子里溢出，只需使应用练习应用练习2021/8/9 星期一24小结小结初步了解球的表面积初步了解球的表面积、体积的计体积的计算公式的获得算公式的获得2掌握球的表面积掌握球的表面积、体积的计算公体积的计算公式的应用式的应用3掌握球的内接和外切问题，解决掌握球的内接和外切问题，解决此类题型的关键是找到几何体与球的此类题型的关键是找到几何体与球的直径（或半径）间的联系，并能通过直径（或半径）间的联系，并能通过轴截面将空间几何体转换成平面问题轴截面将空间几何体转换成平面问题来解决来解决2021/8/9 星期一25课后作业P28 课后练习1.2.3P35复习参考题A组1 B组22021/8/9 星期一26