微商的概念及其计算.ppt

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1、第一节第一节 微商的概念及其计算微商的概念及其计算第四章第四章 微商与微分微商与微分二.微商的概念三.可导与连续的关系四.导数的计算 一.微商的背景一一.微商的背景微商的背景在真空中,当时间由t 变到t+t 时,自由非匀速运动物体的速度问题落体所经过的路程为例1物体由 t 到 t+t 一段的平均速度是求物体在时刻 t 的瞬时速度 vt,就是令 t0 的极限过程：从物理学看,当t0 时,应该有这是否也说明了一个什么问题?Pll力学中的线密度问题设有一根可视为直线的棒上非均匀地分布着质量.直线的一端为原点,线段 OP 的长度为l,质量为 m,则 m 是 l 的函数：m=f(l).求点 P 处的线密

2、度 .例2O给l 一个增量 l,则 l 这一段(PP)的平均密度是而在 P 点处的线密度就是 l 0 平均密度的极限：比较两个极限式：与(1)建立一个函数关系 y=f(x),xI.(2)求函数由 x0 到 x0+x 的平均变化率：解决与速度变化或变化率相关问题的步骤:(3)求 x 0 的极限：小结二二.导数的概念导数的概念设函数f(x)在 U(x0)有定义,且 x0+x U(x0).则称函数 f(x)在点 x0 处可导,极限值 a 称为 f(x)在如果极限存在,点 x0 处的导数.记为定义定义1.导数的定义k 0为常数.如果函数 f(x)在点 x0 处可导,则 平面曲线上切线的概念割线PQ切线

3、PT切点2.导数的几何意义 平面曲线的切线问题 沿曲线趋近于点 A 时的极限位置.平面曲线 y=f(x)的切线：曲线在点 A(x0,y0)处的切线 AT 为过曲线上点 A 的任意一条割线 AA 当点 A(x0+x,y0+y)定义定义切线方程:其中,在任意一点 x 处,有在点(1,1)处 故所求切线方程为：求曲线 y=x2上任意一点处切线的斜率,并求在点(1,1)处的切线方程.即 y=2x 1.y 1=2(x 1),例3解3.导函数若 x(a,b),函数 f(x)皆可导,则说 f(x)在(a,b)内可导.这时 f(x)是关于 x 的一个新函数,称之为 f(x)在(a,b)内的导函数.通常我们仍称

4、之为 f(x)在(a,b)内的导数：定义定义三三.可导与连续的关系可导与连续的关系设 f(x)在点 x0 可导,即有于是故函数 f(x)在点 x0可导的必要条件是它在点 x0 连续.只是必要条件！定理定理定理定理4.14.1设函数 f(x)在 x0,x0+)内有定义,若存在,则称 a 为 f(x)在点 x0 处的右导数.记为2.左、右导数定义定义设函数 f(x)在(x0 ,x0 内有定义,若存在,则称 a 为 f(x)在点 x0 处的左导数.记为定义定义定理定理定理定理好像见过面啊！y=|x|在点 x=0 连续,但不可导.故 f(0)不存在.y=|x|Oxy例4解函数在点 x0 I 处的导数:

5、若 f(x)在(a,b)内可导,且 存在,则称 f(x)在 a,b 上可导,f(x)称为 f(x)在 a,b 上的导函数,简称为导数.先求导、后代值.定义定义在点 x=0 处的连续性和可导性.又 当 nN 时,函数在在点 x=0 处连续.例5解当 n=1 时,不存在,故 n=1 时,函数在 x=0 处不可导.当 n 1 时,故 n 1时,函数在 x=0 处可导.其导数为 f(x)在 x=0 处可导,从而 f(x)=1+bx,x0e x,x 0f(0)=1 f(x)在 x=0 处连续,f(0)=a.例6解设a+bx,x0求 a,b 之值.e x,x 0y=在 x=0 可导,由可导性：故 b=1,

6、此时函数为f(x)=1 x,x 0e x,x 0三三.基本初等函数的导数基本初等函数的导数 推导一些基本公式啊！1.y=C x R (C为常数)通常说成：常数的导数为零零.2.幂函数 等价无穷小替代 自变量对其本身的导数为 1 例例7或重要极限3.三角函数(1)和差化积等价无穷小(2)其它三角函数的导数这些公式一般运用后面所讲的方法进行推导.（仿照正弦函数的推导方法）4.对数函数等价无穷小替代求y.等价无穷小替代故解解例例8例例95.指数函数 例例106.导数的四则运算法则若函数 u(x),v(x)均可导,则在证明这些公式时,用到下列表达式：(1)证明(2)证明证证 因为可导必连续,所以(3)

7、证明故 用乘法公式证明除法公式7、反函数的求导法则、反函数的求导法则定理定理4.3 y 的某邻域内单调可导,证证:在 x 处给增量由反函数的单调性知且由反函数的连续性知 因此它是 x=sin y且导数不为0,上单调、连续、可导,又故解解sin 在yx=例例11而于是8.复合函数的导数且或设 u=(x)在点 x 处可导,y=f(u)在对应 点 u (u=(x)处也可导,复合函数 y=f(x)在 U(x)内有定义,则 y=f(x)在点 x 处可导,定理定理定理定理4.44.4证证:在点 u 可导,故（当 时 )故有按复合函数求导法则解解注意利用函数 的性质例例12解解 一般按“由外向里层层求导”法求导例例13然后,对方程两边关于 x 求导：方法方法:在条件允许的情况下,对 y=f(x)两边同时取对数：注意：y 是 x 的函数.9.取对数求导法或运用取对数求导法两边关于 x 求导：故解解例例14运用取对数求导法两边关于 x 求导：解解例例15