微分概念及其计算.ppt

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1、第二节第二节 微分概念及其计算微分概念及其计算第四章第四章 微商与微分微商与微分三、基本微分公式与微分运算法则三、基本微分公式与微分运算法则二、微分的几何意义二、微分的几何意义一、微分的定义一、微分的定义 四、四、微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用设函数设函数f(x)在在 U(x0)有定义有定义,且且 x0+x U(x0).则称函数则称函数 f(x)在点在点 x0 处可导处可导,极限值极限值 a 称为称为 f(x)在在如果极限如果极限存在存在,点点 x0 处处的导数的导数.记为记为定义定义导数的定义导数的定义已知已知在点在点 的可导的可导,则则的的微分微分,在点在点 的增量可表示为的

2、增量可表示为(A 为不依赖于为不依赖于x 的常数的常数)则称函数则称函数而而 称为称为记作记作即即注意注意在点在点可微可微,定义定义 若函数若函数一、微分的定义一、微分的定义1.微分是微分是 x 的线性函数；的线性函数；2.微分与微分与 y 之差是之差是x 的高阶无穷小量的高阶无穷小量.时时,所以所以时时很小时很小时,有近似公式有近似公式与与是等价无穷小是等价无穷小,当当故当故当说明说明:例例 一块正方形金属薄片受温度变化的影响一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为设薄片边长为 x,面积为面积为 A,则则面积的增量为面积的增量为关于关于x

3、 的的线性主部线性主部高阶无穷小高阶无穷小时为时为故故称为函数在称为函数在 的微分的微分当当 x 在在取取得增量得增量时时,变到变到边长由边长由其其在点在点 可微的可微的充要条件充要条件是是在点在点 处可导处可导,且且即即“充分性充分性”已知已知即即在点在点 的可导的可导,则则定理定理4.5 函数函数证证:“必要性必要性”已知已知在点在点 可微可微,则则故故在点在点 的可导的可导,且且在点在点 可微的可微的充要条件充要条件是是在点在点 处可导处可导,且且即即定理定理4.5 函数函数则有则有从而从而导数也叫作导数也叫作微商微商自变量的微分自变量的微分,记作记作说明说明由定理由定理4.5，我们得到

4、，我们得到二、微分的几何意义二、微分的几何意义切线纵坐标的增量切线纵坐标的增量当 很小时,几何意义几何意义：用切线的改变量近似地代替函数的改变量.三、基本的微分公式与微分运算法则三、基本的微分公式与微分运算法则1基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式(参看课本参看课本)2函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则设 u(x),v(x)均可微,则(C 为常数)3复合函数的微分法则复合函数的微分法则分别可微,的微分为微分形式不变性微分形式不变性则复合函数求 例例1 解法解法1：解法解法2：利用“微分形式不变性”四、微分在近似计算中的应用四、微分在近似计算中的应用当很小时,使用原则使用原则:得近似等式:的近似值.解解:设取则例例4 求的近似值.解解:例例5 计算内容小结1.微分概念微分概念 微分的定义及几何意义微分的定义及几何意义 可导可导可微可微2.微分运算法则微分运算法则微分形式不变性微分形式不变性:(u 是自变量或中间变量是自变量或中间变量)3.微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用