人教版简易逻辑 反证法高考数学第一轮复习课件.ppt

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1、简易逻辑2021/8/9 星期一1一、命题的有关概念一、命题的有关概念1.命题命题 可以判断真假的语句可以判断真假的语句.“非非 p”形式的复合形式的复合命题与命题与 p 的的真假相反真假相反;2.逻辑联结词逻辑联结词“或或”、“且且”、“非非”.3.简单命题简单命题 不含逻辑联结词的命题不含逻辑联结词的命题.4.复合命题复合命题 含有逻辑联结词的命题含有逻辑联结词的命题.5.复合命题真值表复合命题真值表 “p 或或 q”形式的复合命题当形式的复合命题当 p 与与 q 同时为假同时为假时为假时为假,其它情形为真其它情形为真;“p 且且 q”形形式的复合命题式的复合命题当当p 与与q同时为同时为

2、真时为真真时为真,其其它情形为假它情形为假.p非非 p真真假假假假真真pqp 或或 q真真 真真真真真真 假假真真假假 真真真真假假 假假假假pqp 且且 q真真 真真真真真真 假假假假假假 真真假假假假 假假假假2021/8/9 星期一2二、命题的四种形式二、命题的四种形式逆否命逆否命题:若若 q,则 p.原命原命题:若若 p,则 q;逆命逆命题:若若 q,则 p;否命否命题:若若 p,则 q;互逆互逆互逆互逆互互否否互互否否 否命题否命题 若若 p 则则 q 逆否命题逆否命题若若 q 则则 p 原命题原命题若若 p 则则 q 逆命题逆命题若若 q 则则 p互互 为为 逆逆 否否 否否 逆逆

3、 为为 互互注注:互互为逆否命逆否命题的两个命的两个命题同真假同真假.2021/8/9 星期一3三、反证法三、反证法1.一般步骤一般步骤反设反设:假设命题的结论不成立假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立即假设结论的反面成立;归谬归谬:从假设出发从假设出发,经过推理论证经过推理论证,得出矛盾得出矛盾;结论结论:由矛盾判定假设不正确由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确从而肯定命题的结论正确.2.命题特点命题特点结论本身以否定形式出现结论本身以否定形式出现;结论是结论是“至少至少”、“至多至多”、“唯一唯一”、“都是都是”等形式等形式;结论涉及结论涉及“存在或不存在存在或不存在”，“有

4、限或无限有限或无限”等形等形式式;结论的反面比原结论更具体或更易于证明结论的反面比原结论更具体或更易于证明.2021/8/9 星期一43.特殊结论的反设特殊结论的反设原原结论词大于大于()小于小于()都是都是都不是都不是至少至少 n 个个至多至多 n 个个反反设词不大于不大于()不小于不小于()不都是不都是至少有一个是至少有一个是至多至多 n-1 个个至少至少 n+1 个个原原结论词有无有无穷多个多个存在唯一的存在唯一的对任意任意 x,使使恒成立恒成立反反设词只有有限多个只有有限多个不存在或至少存在两个不存在或至少存在两个至少有一个至少有一个 x,使使不成立不成立4.引出矛盾的形式引出矛盾的形

5、式由假设结论由假设结论 q 不成立不成立,得到条件得到条件 p 不成立不成立;由假设结论由假设结论 q 不成立不成立,得到结论得到结论 q 成立成立;由假设结论由假设结论 q 不成立不成立,得到一个恒假命题得到一个恒假命题;分别由假设与条件推得的两个结论矛盾分别由假设与条件推得的两个结论矛盾.2021/8/9 星期一5典型例题典型例题用反证法证明下列各题用反证法证明下列各题:1.某班有某班有 49 位学生位学生,证明证明:至少有至少有 5 位学生的生日同月位学生的生日同月.3.设设 f(x)=x2+ax+b,求证求证:|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不中至少有一个不小于小于

6、 .12 4.设三个正数设三个正数 a,b,c 满足条件满足条件 +=2,求证求证:a,b,c 中至中至少有两个不小于少有两个不小于 1.b1a1c1 2.若若 p1p2=2(q1+q2),证证明明关关于于 x 的的方方程程 x2+p1x+q1=0 与与 x2+p2x+q2=0 中中,至少有一个方程有实根至少有一个方程有实根.2021/8/9 星期一6证证:假设至多有假设至多有 4 位学生的生日同月位学生的生日同月,即即:生日在生日在 1,2,12 月的学生人数都不超过月的学生人数都不超过 4 人人.则该班学生总数则该班学生总数 m4 12=48人人,与该班有与该班有 49 位学生的条件矛盾位

7、学生的条件矛盾,假设不成立假设不成立.至少有至少有 5 位学生的生日同月位学生的生日同月.1.某班有某班有 49 位学生位学生,证明证明:至少有至少有 5 位学生的生日同月位学生的生日同月.2021/8/9 星期一7证证:假设这两个方程都没有实根假设这两个方程都没有实根,则则 10 且且 20,从而有从而有:1+20.又又1+2=(p12-4q1)+(p22-4q2)=p12+p22-4(q1+q2)=p12+p22-2p1p2=(p1-p2)20,与与 1+20 矛盾矛盾.即即 1+20,假设不成立假设不成立.故这两个方程至少有一个有实根故这两个方程至少有一个有实根.2.若若 p1p2=2(

8、q1+q2),证证明明关关于于 x 的的方方程程 x2+p1x+q1=0 与与 x2+p2x+q2=0 中中,至少有一个方程有实根至少有一个方程有实根.2021/8/9 星期一8证证:假设假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|全小于全小于 ,即即:12-1+a+b 1212-4+2a+b 1212-9+3a+b 1212-a+b-3212-2a+b-9272-3a+b-2192173212由由式得式得-a-b ,与与式相加得式相加得-4a-2 与与式相加得式相加得-6a-4 9272由由式得式得-2a-b ,显然然与与矛盾矛盾,假设不成立假设不成立.故故|f(1)|、|f(2)|、|f(

9、3)|中至少有一个不小于中至少有一个不小于 .12 3.设设 f(x)=x2+ax+b,求证求证:|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不中至少有一个不小于小于 .122021/8/9 星期一9 4.设三个正数设三个正数 a,b,c 满足条件满足条件 +=2,求证求证:a,b,c 中至中至少有两个不小于少有两个不小于 1.b1a1c1a,b,c 三数均小于三数均小于 1,证证:假设假设 a,b,c 中至多有一个数不小于中至多有一个数不小于 1,这包含两种情况这包含两种情况:即即 0a1,0b1,0c1,1,1,b1a1c1 +3,b1a1c1也与已知条件矛盾也与已知条件矛盾.a,

10、b,c 中恰有两数小于中恰有两数小于 1,不妨不妨设 0a1,0b1,1,b1a1c1 +2+2,b1a1c1假假设不成立不成立.a,b,c 中至少有两个不小于中至少有两个不小于 1.2021/8/9 星期一10课堂练习课堂练习 1.已已知知 abc 0,求求证:三三个个方方程程 ax2+bx+=0、bx2+cx+=0 与与a4c4cx2+ax+=0 中至少有一个方程有实数根中至少有一个方程有实数根.b4 2.对于函数对于函数 f(x)=x2+ax+b(a,b R),当当 x-1,1 时时,|f(x)|的的最大值为最大值为 M,求证求证:M .123.方程方程 x2-mx+4=0 在在-1,1

11、 上有解上有解,求实数求实数 m 的取值范围的取值范围.1.证:设三个方程的判别式分别为设三个方程的判别式分别为1,2,3,由由 1+2+3=b2-ac+c2-ba+a2-cb=(a-b)2+(b-c)2+(c-a)20 12即即 1+2+3 0.故所述三个方程中至少有一个方程有实数根故所述三个方程中至少有一个方程有实数根.1,2,3 中至少有一个非负中至少有一个非负.2021/8/9 星期一11 2.对于函数对于函数 f(x)=x2+ax+b(a,b R),当当 x-1,1 时时,|f(x)|的的最大值为最大值为 M,求证求证:M .12|f(-1)|=|1-a+b|.12证证:假设假设 M

12、,则则|f(1)|=|1+a+b|,|f(0)|=|b|,121212121212|1+a+b|+|-2b|+|1-a+b|+2 +=2,即即|1+a+b|+|-2b|+|1-a+b|2.又又|1+a+b|+|-2b|+|1-a+b|(1+a+b)-2b+(1-a+b)|=2,即即|1+a+b|+|-2b|+|1-a+b|2,与与式式矛盾矛盾.假设不成立假设不成立.12 M.2021/8/9 星期一123.方程方程 x2-mx+4=0 在在-1,1 上有解上有解,求实数求实数 m 的取值范围的取值范围.解解:先考虑先考虑 x2-mx+4=0 在在-1,1 上无解时上无解时 m 的取值范围的取值范围.包含两种情况包含两种情况:方程方程 x2-mx+4=0 无实数解无实数解;方程有实数解方程有实数解,但解不在但解不在 -1,1 上上.设设 f(x)=x2-mx+4,则则等价于等价于=m2-160;等价于等价于:0;0.0;1;2mf(1)0.或或-1 1;0;2mf(-1)0;f(1)0.或或 解得实数解得实数 m 取值的集合取值的集合 A=(-5,5).故所求实数故所求实数 m 的取值范围是的取值范围是:CRA=(-,-55,+).2021/8/9 星期一132021/8/9 星期一14