湖南省永州市新田县第一中学高中数学 25 数学归纳法（2）课件 理 新人教A选修22.ppt

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1、2.3 数学归纳法数学归纳法(2)2021/8/8 星期日1数学归纳法的概念数学归纳法的概念证明一个与正整数证明一个与正整数n n有关的命题有关的命题,可按下列步骤来进行可按下列步骤来进行 (1)(1)(归纳奠基归纳奠基)证明当证明当n n取第一个值取第一个值n n0 0时命题成立时命题成立,(2)(2)(归纳递推归纳递推)假设假设当当n=k(kn=k(k N N*，k k n n0 0)时命题成时命题成立立,证明证明当当n=k+1n=k+1时命题也成立时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n n0 0开始的所有正开始的所有正整数整数n n都成

2、立。这种证明方法叫做都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。数学归纳法。验证验证n=nn=n0 0时命时命题成立题成立若若当当n=k(n=k(k k n n0 0)时命题成立时命题成立,证明当证明当n=k+1n=k+1时命题也成立时命题也成立命题对从命题对从n n0 0开始的所开始的所有正整数有正整数n n都成立。都成立。归纳奠基归纳奠基归纳递推归纳递推2021/8/8 星期日2证明：证明：（1）当）当n=1时，左边时，左边1，右边，右边等式成立。等式成立。（2）假设当）假设当n=k时，等式成立，就是时，等式成立，就是那么那么例2.用数学归纳法证明:当2021/8/8 星期日5这就是说，当n=k+

3、1时等式也成立。根据（1）和（2），可知等式对任何nN都成立。2021/8/8 星期日6如下证明对吗？如下证明对吗？证证明：明：当当n=1时时，左，左边边右右边边 等式成立。等式成立。设设n=k时时，有，有即即n=k+1时，命题成立。时，命题成立。根据根据问可知，对问可知，对nN，等式成立，等式成立。第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明。第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明。2021/8/8 星期日71）第一步应做什么？此时第一步应做什么？此时n0=，左，左=，2）假设）假设n=k时命题成立，即时命题成立，即 当当n=k时，等式左边共有时，等式左边共有项，项，第第k项是项是

4、 。k k2思思考考？112例例3用数学归纳法证明用数学归纳法证明2021/8/8 星期日83）当）当n=k+1时，命题的形式是时，命题的形式是4）此时，左边增加的项是）此时，左边增加的项是5)从左到右如何变形？从左到右如何变形？2021/8/8 星期日9证明：证明：（1）当）当n=1时，左边时，左边121，右边，右边等式成立。等式成立。（2）假设当）假设当n=k时，等式成立，就是时，等式成立，就是那么那么用数学归纳法证明用数学归纳法证明2021/8/8 星期日10这就是说，当这就是说，当n=k+1时等式也成立。时等式也成立。根据（根据（1）和（）和（2），可知等式对任何），可知等式对任何nN

5、都成立。都成立。2021/8/8 星期日111.用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明等式 1+2+3+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时，时，当当n1时，左边所得项是时，左边所得项是 ；当当n2时，左边所得项是时，左边所得项是 ；1+2+31+2+3+4+5A、1B、1+aC、1+a+a2D、1+a+a2+a3C课堂练习：课堂练习：2021/8/8 星期日122021/8/8 星期日132021/8/8 星期日14例题例题1 1、求证、求证:(n+1)(n+2)(n+n)=2n+1)(n+2)(n+n)=2n n 1 1 3 3 (2n-1)(2n-1)证明：证明：n=1 n=1时：左边时

6、：左边=1+1=2=1+1=2，右边，右边=2=21 11=21=2，左边，左边=右边，等右边，等 式成立。式成立。假设当假设当n=k(kN n=k(kN）时有：）时有：(k+1)(k+2)(k+k)=2 (k+1)(k+2)(k+k)=2k k 1 1 3 3(2n-1),(2n-1),当当n=k+1n=k+1时：时：左边左边=(k+2)(k+3)(k+k)(k+k+1)(k+k+2)=(k+2)(k+3)(k+k)(k+k+1)(k+k+2)=(k+1)(k+2)(k+3)(k+k)=(k+1)(k+2)(k+3)(k+k)=2 =2k k 1 1 3 3(2k-1)(2k+1)(2k-1

7、)(2k+1)2 2 =2 =2k+1k+11 1 3 3(2k-1)(2k-1)2(k+1)-1=2(k+1)-1=右边，右边，当当n=k+1n=k+1时等式也成立。时等式也成立。由由 、可知，对一切可知，对一切nN,nN,原等式均成立。原等式均成立。2021/8/8 星期日161 1.已知已知:,:,则则 等于等于()()A:B:A:B:C:D:C:D:C练习：练习：2021/8/8 星期日17点拨点拨:对这种类型的题目对这种类型的题目,一般先利用一般先利用n n的特殊值的特殊值,探求出待定系数探求出待定系数,然后用数学归纳法证明它对一切然后用数学归纳法证明它对一切正整数正整数n n都成立

8、都成立.2021/8/8 星期日182021/8/8 星期日191.1.数学归纳法是一种证明与数学归纳法是一种证明与正整数正整数有关的数有关的数学命题的重要方法学命题的重要方法.主要有主要有两个步骤一个结论两个步骤一个结论:【归纳奠基】【归纳奠基】（1）证明当）证明当n取第一个值取第一个值n0（如（如 n0=1或或2等）时等）时结论正确结论正确（2）假设）假设n=k时结论正确，证明时结论正确，证明n=k+1时结论时结论也正确也正确（3）由（）由（1）、（）、（2）得出结论）得出结论【归纳递推】【归纳递推】找准起点找准起点奠基要稳奠基要稳用上假设用上假设递推才真递推才真写明结论写明结论才算完整才算完整课后小结：课后小结：2021/8/8 星期日20小结小结重点：重点：两个步骤、一个结论；两个步骤、一个结论；注意：注意：递推基础不可少，递推基础不可少，归纳假设要用到，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉结论写明莫忘掉。2021/8/8 星期日21 作业作业 P P9696B B组组 2 2 P P9898 A A组组 7 72021/8/8 星期日222021/8/8 星期日23