人教版简易逻辑 充要条件高考数学第一轮复习课件.ppt

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1、简易逻辑2021/8/9 星期一1一、命题的有关概念一、命题的有关概念1.命题命题 可以判断真假的语句可以判断真假的语句.“非非 p”形式的复合形式的复合命题与命题与 p 的的真假相反真假相反;2.逻辑联结词逻辑联结词“或或”、“且且”、“非非”.3.简单命题简单命题 不含逻辑联结词的命题不含逻辑联结词的命题.4.复合命题复合命题 含有逻辑联结词的命题含有逻辑联结词的命题.5.复合命题真值表复合命题真值表 “p 或或 q”形式的复合命题当形式的复合命题当 p 与与 q 同时为假同时为假时为假时为假,其它情形为真其它情形为真;“p 且且 q”形形式的复合命题式的复合命题当当p 与与q同时为同时为

2、真时为真真时为真,其其它情形为假它情形为假.p非非 p真真假假假假真真pqp 或或 q真真 真真真真真真 假假真真假假 真真真真假假 假假假假pqp 且且 q真真 真真真真真真 假假假假假假 真真假假假假 假假假假2021/8/9 星期一2二、命题的四种形式二、命题的四种形式逆否命逆否命题题:若若 q,则则 p.原命原命题题:若若 p,则则 q;逆命逆命题题:若若 q,则则 p;否命否命题题:若若 p,则则 q;互逆互逆互逆互逆互互否否互互否否 否命题否命题 若若 p 则则 q 逆否命题逆否命题若若 q 则则 p 原命题原命题若若 p 则则 q 逆命题逆命题若若 q 则则 p互互 为为 逆逆

3、否否 否否 逆逆 为为 互互注注:互互为为逆否命逆否命题题的两个命的两个命题题同真假同真假.2021/8/9 星期一3三、反证法三、反证法1.一般步骤一般步骤反设反设:假设命题的结论不成立假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立即假设结论的反面成立;归谬归谬:从假设出发从假设出发,经过推理论证经过推理论证,得出矛盾得出矛盾;结论结论:由矛盾判定假设不正确由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确从而肯定命题的结论正确.2.命题特点命题特点结论本身以否定形式出现结论本身以否定形式出现;结论是结论是“至少至少”、“至多至多”、“唯一唯一”、“都是都是”等形式等形式;结论涉及结论涉及“存在或不存

4、在存在或不存在”，“有限或无限有限或无限”等形等形式式;结论的反面比原结论更具体或更易于证明结论的反面比原结论更具体或更易于证明.3.特殊结论的反设特殊结论的反设原原结论词结论词大于大于()小于小于(5,q:x5;(2)p:1+sin =a,q:sin +cos =a;2 2 (3)p:D2=4F,q:圆圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 与与 x 轴相切轴相切;(4)p:多面体是正四棱柱多面体是正四棱柱,q:多面体是长方体多面体是长方体;(5)p:ABC中中,acosB=bcosA,q:ABC为等腰三角形为等腰三角形.解解:(1)设设 P=x|x5,Q=x|x5,p 是是 q 的充分但不必要

5、条件的充分但不必要条件.P Q,(2)1+sin =a|sin +cos|=a2 2 sin +cos =a,2 2 而而 sin +cos =a1+sin =a2 2 2 1+sin =|a|1+sin =a,p 是是 q 的既不充分也不必要条件的既不充分也不必要条件.2021/8/9 星期一7解解:圆圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0与与 x 轴轴相切相切 p 是是 q 的必要但不充分条件的必要但不充分条件.解解:正四棱柱是特殊的正四棱柱是特殊的长长方体方体,p 是是 q 的充分但不必要条件的充分但不必要条件.正四棱柱正四棱柱 长长方体方体.解解:acosB=bcosA,2RsinAcos

6、B=2RcosAsinB.A=B.sin(A-B)=0.pq.p 是是 q 的充分但不必要条件的充分但不必要条件.而而 q 中没有指明哪两个角相等中没有指明哪两个角相等,又又显显然然 qp,|-|=D2+E2-4F 且且 E 0E212 .D2-4F=0 E 0将将 形成的形成的值值看作集合看作集合 Q,D2-4F=0 E 0(4)p:多面体是正四棱柱多面体是正四棱柱,q:多面体是长方体多面体是长方体.(5)p:ABC中中,acosB=bcosA,q:ABC为等腰三角形为等腰三角形.P 形成的集合看作形成的集合看作 P,显显然然 Q P.(3)p:D2=4F,q:圆圆 x2+y2+Dx+Ey+

7、F=0 与与 x 轴相切轴相切.2021/8/9 星期一8 例例2 已知已知 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c R),求求证证:关于关于 x 的方程的方程 f(x)=0 恰有两不相等的恰有两不相等的实实数解的充要条件是数解的充要条件是:存在存在 x0 R,使使 af(x0)b2-4(-a2x02-abx0)证证:充分性充分性:若存在若存在 x0 R,使使af(x0)0,即即 a2x02+abx0+ac0,=(2ax0+b)20.关于关于 x 的方程的方程 f(x)=0 恰有两不相等的恰有两不相等的实实数解数解.必要性必要性:若关于若关于 x 的方程的方程 f(x)=0 恰有两不相等的恰有

8、两不相等的实实数解数解,(否否则则,方程方程 f(x)=0 不会不会恰有两恰有两个不相等的个不相等的实实数解数解,矛盾矛盾).故由故由,可知关于可知关于 x 的方程的方程 f(x)=0 恰有两不相等的恰有两不相等的实实数数解的充要条件是解的充要条件是:存在存在 x0 R,使使 af(x0)0.设为设为 x1,x2,且且 x1x2,则则 a 0f(x)=a(x-x1)(x-x2).取取 x0=,x1+x2 2则则 x1x0 x2,af(x0)=a2(x0-x1)(x0-x2)=-4a2(x1-x2)2 0,这说这说明存在明存在 x0 R,使使af(x0)0.2021/8/9 星期一9 在此前提下

9、考在此前提下考虑虑至少有一个非至少有一个非负负根的反面根的反面即两个即两个负负根根的充要条件是的充要条件是:例例3 已知集合已知集合 M=(x,y)|y2=2x,N=(x,y)|(x-a)2+y2=9,求求证证:MN 的充要条件是的充要条件是-3a5.即关于即关于 x 的方程的方程 x2+2(1-a)x+a2-9=0 至少有一个非至少有一个非负负根根.证证:由已知由已知MN 的充要条件是的充要条件是 方程方程组组由由 0 得得 a5.解得解得 a-3.从而使从而使MN 的充要条件是的充要条件是-3a5.至少有一至少有一组实组实数解数解,且且 x0.y2=2x(x-a)2+y2=90,x1+x2

10、0.2021/8/9 星期一10 例例4 求求证证：关于：关于x 的方程的方程x2+2ax+b=0 有有实实数根数根,且两根均小于且两根均小于 2的的充分但不必要条件是充分但不必要条件是a2且且|b|4.方程有方程有实实数根数根x1 和和 x2.证证明明:由由a2且且|b|4得得:a24b.=4(a2-b)0.又由又由a2得得:-2a-4.而而b-4,(x1-2)+(x2-2)=(x1+x2)-4=-2a-4-4-4=-80,即即(x1-2)+(x2-2)0.(x1-2)0 且且(x2-2)0.x12 且且 x22.由由a2且且|b|4可推得关于可推得关于x 的方程的方程x2+2ax+b=0 有有实实数根数根,且两且两根均小于根均小于 2.另一方面另一方面,对对于方程于方程x2-x=0,其两根其两根为为0,1,均小于均小于2,但但 a=-,由由关于关于x 的方程的方程x2+2ax+b=0有有实实数根数根,且两根均小于且两根均小于 2不一定不一定推得推得a2且且|b|4.故关于故关于 x 的方程的方程 x2+2ax+b=0 有有实实数根数根,且两根均小于且两根均小于 2 的充分的充分但不必要条件是但不必要条件是a2且且|b|4.2021/8/9 星期一112021/8/9 星期一12