微分方程的基本概念一阶微分方程.ppt

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1、第九章第九章 微分方程微分方程第九章第九章 微分方程微分方程p第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念p第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程p第三节第三节 高阶微分方程高阶微分方程p第四节第四节 微分方程在经济学中的应用微分方程在经济学中的应用第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念一一.微分方程的定义微分方程的定义1.微分方程微分方程 含有自变量、含有自变量、知函数的导数或微分的方程知函数的导数或微分的方程,称为微分方程称为微分方程.2.阶阶 未知函数最高阶导数未知函数最高阶导数(或微分或微分)的阶数的阶数.未知函数以及未未知函数以及未方程函数方程微分方程常微分方程偏微

2、分方程二二.微分方程的解微分方程的解1.解解 如果将已知函数如果将已知函数代入方程后代入方程后能使两端恒等能使两端恒等,则称其为方程的解则称其为方程的解.2.通解通解如果微分方程的解所含任意常数的如果微分方程的解所含任意常数的个数等于方程的阶数个数等于方程的阶数,则称其为微分则称其为微分方程的通解方程的通解.3.特解特解 给任意常数以特定的值所得到的解给任意常数以特定的值所得到的解.4.初始条件初始条件 用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件.求部分一阶、二阶常微分方程的通解求部分一阶、二阶常微分方程的通解.本章中心任务本章中心任务第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一一.可分离变量方

3、程可分离变量方程一般形式一般形式:分离变量分离变量两边积分两边积分解解例例1 求方程求方程的通解的通解.解解 分离变量分离变量两边积分两边积分方程通解为方程通解为注注 本题中相关问题本题中相关问题.(为任意常数为任意常数).例例2 求方程求方程满足初始条件满足初始条件的特解的特解.解解分离变量分离变量两边积分两边积分即得通解即得通解将将代入得代入得故特解为故特解为例例3 求方程求方程的通解的通解.解解分离变量分离变量两边积分两边积分方程通解方程通解一般形式一般形式二二.齐次方程齐次方程一般形式一般形式:代入代入令令则则即即解得解得从而从而解解例例4 求方程求方程的通解的通解.解解一般形式一般形

4、式令令则则代入代入即即分离变量分离变量两边积分两边积分原方程通解为原方程通解为例例5 求求的特解的特解.解解一般形式一般形式令令则则代入代入即即分离变量分离变量两边积分两边积分原方程通解为原方程通解为满足满足特解特解补充补充:例例 求方程求方程的通解的通解.解解 令令则则代入代入即即解得解得从而从而注注补充补充:例例 求方程求方程的通解的通解.解解令令则则代入代入即即解得解得从而从而三三.可化为齐次方程的方程可化为齐次方程的方程代入代入设设的交点为的交点为令令则则解出此一阶齐次方程再将解出此一阶齐次方程再将代入代入.解解三三.可化为齐次方程的方程可化为齐次方程的方程代入上式得代入上式得设设无交

5、点无交点,则则原方程可化为原方程可化为令令则则解出此一阶方程再将解出此一阶方程再将代入代入.解解例例6 求解求解解解 方程组方程组的解为的解为令令则则代入原方程得代入原方程得即即即即令令则则代入上式得代入上式得即即亦亦积分得积分得即即故故从而通解从而通解特解特解例例7 解方程解方程解解令令则则代入代入解得解得从而从而四四.一阶线性齐次微分方程一阶线性齐次微分方程一般形式一般形式:分离变量分离变量两边积分两边积分整理得整理得解解补充补充微分方程微分方程求方程的特解求方程的特解(08年考研真题年考研真题4分分)解解特解特解五五.一阶线性非齐次微分方一阶线性非齐次微分方程程一般形式一般形式:讨论讨论

6、:设有解设有解代入上式得代入上式得常常数数变变易易法法例例8 求方程求方程的通解的通解.解解补充补充微分方程微分方程的通解是的通解是(08年考研真题年考研真题4分分)解解例例9 求方程求方程的通解的通解.解解六六.伯努利方程伯努利方程令令则则再将再将 代入即可代入即可.解解例例10 求方程求方程的通解的通解.解解令令则则故故一一.可分离变量方程可分离变量方程二二.齐次方程齐次方程三三.可化为齐次方程的方程可化为齐次方程的方程四四.一阶线性齐次微分方程一阶线性齐次微分方程五五.一阶线性非齐次微分方程一阶线性非齐次微分方程六六.伯努利方程伯努利方程总总 结结作业题作业题习题九习题九(A)1、2、4、5.