微分与微分技术.ppt

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1、3.43.4微分与微分技术微分与微分技术二、微分的几何意义二、微分的几何意义三、基本初等函数的微分公式与微分运三、基本初等函数的微分公式与微分运 算法则算法则四、微分在近似计算中的应用四、微分在近似计算中的应用一、微分的概念一、微分的概念边长由边长由3.4.1 微分的概念微分的概念引例引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为设薄片边长为 x,面积为面积为 S,则则面积的增量为面积的增量为关于关于x 的的线性主部线性主部高阶无穷小高阶无穷小时为时为故故称为函数在称为函数在 的微分的微分当当 x 在在取取

2、得增量得增量时时,变到变到其其定义定义的微分的微分,若函数若函数在点在点 的增量可表示为的增量可表示为(A 为不依赖于为不依赖于x 的常数的常数)则称函数则称函数而而 称为称为记作记作即即在点在点可微可微,一、微分的定义一、微分的定义注意注意,定理定理 函数函数证证:“必要性必要性”已知已知在点在点 可微可微,则则故故在点在点 的可导的可导,且且在点在点 可微的充要条件是可微的充要条件是在点在点 处可导处可导,且且即即重要结论：重要结论：“充分性充分性”已知即在点 的可导,则说明说明:时时,所以所以时时很小时很小时,有近似公式有近似公式与与是等价无穷小是等价无穷小,当当故当故当1.2 若函数若

3、函数f(x)在区间在区间I内点任一点都可导内点任一点都可导,则在则在I内内任意点任意点x的微分记为的微分记为规定自变量规定自变量x的微分为自变量的改变量的微分为自变量的改变量,即即则有则有从而有从而有即即,函数微分与自变量微分之商等于函数的导数函数微分与自变量微分之商等于函数的导数.微分的几何意义微分的几何意义当当 很小时很小时,切线纵坐标的增量切线纵坐标的增量二、几何意义二、几何意义三、三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则基本初等函数的微分公式与微分运算法则设设 u(x),v(x)均可微均可微,则则(C 为常数为常数)分别可微分别可微,的微分为的微分为微分形式不变微分形式不变5.复合函数

4、的微分复合函数的微分则复合函数则复合函数(一一)基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式(见教材见教材P.111)(二二)微分运算法则微分运算法则:求求 解解:令令u=2x+1，则，则求 解解:例例求 解解:3.4.2 隐函数的微分法隐函数的微分法 若由方程可确定 y 是 x 的函数,由表示的函数,称为显函数显函数.例如例如,可确定显函数可确定 y 是 x 的函数,但此隐函数不能显化.函数为隐函数隐函数.则称此隐函数求导方法求导方法:两边对 x 求导(含导数 的方程)求由方程求由方程的导数。的导数。解法解法1解之得解之得确定的隐函数确定的隐函数解法解法2方程两边对方程两边对 x 求导求导方

5、程两边方程两边 求微分得求微分得解之得解之得例例求由方程求由方程确定的隐函数确定的隐函数的二阶导数。的二阶导数。解解方程方程两端对两端对x求导得求导得（）（）解之得解之得将方程（）两端再对将方程（）两端再对x求导，注意到求导，注意到也是也是x 的函数，得的函数，得（）（）将（）代入上式，得将（）代入上式，得补例补例求椭圆求椭圆在点在点处的切线方程处的切线方程.解解:椭圆方程两边对椭圆方程两边对 x 求导求导故切线方程为故切线方程为即即求求的导数的导数.解解:两边取对数两边取对数,化为隐式化为隐式两边对两边对 x 求导求导说明说明:1)对幂指函数对幂指函数可用对数求导法求导可用对数求导法求导:按

6、指数函数求导公式按指数函数求导公式按幂函数求导公式按幂函数求导公式注意注意:2)有些显函数用对数求导法求导很方便有些显函数用对数求导法求导很方便例如例如,两边取对数两边取对数两边对两边对 x 求导求导又如又如,对 x 求导两边取对数若参数方程若参数方程可确定一个可确定一个 y 与与 x 之间的函数之间的函数可导可导,且且则则时时,有有时时,有有(此时看成此时看成 x 是是 y 的函数的函数)关系关系,3.4.3 由参数方程确定的函数的导数由参数方程确定的函数的导数若上述参数方程中若上述参数方程中二阶可导二阶可导,且且则由它确定的函数则由它确定的函数可求二阶导数可求二阶导数.利用新的参数方程利用

7、新的参数方程,可得可得例例已知椭圆的参数方程为已知椭圆的参数方程为求椭圆在求椭圆在相应点处的切线方程。相应点处的切线方程。解解当当时，时，椭圆上的相应点椭圆上的相应点M0 的坐标是的坐标是曲线在曲线在M0 的切线斜率为的切线斜率为代入点斜式方程，代入点斜式方程，即即例例计算由摆线的参数方程（图见教材计算由摆线的参数方程（图见教材P.117）所确定的函数所确定的函数的二阶导数。的二阶导数。即得椭圆在点即得椭圆在点M0 处的切线方程处的切线方程解解xyop pa2p2pata转化转化内容小结内容小结1.隐函数求导法则隐函数求导法则直接对方程两边求导直接对方程两边求导2.对数求导法对数求导法:适用于

8、幂指函数及某些用连乘适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数连除表示的函数3.参数方程求导法参数方程求导法极坐标方程求导极坐标方程求导求高阶导数时求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公从低到高每次都用参数方程求导公式式四、四、微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用(略略)当很小时,使用原则使用原则:得近似等式:特别当很小时,常用近似公式常用近似公式:很小)证明证明:令得微分在估计误差中的应用微分在估计误差中的应用某量的精确值为 A,其近似值为 a,称为a 的绝对误差绝对误差称为a 的相对误差相对误差若称为测量 A 的绝对误差限绝对误差限称为测量 A 的相对误差限相对误差限误差传递公式误差传递公式:已知测量误差限为按公式计算 y 值时的误差故 y 的绝对误差限约为相对误差限约为若直接测量某量得 x,内容小结内容小结1.微分概念 微分的定义及几何意义 可导可微2.微分运算法则微分形式不变性:(u 是自变量或中间变量)3.微分的应用近似计算估计误差