浙江省温州市兴港高级中学高中数学 1.3.2球的表面积和体积课件 新人教A必修2.ppt

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1、1.3.2球的表面积与体积球的表面积与体积2021/8/8 星期日1学习目标学习目标:1、通过对球的体积和面积公式的推导，、通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割分割求和求和化为准确和化为准确和”；2、能运用球的面积和体积公式灵活解决实、能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题；际问题；3、能解决球的截面有关计算问题及球的能解决球的截面有关计算问题及球的 “内接内接”与与“外切外切”的几何体问题的几何体问题。2021/8/8 星期日2柱体、锥体、台体的表面积各面面积之和展开图 圆台圆柱圆锥复习旧知2021/8/8 星期

2、日3柱体、锥体、台体的体积锥体台体柱体复习旧知2021/8/8 星期日4RR一个半径和高都等于一个半径和高都等于R的圆柱，挖去一个以上的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后,所所得的几何体的体积与一个半径为得的几何体的体积与一个半径为R的半球的体的半球的体积相等。积相等。一、球的体积一、球的体积:2021/8/8 星期日5RR2021/8/8 星期日6R设想一个球由许多顶点设想一个球由许多顶点在球心在球心,底面在球面底面在球面上的上的“准锥体准锥体”组成组成,这些准锥体这些准锥体的底面并不是真的底面并不是真的多边形的多边形,但只要但只要其底

3、面足够小其底面足够小,就就可以把它们看成可以把它们看成真正的锥体真正的锥体.二、球的表面积二、球的表面积:2021/8/8 星期日7RS球表球表=4R22021/8/8 星期日8例1 圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证：(1)球的体积等于圆柱体积的 ；(2)球的表面积等于圆柱的侧面积.例题讲解2021/8/8 星期日9(2)圆圆柱证明:(1)设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R.RO2021/8/8 星期日10例例2.2.钢球直径是钢球直径是5cm,5cm,求它的体积求它的体积.2021/8/8 星期日11变式变式1 1：一种空心钢球的质量是：一种空心钢球的质量是142g,142

4、g,外径外径是是5cm,5cm,求它的内径求它的内径.(.(钢的密度是钢的密度是7.9g/cm7.9g/cm2 2)解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是答:空心钢球的内径约为4.5cm.由计算器算得:2021/8/8 星期日12例例3.3.如图，正方体如图，正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为a,a,它的各它的各个顶点都在球个顶点都在球O O的球面上，问球的球面上，问球O O的表面积。的表面积。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O分析：正方体内接于球，则由球和正方分析：正方体内接于球，则由球

5、和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。合，则正方体对角线与球的直径相等。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O例题讲解例题讲解2021/8/8 星期日13(变式变式2)把钢球放入一个正方体的有盖纸把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中盒中,至少要用多少纸至少要用多少纸?用料最省时用料最省时,球与正方体有什么位置关系球与正方体有什么位置关系?侧棱长为侧棱长为5cm两个几何体相切两个几何体相切:一个几何体的各个面与另一个一个几何体的各个面与另一个几何体的各面相切几何体的各面相切.球内切于正方体球

6、内切于正方体2021/8/8 星期日14(变式变式3)把正方体的纸盒装入半径为把正方体的纸盒装入半径为4cm的球状木盒里的球状木盒里,能否装得下能否装得下?半径为半径为4cm的木盒能装下的最大正方体的木盒能装下的最大正方体 与球盒有什么位置关系与球盒有什么位置关系?球外接于正方体球外接于正方体两个几何体相接两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都在一个几何体的所有顶点都在 另一个几何体的表面上。另一个几何体的表面上。2021/8/8 星期日15OABC例例4：已知过球面上三点：已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的截面到球心O的距离的距离等于球半径的一半，且等于球半径的一半，且AB=BC=CA

7、=cm，求球的体积，求球的体积，表面积表面积解：如解：如图图，设设球球O半径半径为为R，截面截面 O的半径的半径为为r，例题讲解例题讲解2021/8/8 星期日16OABC例例4.已知过球面上三点已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的截面到球心O的距离等的距离等于球半径的一半，且于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的体积，表，求球的体积，表面积面积例题讲解例题讲解2021/8/8 星期日17变式4、正方体的内切球和外接球队体积比为正方体的内切球和外接球队体积比为_ _，表面，表面积积之比为之比为1：3。变式5、在球心同侧有相距在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积的两个平

8、行截面，它们的面积分别为分别为49 和和400 ，求球的表面积。，求球的表面积。答案：25002021/8/8 星期日18一个球的体积是一个球的体积是100cm3，试计算它的表面积，试计算它的表面积（取取3.14，结果精确到，结果精确到1cm2）解：设球的半径为解：设球的半径为R，那么根据题意有：，那么根据题意有：100R3=34R2.883.14R3=10034球的表面积球的表面积S=4R2=43.142.882104（cm2）2021/8/8 星期日19一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢满杯子吗？冰淇淋，如果冰淇淋融化

9、了，会溢满杯子吗？解：由图可知，半球的半径为解：由图可知，半球的半径为4 圆锥的体积为圆锥的体积为 R212=3143=34半球的体积为半球的体积为32563192因此，如果冰淇淋融化了，会因此，如果冰淇淋融化了，会溢满杯子溢满杯子.2021/8/8 星期日2082.有三个球有三个球,一球切于正方体的各面一球切于正方体的各面,一球切于正一球切于正方体的各侧棱方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点一球过正方体的各顶点,求这三个求这三个球的体积之比球的体积之比_.1.球的直径伸长为原来的球的直径伸长为原来的2倍倍,体积变为原来的倍体积变为原来的倍.练习练习1:探究：若正方体的棱长为探究：若正方体的棱长

10、为a，则：，则：(1)正方体的内切球的直径正方体的内切球的直径=(2)正方体的外接球的直径正方体的外接球的直径=(3)与正方体所有的棱相切的球的直径与正方体所有的棱相切的球的直径=2021/8/8 星期日217.将半径为将半径为1和和2的两个铅球，熔成一个大铅球，的两个铅球，熔成一个大铅球，那么这个大铅球的表面积是那么这个大铅球的表面积是_.6.若两球表面积之差为若两球表面积之差为48,它们大圆周长之和为它们大圆周长之和为12,则两球的直径之差为则两球的直径之差为_.练习练习2:5.长方体的共顶点的三个侧面积分别为长方体的共顶点的三个侧面积分别为 ，则它的外接球的表面积为则它的外接球的表面积为

11、_.2021/8/8 星期日222.一个正方体的顶点都在球面上一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是它的棱长是4cm,这个球的体积为这个球的体积为cm3.83.有三个球有三个球,一球切于正方体的各面一球切于正方体的各面,一球切于正一球切于正方体的各侧棱方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点一球过正方体的各顶点,求这三求这三个球的体积之比个球的体积之比_.1.球的直径伸长为原来的球的直径伸长为原来的2倍倍,体积变为原来的倍体积变为原来的倍.练习一练习一课堂练习课堂练习2021/8/8 星期日234.4.若两球体积之比是若两球体积之比是1:21:2，则其表面积之比是，则其表面积之比是_.练习二练习二1

12、.若球的表面积变为原来的若球的表面积变为原来的2倍倍,则半径变为原来的则半径变为原来的_倍倍.2.若球半径变为原来的若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的倍，则表面积变为原来的_倍倍.3.若两球表面积之比为若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是，则其体积之比是_.课堂练习课堂练习2021/8/8 星期日24l了解球的体积、表面积推导的基本思路：了解球的体积、表面积推导的基本思路：分割分割求近似和求近似和化为标准和的方法，是化为标准和的方法，是一种重要的数学思想方法一种重要的数学思想方法极限思想，它极限思想，它是今后要学习的微积分部分是今后要学习的微积分部分“定积分定积分”内内容的一个应用；容的一个应用；l熟练掌握球的体积、表面积公式：熟练掌握球的体积、表面积公式：课堂小结课堂小结2021/8/8 星期日252021/8/8 星期日26