微积分下册总复习.ppt

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1、总总 复复 习习1 1、多元函数的定义、极限及连续性、多元函数的定义、极限及连续性确定极限确定极限不存在不存在的方法的方法(1)(1)此时即可断言极限不存在。此时即可断言极限不存在。找两种不同趋近方式找两种不同趋近方式,但两者不相等但两者不相等,存在存在,第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学2 2、偏导数与、偏导数与全微分全微分 可可 微微 连连 续续偏导数连续偏导数连续偏导存在偏导存在若不存在，则不可微，若不存在，则不可微，否则转下一步；否则转下一步；若为若为0 0，则可微，则可微，否则不可微。否则不可微。3 3、复合函数求导法、复合函数求导法则复合函数则复合函数(1)一个方程情形一个

2、方程情形(二元方程、三元方程二元方程、三元方程)4 4、隐函数的求导法隐函数的求导法隐函数存在定理隐函数存在定理1 1 设设的某一邻域内满足的某一邻域内满足:在点在点则方程则方程的某一邻域内的某一邻域内并有并有(1)具有连续偏导数具有连续偏导数;它它满足满足条件条件在点在点恒能恒能唯一唯一确定一个确定一个连续且具有连续导数连续且具有连续导数的函数的函数(2)方程组情形方程组情形隐函数的个数隐函数的个数=方程的个数方程的个数隐函数的自变量个数隐函数的自变量个数=总自变量个数总自变量个数 方程的个数方程的个数5.多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用(1)空间曲线的切线与法平面空间曲线的

3、切线与法平面(三种情形三种情形)(2)空间曲面的切平面与法线空间曲面的切平面与法线(三种情形三种情形)6.方向导数与梯度方向导数与梯度方向导数方向导数梯度梯度*方向导数与梯度的关系方向导数与梯度的关系函数沿梯度方向的方向导数最大函数沿梯度方向的方向导数最大(即增长最快即增长最快)，且方向导数的最大值为梯度的模。，且方向导数的最大值为梯度的模。7.多元函数的极值与最值多元函数的极值与最值(1)极值的必要条件极值的必要条件极值的充分条件极值的充分条件(2)求条件极值的方法求条件极值的方法代入法，代入法，Lagrange乘数法乘数法*(3)求最值的方法求最值的方法1.求求D内所有的驻点和不可导点；内

4、所有的驻点和不可导点；2.用求条件极值的方法用求条件极值的方法(Lagrange乘数法或乘数法或代入法代入法)求求D的边界上的条件极值点；的边界上的条件极值点；3.求求D的边界的边界点；的边界的边界点；4.计算上面三步求出的所有点的函数值，最计算上面三步求出的所有点的函数值，最大者即为大者即为D上的最大值，最小者即为最小值。上的最大值，最小者即为最小值。1.理解二重积分、三重积分的概念理解二重积分、三重积分的概念,第八章第八章 重积分重积分2.掌握二重积分的计算法掌握二重积分的计算法(直角坐标、极直角坐标、极 3.会用重积分求一些几何量与物理量会用重积分求一些几何量与物理量.了解了解重积分的性

5、质重积分的性质.了解三重积分的计算法（直角坐标、了解三重积分的计算法（直角坐标、坐标坐标)，柱面坐标、球面坐标柱面坐标、球面坐标).其中其中二重积分二重积分是各小闭区域的直径中的最大值是各小闭区域的直径中的最大值.几何意义几何意义二重积分二重积分I表示以表示以D为底为底,柱体的体积柱体的体积.z=f(x,y)为曲顶为曲顶,侧面是侧面是定义定义1.平面上有界闭区域平面上有界闭区域D上二元有界函数上二元有界函数z=f(x,y)的二重积分的二重积分2.当连续函数当连续函数以以D的边界为准线的边界为准线,母线平行于母线平行于z轴的柱面的轴的柱面的曲顶曲顶一般情形一般情形,xOy平面上方的曲顶柱体体积平

6、面上方的曲顶柱体体积减减xOy平面下方的曲顶柱体体积平面下方的曲顶柱体体积.物理意义物理意义3.若平面薄片占有平面内有界闭区域若平面薄片占有平面内有界闭区域D,则它的质量则它的质量M为为:它的面它的面密度为连续函数密度为连续函数性质性质1(线性运算性质线性运算性质)为常数为常数,则则(重积分与定积分有类似的性质重积分与定积分有类似的性质)4 4、二重积分的性质二重积分的性质性质性质2 将区域将区域D分为两个子域分为两个子域对积分区域的可加性质对积分区域的可加性质.以以1为高的为高的性质性质3(几何应用几何应用)若若 为为D的面积的面积 注注既可看成是以既可看成是以D为底为底,柱体体积柱体体积.

7、又可看成是又可看成是D的面积的面积.特殊地特殊地性质性质4(4(比较性质比较性质)则则(保序性保序性)性质性质5(5(估值性质估值性质)为为D的面积的面积,则则性质性质6(6(二重积分中值定理二重积分中值定理)体体积等于以体体积等于以D为底为底几何意义几何意义域域D上连续上连续,为为D的面积的面积,则在则在D上至少存在一点上至少存在一点使得使得则曲顶柱则曲顶柱 为高的平顶柱体体积为高的平顶柱体体积.设设f(x,y)在闭区在闭区(1)设设f(x,y)在有界闭区域在有界闭区域D上连续上连续.若若D关于关于则则x轴对称轴对称,f(x,y)对对y为奇函数为奇函数,即即 f(x,y)对对y为偶函数为偶函

8、数,即即则则其中其中5 5、对称区域上奇偶函数的积分性质、对称区域上奇偶函数的积分性质(2)设设f(x,y)在有界闭区域在有界闭区域D上连续上连续.若若D关于关于则则 y轴对称轴对称,f(x,y)对对x为奇函数为奇函数,即即 f(x,y)对对x为偶函数为偶函数,即即则则其中其中其中函数其中函数 在区间在区间a,b上连续上连续.(1)直角坐标系直角坐标系先对先对y 后对后对x的二次积分的二次积分6、二重积分计算、二重积分计算其中函数其中函数 在区间在区间c,d上连续上连续.先对先对x 后对后对y的二次积分的二次积分.交换积分次序的步骤交换积分次序的步骤 (1)利用已给的二次积分的积分限得出利用已

9、给的二次积分的积分限得出相应的二重积分的积分区域相应的二重积分的积分区域,(2)按相反顺序写出相应的二次积分按相反顺序写出相应的二次积分.并画出草图并画出草图;极坐标系中的面积元素极坐标系中的面积元素(2)极坐标系极坐标系其中函数其中函数其中函数其中函数极坐标系极坐标系下区域的下区域的面积面积其中函数其中函数2、三重积分的几何意义、三重积分的几何意义3 3、三重积分的性质、三重积分的性质类似于二重积分的性质类似于二重积分的性质1 1、三重积分的定义、三重积分的定义三重积分三重积分三重积分三重积分对称性质对称性质则称则称f关于变量关于变量z的的奇奇 函数函数.关于关于坐标面的上半部区域坐标面的上

10、半部区域.(偶偶)关于关于坐标面的前半部区域坐标面的前半部区域.三重积分三重积分关于关于坐标面的右半部区域坐标面的右半部区域.三重积分三重积分4 4、三重积分的计算、三重积分的计算()直角坐标直角坐标()柱面坐标柱面坐标注注通常是通常是先积先积再积再积后积后积()球面坐标球面坐标通常是通常是注注5 5、二重积分的应用、二重积分的应用(1)体积体积设设S曲面的方程为：曲面的方程为：曲面曲面S的面积为的面积为(2)曲面面积曲面面积当薄片是均匀的，重心称为形心当薄片是均匀的，重心称为形心.(3)重心重心薄片对于薄片对于x轴的转动惯量轴的转动惯量薄片对于薄片对于y轴的转动惯量轴的转动惯量(4)转动惯量

11、转动惯量薄片对薄片对 轴上单位质点的引力轴上单位质点的引力为引力常数为引力常数(5)引力引力6 6、三重积分的应用、三重积分的应用()重心重心()转动惯量转动惯量第九章第九章第九章第九章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分曲线积分的性质及两类曲线积分的关系曲线积分的性质及两类曲线积分的关系.2.会计算两类曲线积分会计算两类曲线积分.曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关的条件.1.理解两类曲线积分的概念理解两类曲线积分的概念,了解两类了解两类3.掌握格林掌握格林(Green)公式公式,会使用平面会使用平面(Gauss)、5.了解散度、旋度的概念及其计算

12、了解散度、旋度的概念及其计算6.会用曲线积分、会用曲线积分、4.了解两类曲面积分的概念及高斯了解两类曲面积分的概念及高斯并会并会计算两类曲面积分计算两类曲面积分.斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式,方法方法.曲面积分求一些曲面积分求一些几何量与物理量几何量与物理量.曲曲 线线 积积 分分第一类曲线积分第一类曲线积分第二类曲线积分第二类曲线积分定定义义联联系系计计算算三代一定三代一定二代一定二代一定 (与方向有关与方向有关)格林公式格林公式与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件等等价价命命题题思路思路闭合闭合非闭非闭闭合闭合非闭非闭补充曲线或用公式补充曲线或用公式第二类曲

13、线积分第二类曲线积分的计算法的计算法+LyyxQxyxPd),(d),(-=DyxyPxQIdd)(如果曲面方程为以下三种：如果曲面方程为以下三种：第一类曲面积分 曲面积分曲面积分则则则则则则第二类曲面积分其中符号当其中符号当取上侧时为正，下侧时为负。取上侧时为正，下侧时为负。其中符号当其中符号当取右侧时为正，左侧时为负。取右侧时为正，左侧时为负。其中符号当其中符号当取前侧时为正，后侧时为负。取前侧时为正，后侧时为负。注意注意:对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧必须注意曲面所取的侧.两类关系高斯公式高斯公式设向量场设向量场P,Q,R,在域在域G内有一阶内有一阶 连续连续 偏

14、导数偏导数,则则 向量场通过有向曲面向量场通过有向曲面 的通量为的通量为 2.通量与散度通量与散度 G 内任意点处的内任意点处的散度散度为为 斯托克斯斯托克斯(stokes)(stokes)公式公式斯托克斯公式斯托克斯公式斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 2.2.旋度旋度第二类曲第二类曲面积分的计算法面积分的计算法1.利用利用Gauss公式公式具有具有则则外侧外侧.一阶连续偏导数一阶连续偏导数,具有具有一阶连续偏导数一阶连续偏导数,则则2.上侧为正，下侧为负。上侧为正，下侧为负。常数项级数常数项级数函数项级数函数项级数交错级 数 正正项项级级数数幂级数幂级数三角级数三角级数收收敛敛半半

15、径径R R泰勒展开式泰勒展开式数或函数数或函数函函 数数数数任任意意项项级级数数傅氏展开式傅氏展开式傅氏级数傅氏级数泰勒级数泰勒级数满足狄满足狄 氏条件氏条件在收敛在收敛 级数与数级数与数条件下条件下 相互转化相互转化 第十章第十章 无穷级数无穷级数定义定义1 1、正项级数及其审敛法、正项级数及其审敛法审敛法审敛法(1)(1)比较审敛法比较审敛法(2)(2)比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式定义定义 正正 、负项相间的级数称为交错级数、负项相间的级数称为交错级数.2 2、交错级数及其审敛法、交错级数及其审敛法定义定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数正项和负项任意出现的级数称为任意

16、项级数.3 3、任意项级数及其审敛法、任意项级数及其审敛法4 4、函数项级数、函数项级数(1)(1)定义定义(2)(2)收敛点与收敛域收敛点与收敛域(3)(3)和函数和函数(1)(1)定义定义5 5、幂级数、幂级数(2)(2)收敛性收敛性推论推论定义定义:正数正数R称为幂级数的称为幂级数的收敛半径收敛半径.幂级数的收敛域称为幂级数的幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间收敛区间.a.a.代数运算性质代数运算性质:加减法加减法(其中其中(3)(3)幂级数的运算幂级数的运算乘法乘法(其中其中除法除法b.b.和函数的分析运算性质和函数的分析运算性质:(4)幂级数展开式幂级数展开式充要条件充要条件唯一性唯

17、一性展开方法展开方法a.a.直接法直接法(泰勒级数法泰勒级数法)步骤步骤:b.b.间接法间接法 根据唯一性根据唯一性,利用常见展开式利用常见展开式,通过通过变量代换变量代换,四则运算四则运算,恒等变形恒等变形,逐项求导逐项求导,逐项逐项积分积分等方法等方法,求展开式求展开式.常见函数展开式常见函数展开式应用应用a.a.近似计算近似计算b.b.欧拉公式欧拉公式(1)(1)三角函数系三角函数系三角函数系三角函数系6 6、傅里叶级数、傅里叶级数(2)(2)傅里叶级数傅里叶级数定义定义三角级数三角级数其中其中称为傅里叶级数称为傅里叶级数.(3)(3)狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)(Dirich

18、let)充分条件充分条件(收敛定理收敛定理)(4)(4)正弦级数与余弦级数正弦级数与余弦级数奇延拓奇延拓:(5)(5)周期的延拓周期的延拓偶延拓偶延拓:第十一章第十一章 微分方程微分方程1.一阶微分方程一阶微分方程可分离变量方程可分离变量方程齐次方程齐次方程(可化为齐次方程可化为齐次方程的方程的方程)一阶线性微分方程一阶线性微分方程2.可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程Bernoulli方程方程 全微分方程全微分方程4.常系数线性微分方程常系数线性微分方程(齐次，非齐次齐次，非齐次)3.线性微分方程解的结构线性微分方程解的结构1 1、基本概念、基本概念微分方程微分方程凡含有未知函数的导数

19、或微分的方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程叫微分方程微分方程的阶微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶高阶导数的阶数称为微分方程的阶微分方程的解微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解式的函数称为微分方程的解 通解通解如果如果微分方程的解中含有任意常数，并且微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解解叫做微分方程的通解特解特解确定了通解中的任意常数以后得到的解，确定了通解中的任意

20、常数以后得到的解，叫做微分方程的特解叫做微分方程的特解初始条件初始条件用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件.初值问题初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题，求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题叫初值问题(1)可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程解法解法分离变量法分离变量法2 2、一阶微分方程的解法、一阶微分方程的解法(2)齐次方程齐次方程解法解法作变量代换作变量代换齐次方程齐次方程否则为非齐次方程否则为非齐次方程(3)可化为齐次的方程可化为齐次的方程解法解法化为齐次方程化为齐次方程是两直线是两直线的交点的交点(4)一阶线性微分方程一阶线性微分方程上方程称为齐次的上方程称为

21、齐次的上方程称为非齐次的上方程称为非齐次的.齐次方程的通解为齐次方程的通解为（使用分离变量法）（使用分离变量法）解法解法非齐次微分方程的通解为非齐次微分方程的通解为（使用常数变易法）（使用常数变易法）(5)伯努利伯努利(Bernoulli)方程方程方程为线性微分方程方程为线性微分方程.方程为非线性微分方程方程为非线性微分方程.解法解法 需经过变量代换化为线性微分方程需经过变量代换化为线性微分方程解法解法应用曲线积分与路径无关应用曲线积分与路径无关.用直接凑用直接凑全微分的方法全微分的方法.通解为通解为其中其中形如形如(6)全微分方程全微分方程 用不定积分用不定积分的方法的方法.(7)可化为全微

22、分方程可化为全微分方程形如形如观察法观察法:熟记常见函数的全微分表达式，通熟记常见函数的全微分表达式，通过观察直接找出积分因子过观察直接找出积分因子常见的全微分表达式常见的全微分表达式可选用积分因子可选用积分因子3 3、可降阶的高阶微分方程的解法、可降阶的高阶微分方程的解法解法解法特点特点 型型接连积分接连积分n次，得通解次，得通解 型型解法解法代入原方程代入原方程,得得特点特点 型型解法解法代入原方程代入原方程,得得4 4、高阶线性微分方程解的结构、高阶线性微分方程解的结构 (1)(1)齐次线性微分方程解的结构齐次线性微分方程解的结构 解的叠加性：解的叠加性：是方程是方程(1)(1)的解，的

23、解，也是也是(1)(1)的解，其中的解，其中是是(1)(1)的通解，其中的通解，其中通解的结构：通解的结构：是方程是方程(1)(1)的的n n个线性无关的解个线性无关的解,(2)(2)非齐次线性微分方程解的结构非齐次线性微分方程解的结构 （可推广到（可推广到n n阶非齐次线性微分方程）阶非齐次线性微分方程）解的性质：解的性质：是非齐次方程是非齐次方程(2)(2)的两个解的两个解,是是(2)(2)所对应的齐次方程所对应的齐次方程(1)(1)的解的解.若若设设是对应齐次方程的是对应齐次方程的n n个线性个线性无关特解无关特解,给定给定n n阶非齐次线性方程阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解是非齐次

24、方程的特解,则非齐次方程则非齐次方程的通解为的通解为齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解通解的结构：通解的结构：5 5、二阶常系数线性、二阶常系数线性齐次齐次齐次齐次微分方程的解法微分方程的解法 特征方程特征方程:实根实根 （以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程）（以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程）特特 征征 根根通通 解解特征方程为特征方程为特征根特征根通解中的对应项通解中的对应项n阶常系数齐次线性方程解法：阶常系数齐次线性方程解法：6 6、二阶、二阶常系数线性常系数线性非齐次非齐次非齐次非齐次微分方程微分方程 通解为通解为非齐次方程特解非齐次方程特解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特解特解 待定系数法待定系数法关系